初中數學變數教學設計

① 誰有初中數學教學設計

一.教材分析

1.教材的地位和作用

一元二次方程是中學數學的主要內容之一，在初中數學中佔有重要地位。通過一元二次方程的學習，可以對已學過實數、一元一次方程、因式分解、二次根式等知識加以鞏固，同時又是今後學習可化為一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式、二次函數等知識的基礎。此外，學習一元二次方程對其它學科有重要意義。本節課是一元二次方程的概念，是通過豐富的實例，讓學生建立一元二次方程，並通過觀察歸納出一元二次方程的概念。

2.教學目標

根據大綱的要求、本節教材的內容和學生的好奇心、求知慾及已有的知識經驗，本節課的三維目標主要體現在：

知識與能力目標： 要求學生會根據具體問題列出一元二次方程，體會方程的模型思想，培養學生歸納、分析的能力。

過程與方法目標：引導學生分析實際問題中的數量關系，回顧一元一次方程的概念，組織學生討論，讓學生自己抽象出一元二次方程的概念 。

情感、態度與價值觀：通過數學建模的分析、思考過程，激發學生學數學的興趣，體會做數學的快樂，培養用數學的意識。

3.教學重點與難點

要運用一元二次方程解決生活中的實際問題，首先須須了解一元二次方程的概念，而概念的教學又要從大量的實例出發 。所以，本節課的重點是：由實際問題列出一元二次方程和一元二次方程的概念。鑒於學生比較缺乏社會生活經歷，處理信息的能力也較弱，因此把由實際問題轉化成數學方程確定為本節課的難點。

二.教法、學法

因為學生已經學習了一元一次方程及相關概念，所以本節課我主要採用啟發式、類比法教學。教學中力求體現「問題情景---數學模型---概念歸納」的模式。但是由於學生將實踐問題轉化為數學方程的能力有限，所以，本節課藉助多媒體輔助教學，指導學生通過直觀形象的觀察與演示，從具體的問題情景中抽象出數學問題，建立數學方程，從而難點。同時學生在現實的生活情景中，經歷數學建模，經過自主探索和合作交流的學習過程，產生積極的情感體驗，進而創造性地解決問題，有效發揮學生的思維能力。

三.教學過程設計

1.創設情景，引入新課

因為數學來源與生活，所以以學生的實際生活背景為素材創設情景，易於被學生接受、感知。通過微機演示課本中的實例，並應用微機對其進行分析，充分顯示微機演示中的生動性、靈活性，把圖形的靜變成動，增強直觀性;同時幫助學生從實際問題中提煉出數學問題，初步培養學生的空間概念和抽象能力。情景分析中學生自然會想到用方程來解決問題，但所列的方程不是以前學過的，從而激發學生的求知慾望，順利地進入新課。

2.啟發探究，獲取新知

通過上述情景分析，讓學生小組合作，列出方程。英國一位著名的數學教育心理學家曾 說：概念的教學要從大量實例出發，通過實例幫助完成定義，而不是教定義。因此，我在課本的基礎上，又補充2個實例，而且，補充的例題所列出的方程正好是一個一次項為0，一個常數項為0 的特殊一元二次方程，這為後面概括得出一元二次方程的一般形式作準備。在學生列出方程後，對所列方程進行整理，並引導學生分析所列方程的特徵，同時與一元一次方程相比較，找出兩者的區別與聯系，並類比一元一次方程的概念來得出一元二次方程的概念。由於一元二次方程的概念是本節的重點，所以在形成概念的過程中主要引導學生積極主動進行自我嘗試、自我分析、自我修正、自我反思，讓學生真正理解一元二次方程概念的內涵：(1)是整式方程(2)只含有一個未知數(3)未知數的最高次數是2。因為任何一個一元一次方程都可以化為 「ax+b=c(a≠0)」的形式，由此類比得出一元二次方程的一般形式為「ax2+bx+c=0(a≠0)」;並由一元一次方程項及系數的概念聯想得出一元二次方程的項及系數的概念。

3.練習反饋，應用拓展

在這個環節，我遵循鞏固與發展想結合的原則，將學生分成小組，以小組競賽活動的方式對本課知識進行鞏固。不僅調動學生學習的積極性、主動性，增強學生積極參與教學活動意識和集體榮譽感，而且還能培養學生的觀察能力和判斷能力。同時，對概念進行變式應用，可以開拓學生思維，培養學生的創新意識。

