㈠ 勾股定理與銳角三角函數解直角三角形的區別和聯系教案
勾股定理是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。中內國古代稱直角三角形容為勾股形，並且直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股定理，也有人稱商高定理。
㈡ 如何解三角形教案
（一）教學目標
1．知識與技能:通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。
2 . 過程與方法:讓學生從已有的幾何知識出發,共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，並進行定理基本應用的實踐操作。
3．情態與價值：培養學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養學生合情推理探索數學規律的數學思思想能力，通過三角形函數、正弦定理、向量的數量積等知識間的聯系來體現事物之間的普遍聯系與辯證統一。
（ 二）教學重、難點
重點：正弦定理的探索和證明及其基本應用。
難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數。
（三）學法與教學用具
學法：引導學生首先從直角三角形中揭示邊角關系： ，接著就一般斜三角形進行探索，發現也有這一關系；分別利用傳統證法和向量證法對正弦定理進行推導，讓學生發現向量知識的簡捷，新穎。
教學用具：直尺、投影儀、計算器
（四）教學設想
[創設情景]
如圖1．1-1，固定 ABC的邊CB及 B，使邊AC繞著頂點C轉動。 A
思考： C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數量關系？
顯然，邊AB的長度隨著其對角 C的大小的增大而增大。能否
用一個等式把這種關系精確地表示出來？ C B
[探索研究] (圖1．1-1)
在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。如圖1．1-2，在Rt ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c, 根據銳角三角函 數中正弦函數的定義，有 ， ，又 , A
則 b c
從而在直角三角形ABC中， C a B
(圖1．1-2)
思考：那麼對於任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？
（由學生討論、分析）
可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：
如圖1．1-3，當 ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據任意角三角函數的定義，有CD= ,則 ， C
同理可得 ， b a
從而 A c B
(圖1．1-3)
思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由於涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。
（證法二）：過點A作 ， C
由向量的加法可得
則 A B
∴
∴ ，即
同理，過點C作 ，可得
從而
類似可推出，當 ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。（由 學生課後自己推導）
從上面的研探過程，可得以下定理
正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即
[理解定理 ]
（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數為同一正數，即存在正數k使 ， ， ；
（2） 等價於 ， ，
從而知正弦定理的基本作用為：
①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如 ；
②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如 。
一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。
[例題分析]
例1．在 中，已知 ， ， cm，解 三角形。
解：根據三角形內角和定理，
；
根據正弦定理，
；
根據正弦定理，
評述：對於解三角形中的復雜運算可使用計算器。
例2．在 中，已知 cm， cm， ，解三角形（角度精確到 ，邊長精確到1cm）。
解：根據 正弦定理，
因為 ＜ ＜ ，所以 ，或
⑴ 當 時，
，
⑵ 當 時，
，
評述：應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。
[隨堂練習]第5頁練習第1（1）、2（1）題。
例3．已知 ABC中， A ， ,求
分析：可通過設一參數k(k>0)使 ,
證明出
解：設
則有 ， ，
從而 = =
又 ，所以 =2
評述：在 ABC中，等式
恆成立。
[補充練習]已知 ABC中， ，求
（答案：1：2：3）
[課堂小結]（由學生歸納總結）
（1）定理的表示形式： ；
或 ， ，
（2）正弦定理的應用范圍：
①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；
②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。