4.小結歸納，上升理性

引導學生從以下3個方面進行小結，(1)本節課我們學習了哪些知識?(2)學習過程中用了哪些數學方法?(3)確定一元二次方程的項及系數時要注意什麼?以培養學生的歸納、概括能力。

5.作業布置

考慮帶學生在知識、技能、能力等方面的發展都不盡相同，因此，我分層次布置作業，以便同時兼顧到學有困難和學有餘力的學生。

四.教學評價

根據新課程標準的評價理念，在教學過程中，不僅注重學生的參與意識和學生對待學習的態度是否積極，而且注重引導學生嘗試從不同角度分析和解決問題。

② 初中數學課堂教學教案

第五章 反比例函數
教材分析：
函數是在探索具體問題中數量關系和變化規律的基礎上抽象出來的數學概念，是研究現實世界變化規律的重要內容和數學模型，學生曾在七年級下冊和八年級上冊學習過「變數之間的關系」和「一次函數」等內容，對函數已有了初步的認識，在此基礎上討論反比例函數可以進一步領悟函數的概念並積累研究函數性質的方法及用函數觀點處理實際問題的經驗，為後繼學習二次函數等產生積極的影響。本節課通過對具體情境的分析，概括出反比例函數的表達形式，明確反比例函數的概念。通過例題和列舉的實例可以豐富對反比例函數的認識，理解反比例函數的意義。
學情分析：
1.已有的生活體驗
2.對以前學過的函數、一次函數、正比例函數有關知識的初步理解。
教學目標：
(一)知識與技能
1.結合具體情境體會反比例函數的意義。
2.能根據已知條件確定反比例函數表達式。
(二)過程與方法
1.從現實情境和已有的知識經驗出發，討論兩個變數之間的相似關系，加深對函數概念的理解.
2.經歷抽象反比例函數概念的過程，領會反比例函數的意義，理解反比例函數的概念.
(三)情感態度與價值觀
結合實例引導學生了解所討論的函數的表達形式，形成反比例函數概念的具體形象，是從感性認識到理性認識的轉化過程，發展學生的思維；同時體驗數學活動與人類生活的密切聯系及對人類歷史發展的作用.
教學重點：經歷抽象反比例函數概念的過程，領會反比例函數的意義，理解它的概念.
教學難點：領會反比例函數的意義，理解反比例函數的概念.
教學方法：教師引導學生，小組合作、探究式進行歸納.
1、通過關注日常生活中所涉及的兩個變數之間的相依關系，加深對函數關系的理解。
2、通過具體問題，討論總結反比例函數的概念。
教具准備：多媒體課件
教學過程
（一）創設情境，引入新課
1、把一張一百元換成50元的人民幣，可得幾張？換成10元的人民幣可得幾張？依次換成5元，2元，1元的人民幣，各可得幾張？換得的張數y 與面值x之間有怎樣的關系呢？請同學們填表：
換成的元數x（元） 50 20 10 5 2 1
換成的張數y（張）
提問：
1.你會用含有X的代數式表示Y嗎？
2.當換成的元數X變化時，換成的張數Y會怎樣變化呢？（從身邊生活中體會數學，此情境源自生活。）
3.變數X是Y的函數嗎？為什麼？（回顧函數的相關知識）
2、還記得以往學習的函數嗎？（回顧一次函數、正比例函數的表達式。）
與一次函數和正比例函數不同，我們今天要學習的函數是反比例函數。
（二）互動探究，學習新課
例1.我們知道，電流I、電阻R、電壓U之間滿足關系式U=IR，當U=220V時，（1）請你用含有R的代數式表示I；（2）利用你寫出的關系式完成下表：
R/Ω 20 40 60 80 100
I/A
學生填表完成，提出當R越來越大時，I是怎樣變化的？當R越來越小呢？（3）變數I是R的函數嗎？為什麼？（體現數理學科知識的聯系）
思考：舞台燈光為什麼在很短的時間內將陽光燦爛的晴日變成濃雲密布的陰天，或由黑夜變成白晝的?請大家互相交流後回答.（學以致用）
例3.京滬高速公路全長約為1262km，汽車沿京滬高速公路從上海駛往北京，汽車完成全程所需的時間t（h）與行駛的平均速度V(km/h)之間有怎樣的關系？變數t是v的函數嗎？為什麼？（常見的行程問題中蘊含的函數關系）
（三）學生分組交流討論
我們再看例子： 兩個變數x和y的乘積等於-6，用函數關系式表示出來是 ，思考：變數x和y之間的關系是什麼？
提出問題：①變數之間的關系具有什麼特點？引導學生得出：兩個變數的乘積等於非零常數．②如何給反比例函數下定義？
教師總結並和學生一起探索出反比例函數的概念：
一般地，如果兩個變數x，y之間的關系可以表示成： （k為常數，K≠0）的形式，那麼稱y是x的反比例函數。
強調在理解概念時要注意：①常數K≠0；②自變數x不能為零（因為分母為0時，該式沒意義）；③當 可寫為 時注意x的指數為—1。④由定義不難看出，k可以從兩個變數相對應的任意一對對應值的積來求得，只要k確定了，這個函數就確定了。
（四）課堂練習：（鞏固反比例函數的概念）
1：下列哪些式子表示y是x的反比例函數?為什麼?並且說明K是多少？
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
2. 當m為何值時，函數 是反比例函數？（熟悉 形式）
3、若 是反比例函數，則m、n的取值是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、下列命題中，y與x成反比例關系的是（ ）
A．正方形的面積y與它的邊長x B．矩形的面積為定值a，則矩形的長y與寬x
C．三角形的面積y與底邊長x D．圓的面積y周長x
5. P144做一做1-3（實物展示：加深對反比例函數意義的理解）
6. 數學來源於生活，請同學在生活中找出類似的例子。（分組交流討論，體會數學與生活的密切聯系，並讓學生樹立模型化思想。）
（五）總結、提高。
今天通過生活中的例子，探索學習了反比例函數的概念，我們要掌握反比例函數是針對兩種變化量，並且這兩個變化的量可以寫成 （k為常數，K≠0）同時要注意幾點：：①常數K≠0；②自變數x不能為零（因為分母為0時，該式沒意義）；③當 可寫為 時注意x的指數為—1。④由定義不難看出，k可以從兩個變數相對應的任意一對對應值的積來求得，只要k確定了，這個函數就確定了。
（六）布置作業：P145-1461、2、4
（七）板書設計：
反比例函數
1、定義：一般地，如果兩個變數x，y之間的關系可以表示成： （k為常數，K≠0）的形式，那麼稱y是x的反比例函數。
2、注意：
①常數K≠0；
②自變數x不能為零（因為分母為0時，該式沒意義）；
③當 可寫為 時注意x的指數為—1。
④確定了k，這個函數就確定了。

自
由
空
間
（供作教學過程演練用）
（八）、課後反思

③ 初中數學概念課有效教學設計一般分哪幾個的步驟

1、引入概念，使學生感知概念，形成表象；

2、通過分析、抽象和概括，使學生理解和明確概念；

3、通過例題、習題使學生鞏固和應用概念。

4、要對教學的效果進行全面的評價，根據評價的結果對以上各環節進行修改，以確保促進學生的學習，獲得成功的教學。

對各學科教案的設計，都有一個基本要求。每一個教師在達到了基本要求之後，要寫出學科特色和個人的教學風格來。

(3)初中數學變數教學設計擴展閱讀：

教學設計具有以下特徵：

1、教學設計是把教學原理轉化為教學材料和教學活動的計劃。教學設計要遵循教學過程的基本規律，選擇教學目標，以解決教什麼的問題。

2、教學設計是實現教學目標的計劃性和決策性活動。教學設計以計劃和布局安排的形式，對怎樣才能達到教學目標進行創造性的決策，以解決怎樣教的問題。

3、教學設計是以系統方法為指導。教學設計把教學各要素看成一個系統，分析教學問題和需求，確立解決的程序綱要，使教學效果最優化。

4、教學設計是提高學習者獲得知識、技能的效率和興趣的技術過程。教學設計是教育技術的組成部分，它的功能在於運用系統方法設計教學過程，使之成為一種具有操作性的程序。

④ 如何進行初中數學學科單元教學設計

一.單元教學設計的意義
教學設計是我們教學中非常重要的環節。大家都知道做任何事情都需要做一個設計，有一個設計就會使我們做的更加主動。
單元設計，首先什麼是單元，比如說一章，比如說一個模塊，比如一個模塊里的一塊面，比如說一元二次方程這章，我們可以把它當作一個完整的內容來進行設計。當然，也可以做跨章節的內容的教學設計。比如說一次函數，我們可以把一次函數這章分為三塊，一塊是平面直角坐標系，函數知識初步，一塊是一次函數的知識，第三塊是反比例函數的內容。函數知識是初中的一個重點，怎麼樣對這些進行教學設計，我們有一個整體的思考非常重要。
另外，老師應該能夠關注關於方法和能力方面的單元教學設計。比如計算，我們就可以考慮一下，作為一個計算能力，在初一、二年級里，怎麼樣進行設計。使得我們的學生從小學的水平，能夠有一個明顯的提升。我們可以分析一下，支持計算能力的，在課程中有哪些載體。然後在這些載體中，應該如何幫助學生提升他的計算能力。所以我想這樣的一些思考，都是單元教學的設計的很重要的內容，與我們傳統單元的教學設計的內容，需要開拓一點，視野開拓一點。在單元教學設計，有一個，或者有兩個核心的主題詞，第一個是整體，第二個是效率。
我覺得做好單元教學設計，會使你知道在什麼時候，我講到什麼程度，我後面還會對這件事情有所解釋的。當然現在對單元教學設計的思考范圍還是更大一些。比如對有一些概念，比如說弧度的概念，我們也可以對他有一個單元的思考。因為絕不是說講弧度的定義的時候，才會涉及到弧度。只能這樣就無法向學生解釋清楚為什麼加人弧度概念等等，所以我們應該以一個整體的觀點來思考我們整體的教學。這樣會提高教學效率。
二.單元教學設計的含義
單元教學設計：對教材中的章或單元等相對完整、綜合的教學內容進行教學設計。
一課時教學設計：對適合在一節課內實施的教學內容進行教學設計。
三.單元教學設計的原則與注意事項
(1)以單元或章為單位，體現各個知識點之間的邏輯關系
(2)體現單元學習的完整性
(3)體現單元學習的層次性
(4)多種教學形式相結合，教師主導、學生探究相結合
(5)注重單元內容的綜合運用
(6)提供評價方法及模板……
四.如何進行單元教學設計
（1）基本結構框架
(2)新課程標准指出：數學課程的設計，要充分考慮本學段學生數學學習的特點，符合學生的認知規律和心裡特徵，有利於激發學生的學習興趣，引發學生的數學思考；充分考慮數學本身的特點，體現數學的實質；在呈現作為知識與技能的數學結果的同時，重視學生已有的經驗，使學生體驗數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程。

4.學生分析：習慣、態度、對學過內容的掌握

5.教材分析
（1）教材分了17個學時講授，2個學時復習，寫出具體課時安排
（2）可能遇到問題
6.教學設計的一些問題
（1）什麼內容以教授為主
（2）如何利用學過的知識
（3）如何組織學生自主學習：利用符號語言梳理學過內容
（4）讓學生總結一些好的案例：比較不同語言表述同一對象
（5）如何提示學生「實數和二次根式」在後面學習中的作用
（6）「實數和二次根式」將伴隨學生經歷從初中到高中學習的過渡，在教學設計中關注以下問題：①學生的學習習慣；②學生學好數學的信心；③幫助學生梳理學習過的內容
7.教學反思、總結
（1）收集一些教學案例
（2）與自己教學比較
（3）完成一個總結
（4）修訂自己的教學設計

⑤ 我想做份初中數學課題課教學設計，能幫助嗎

專題講座初中數學中函數課堂教學設計
函數是刻畫和研究現實世界變化規律的重要模型，也是初中數學里代數領域的重要內容，它在初中數學中具有較強的綜合性。在教學中，學生常常覺得函數抽象深奧，高不可攀，老師也覺得函數難講，講了學生也理解不了，理解了也不會解題。事實果真如此難教又難學嗎？本文就初中函數教學中三個常見問題，談談在教學設計方面一些方法和實踐。
一、函數教學中基於數學思想的教學方式的研究
數學知識的教學有兩條線：一條是明線，即數學知識；一條是暗線，即數學思想方法。單獨教授知識無益於課本的復讀，利用數學思想進行教學和學習，才能真正實現數學能力的提高。
數學思想方法是對數學的知識內容和所使用方法的本質的認識，它是形成數學意識和數學能力的橋梁，是靈活運用數學知識、數學技能和數學方法解決有關問題的靈魂。 日本數學教育家米山國藏在《數學的精神、思想和方法》一文中曾寫道：學生在初中、高中等所接受的數學知識，因畢業進入社會後幾乎沒有什麼機會應用這種作為知識的數學，所以，通常是出校門後不到一兩年便很快就忘掉了。然而不管他們從事什麼業務工作，唯有深深地銘刻於頭腦中的數學的精神，數學的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等都隨時隨地發生作用，使他們受益終身。因此，在函數教學中，我們不僅要在教會函數知識上下功夫，而且還應該追求解決問題的「常規方法」——基本函數知識中所蘊含的思想方法，要從數學思想方法的高度進行函數教學。 在函數的教學中，應突出「類比」的思想和「數形結合」的思想。
1 ．注重「類比教學」
不同的事物往往具有一些相同或相似的屬性，人們正是利用相似事物具有的這種屬性，通過對一事物的認識來認識與它相似的另一事物，這種認識事物的思維方法就是類比法， 利用類比的思想進行教學設計實施教學 , 可稱為「類比教學」 .
在函數教學中我們期望的是通過對前面知識的學習方法的傳授，達到對後續知識的學習產生影響，使學生達到舉一反三，觸類旁通的目的，讓學生順利地由 「 學會 」 到 「 會學 」 ，真正實現 「 教是為了不教 」 的目的．
有經驗的老師都會發現，初中學習的正比例函數、一次函數、反比例函數、二次函數在概念的得來、圖象性質的研究、及基本解題方法上都有著本質上的相似。因此採用類比的教學方法不但省時、省力，還有助於學生的理解和應用。是一種既經濟又實效的教學方法。下面我就舉例說明如何採用類比的方法實現函數的教學。
首先是正比例函數，它是一次函數特例，也是初中數學中的一種簡單最基本的函數。但是，我們有些教師卻因為正比例函數過於簡單，而輕視。匆匆給出概念，然後應用。等到講到一次函數、反比例函數、二次函數又感到力不從心，學生接受起來概念模糊，性質混亂，解題方法不明確。造成這種困擾的原因是因為忽視正比例函數的基礎作用，我們應該藉助正比例函數這個最簡單的函數載體，把函數研究經典流程完整呈現，正所謂「麻雀雖小，五臟俱全」。再學習其他函數時，在此基礎上類比學習，循序漸進，螺旋上升。
《正比例函數》教學流程
（一）環節一：概念的建立
通過對問題的處理用函數 y=200x 來反映燕鷗的行程與時間的對應規律引入新課。學生自覺思考教師提問，共同得出每個問題的函數關系式。引導學生觀察以上函數關系式的特點得出正比例函數的描述定義及解析式特點。
（二）環節二 ：函數圖象
這個環節是教學的重點，由學生先動手按「列表——描點——連線」的過程畫函數 y=2x 和 y= － 2x 的圖象，相互交流比較然後教師利用多媒體展示畫函數圖象的過程並通過比較使學生正確掌握畫函數圖象的方法。
（三）環節三：探究函數性質
讓學生觀察函數圖象並引導學生通過比較來歸納正比例函數的性質，這個環節是本課的難點，教師要引導學生從圖象的形狀，從左往右的升降情況，經過的象限及自變數變化時函數值的變化規律。這幾個方面來歸納，最終得出正比例函數的性質。
（四）環節四：概念的歸納
將觀察、探究出的函數圖象的特徵、函數的性質等做出系統的歸納。
（五） 環節五： 概念的應用
這個環節主要加深學生對知識點的理解，突出待定系數法的解題方法。
從這五個環節的設定上，大家不難看出，我們在研究一次函數、反比例函數、二次函數的過程也是經歷這樣的六個環節，所以用類比的教學方式是在降低學生的學習難度，卻能提高學習質量，而且程度比較好的學生可以嘗試自主學習一次函數、反比例函數、二次函數。
歸納：函數探究的內容與方法
研究的對象 ------ 函數的圖象與性質
研究的方法 ------- 畫圖象、分析圖象、探究坐標變化規律、歸納函數性質
關注的問題 ------- 圖象的位置、發展趨勢、與坐標軸的交點、函數的增減性 ……
類比進行反比例函數的教學
例如 17.1.2 反比例函數的圖象和性質教學
具體教學過程如下：
T ：正比例函數 y=6x 的圖象是什麼形狀？
S1 ：通過原點的直線（為將要學習的反比例函數圖象作鋪墊）
T ：那麼反比例函數 的圖象會是什麼形狀呢？我們採用什麼辦法畫呢
S2 ：描點法。
（問題一） T ：我們學習過的一次函數用幾點法描畫？
S3 ：兩點法。
（追問） T ：為什麼呢？
S4 ：根據兩點確定一條直線。
（追問） T ：你確定反比例函數的圖象是直線嗎？
S5 ：不能確定。
（追問） T ：因此我們需要描多少點？
S6 ：盡量多些。正負對稱 10 — 12 個點比較合適
（問題二） T ：描點法畫函數圖象的基本步驟？
S7 ：……
T ：對於 我們如何列表取點？
S8 ：……再次突出描點左右對稱取點的思維過程。
教師示範了 的圖象畫法，再讓同學們嘗試畫出 的圖象
（問題三） T ：你能比較出 和 的圖象有什麼共同特徵？
S9 ：兩只曲線，關於原點對稱（雙曲線）
（追問） T 結合你的圖象和列表 和 之間的不同點？
S10 ： 在一、三象限， 在二、四象限。
（追問） T ：你能猜想 的圖象規律嗎，注意類比正比例函數的圖象規律？
S11 ：當 k>0, 圖象過一三象限，當 K<0 ，圖象過二、四象限。
（追問） T 請再畫一組 的圖象，驗證你的猜想
（問題四） T ：通過以上的猜想和驗證，你能總結出反比例函數圖象的位置規律嗎？
S12 ：歸納 S13 ：糾錯 S14 ：改正
這是本課時的引入部分，教師通過問題串，把反比例函數圖象的定義、圖象規律與正比例函數圖象聯系在一起，教師的設計思路就是採用類比的數學思想，讓學生通過類比的數學思想，自主的學習反比例函數圖象的定義與性質，學得自然，輕松。
T ：能否把反比例函數圖象特徵總結一下？
類比正比例函數圖象的特徵：
反比例函數 正比例函數
圖象
位置
增減性
T ：你有什麼啟發？你發現了什麼？……
顯然是教師採用了類比教學思路的結果，開啟了學生思維的大門，找到了學習新知的有效方法與途徑。
對於類比推理的研究最具影響的是波利亞．波利亞在他的著作《怎樣解題》、《數學與猜想》、《數學的發現》中，通過對數學史上一些著名猜想的剖析，再現了一些重大發現產生的淵源及過程，認為歸納和類比是兩種最基本的猜測方法，並以此為據提出了合情推理的一般模式．認為類比就是某種類型的相似性．通過具體的例子論述了合情推理 ( 歸納、類比 ) 在數學發現和解題方面的作用．他還結合中學數學教學實際呼籲： 「 要教學生猜想，要教合情推理。
因此我也在此呼呼：初中函數要有整體設計的意識，就是上好《正比例函數》，類比學習《一次函數》、《反比例函數》、《一次函數》。
2. 注重「數學結合」的教學
數形結合的思想方法是初中數學中一種重要的思想方法。數學是研究現實世界數量關系和空間形式的科學。而數形結合就是通過數與形之間的對應和轉化來解決數學問題。它包含以形助數和以數解形兩個方面，利用它可使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，它兼有數的嚴謹與形的直觀之長。
函數的三種表示方法：解析法、列表法、圖象法本身就體現著函數的「數形結合」。函數圖象就是將變化抽象的函數「拍照」下來研究的有效工具，函數教學離不開函數圖象的研究。在藉助圖象研究函數的過程中，我們需要注意以下幾點原則：
（ 1 ）讓學生經歷繪制函數圖象的具體過程。首先，對於函數圖象的意義，只有學生在親身經歷了列表、描點、連線等繪制函數圖象的具體過程，才能知道函數圖象的由來，才能了解圖象上點的橫、縱坐標與自變數值、函數值的對應關系，為學生利用函數圖象數形結合研究函數性質打好基礎。其次，對於具體的一次函數、反比例函數、二次函數的圖象的認識，學生通過親身畫圖，自己發現函數圖象的形狀、變化趨勢，感悟不同函數圖象之間的關系，為發現函數圖象間的規律，探索函數的性質做好准備。
（ 2 ）切莫急於呈現畫函數圖象的簡單畫法。首先，在探索具體函數形狀時，不能取得點太少，否則學生無法發現點分布的規律，從而猜想出圖象的形狀；其次，教師過早強調圖象的簡單畫法，追求方法的「最優化」，縮短了學生知識探索的經歷過程。所以，在教新知識時，教師要允許學生從最簡單甚至最笨拙的方法做起，漸漸過渡到最佳方法的掌握，達到認識上的最佳狀態。
（ 3 ）注意讓學生體會研究具體函數圖象規律的方法。初中階段一般採用兩種方法研究函數圖象：一是有特殊到一般的歸納法，二是控制參數法。
下面我就具體函數教學過程中如何體現數形結合思想舉例說明：
《一次函數的圖象》教學設計片斷
①猜想一次函數的圖象會是什麼形狀？
②驗證：在同一平面直角坐標系中畫出下列函數的圖象 .
y=3x,y=3x-3,y=-2x,y=-2x-3
③歸納（不完全歸納法）：一次函數的圖象是一條直線，當 k>0 時，直線從左到右呈「起飛」狀，即呈上升趨勢，經過一、三象限；當 k<0 時，直線從左到又呈「降落」狀，即呈下降趨勢，經過二、四象限 .
④思考：不同的一次函數，他們圖象的形狀是相同的，但位置卻各不相同，那麼一次函數的圖象的位置與什麼有關呢？
⑤確定研究方法。通過學生的觀察、思考、交流以及教師的點撥，學生最終得出：一次函數圖象的位置與解析式中的待定參數 k 與 b 的取值有關。教師進一步指出：在研究含有兩個參數的問題時，要先固定一個，進而能明晰地研究出另一個參數在「數」上的變化，導致「形」上的差異。
⑥進一步觀察剛才畫的四個一次函數圖象，思考： k 相同， b 不同的一次函數圖象之間有何關系？ k 不同， b 相同的一次函數圖象之間有何關系？
⑦歸納： k 相同， b 不同的一次函數圖象相互平行，將直線 y=kx 向上或向下平移 ∣ b ∣個單位可得直線 y=kx+b;k 不同， b 相同的一次函數圖象相交於點（ 0 ， b ） .
在這個教學設計中，由於學生明確了函數圖象的研究方法，參與了研究過程，因而對於知識的理解是深刻的、牢固的、靈活的，更重要的是學生體驗到了一種研究函數圖象的一般方法，提高了學生的自主學習能力和思維水平。
二、函數教學過程中幾個難點的處理：
作為初中數學中的難點，函數抽象而富於變化，在一線教學中老師普遍認為有以下幾個問題是教學中的難點，老師不好講，學生不好學。下面我具體舉一些教學設計給各位老師參考看是如何突破我們教學中的難點的：
1 ．反比例函數的增減性問題。
在反比例函數教學時，反比例函數的增減性是個難點。不僅 k 的正負上反比例函數的增減性和正比例函數的增減性相反，而且自變數的取值范圍上有斷點。下面我們看看這個教學設計是如何突破難點的？
《反比例函數的性質》教學設計片斷
（ 1 ）回顧反比例函數圖象特徵
（ 2 ）畫出反比例函數 圖象，並結合圖象，思考下列問題 :
（問題一） T ：①當圖象上的一個點，沿著第一象限的圖象從左向右運動時，點的坐標怎樣變化 ? 這說明在第一象限內，當自變數增大時，函數值是怎樣變化的？（課件演示點的運動及坐標的變化）
（追問） T ：②當圖象上的一個點，沿著第三象限的圖象從左向右運動時，點的坐標怎樣變化？這說明在第三象限內，當自變數增大時，函數值是怎樣變化的？（課件演示點的運動及坐標的變化）
（追問） T: ③當點 A （ x1,y1）在第一象限圖象上，點 B( x2,y2) 在第三象限的圖象上， x1與 x2的大小關系如何？ y1與 y2呢？此時①②中的結論還成立嗎 ?
（問題二） T ：⑶一般的，反比例函數 ，當 k>0 時，隨著 x 的增大， y 的值怎樣變化呢 ?
（追問） T: ⑷如何用符號語言描述呢？
（追問） T: ⑸你能從解析式出發給出證明嗎？
（問題三） T:(6) 你能從 的圖象中 y 隨 x 的變化是如何增減的嗎？
（問題四） T: （ 7 ）畫出反比例函數 圖象，並結合圖象，思考下列問題……
在上面的教學設計中，教師藉助幾何畫板課件，幫助學生形象直觀的理解了反比例函數圖象的變化規律，發現變化過程中的特殊點的，自然的歸納出反比例函數增減性的性質及自變數的取值范圍，並且通過結合符號語言和解析式全方位詮釋增減性的意義。學生不但理解而且記憶，而且途徑全面，更好的感受到函數的三種表示方法的整體一致性。
2 ．用函數來求解方程（組）、不等式問題
用函數來求解方程（組）、不等式問題比較難教，因為學生會覺得，用函數的方法求方程（組）與不等式解的方法一點也不簡單，比以前的方法復雜、繁瑣多了，那為什麼還要學習呢？如果學生意識不到所學數學知識的價值與意義，勢必影響學習效率。
教材安排用函數的觀點看方程（組）、不等式，一方面是為了加強數學知識間的橫縱聯系，體現函數在初中代數中的統領作用；另一方面從函數的角度，由「數」到「形」的對方程（組）、不等式加深認識，從而站在更高的角度上，提高了學生對舊認識的深度。在教學設計中要注意以下幾點：
（ 1 ）從「數」與「形」兩方面體現函數與方程（組）、不等式的聯系
從「數」來看，就是從函數值看，求方程的解，可轉化為當函數值為零時，求相應自變數的值；求不等式的解集，就是當函數值大於零（或小於零）時，求對應的自變數的取值范圍；求方程組的解，就是當兩個函數的函數值相等時，求對應的自變數和函數值 .
從「形」來看，就是從函數圖象看，求方程的解，可轉化為求函數圖象與 x 軸交點的橫坐標；求不等式的解集，可轉化為求在 x 軸上方（或下方）的圖象對應的自變數取值范圍（或一個函數圖象在另一個函數圖象的上方或下方的部分對應的自變數取值范圍）；求方程組的解集，可轉化為求兩個函數圖象交點的橫縱坐標。
（ 2 ）抓住數與形的轉換點理解函數與方程（組）、不等式的聯系
眾所周知，函數圖象就是點的集合，函數圖象上的每一個點的坐標，就是一組自變數與函數值的對應值，因此數與形的轉換點就是圖象上的點及其坐標。教學中抓住這一轉換點，能有效的促進對函數與方程（組）、不等式的關系的理解。
《一次函數與一元一次不等式》教學設計片斷
（一）如何解決下面兩個問題，並思考這兩個問題之間有何關系？
①解不等式： 5x+6>3x+10 ；
②當自變數為 x 何值時，函數 y=2x-4 的值大於 0 ？
歸納：這兩個問題實際上是同一個問題，問題①可以轉化為問題②求解
（二）你能從函數 y=2x-4 的圖象中，發現問題①的解集嗎？
為了促進學生的理解，教師可從以下幾個方面點撥 :
ⅰ函數值與函數圖象上的點的什麼是對應的？函數 y=2x-4 的圖象上，符合函數值大於 0 的點在哪一部分？
ⅱ這部分點的什麼，就是使函數 y=2x-4 的值大於 0 的自變數 x 的取值范圍？
歸納：函數 y=2x-4 圖象在 x 軸上方的部分所對應的橫坐標的取值范圍，就是問題①得解集
（三）函數 y=2x-4 圖象在 x 軸下方的部分所對應的橫坐標的取值范圍，是哪個不等式的解集？
（四）你能進一步得到「解不等式 ax+b>0 與「求自變數 x 在什麼范圍內，一次函數函數 y=ax+b 的值大於 0 」 有什麼關系嗎？ 在上面的教學設計中，教師通過引導學生按照「函數值大於 0 →圖象上點的縱坐標大於 0 →位於 x 軸上方的點→橫坐標的取值范圍→自變數的取值范圍」的思維脈絡，緊扣數與形的結合點，不僅讓學生真正理解了函數與不等式的關系，更重要的是使學生真正做到了用數形結合的方法分析問題。
（ 3 ）使學生明確學習函數與方程（組）、不等式的意義。有些學生可能覺得，用函數的方法求方程（組）與不等式解的方法一點也不簡單，比以前的方法復雜、繁瑣多了，那為什麼還要學習呢？如果學生意識不到所學數學知識的價值與意義，勢必影響學習效率。因此，在教學中首先應使學生體會到以下兩點：
①解方程（組）與解不等式的問題，都可以化歸為函數問題，所以函數統率著方程、不等式；
②從函數的角度分析問題的研究方法，對於後續學習有重要作用。
3．自變數的取值范圍
自變數的取值范圍，是解函數問題的難點和考點。正確求出自變數取值范圍，正確理解問題，並化歸為解不等式或不等式組。這需要學生掌握函數的思想，不等式的實際應用，全面考慮取值的實際意義。 容易講的枯燥無趣，最後變成公式化記憶，但學生總是此題會，彼題又錯，效果往往不好。我們看這個教學設計，生動活潑而且理解深刻。
八年級 7.2 認識函數（ 2 ）
例 1 等腰三角形 ABC 的周長為 80 ，底邊 BC 長為 y ，腰 AB 長為 x ，
求：（ 1 ） y 關於 x 的函數解析式
學生嘗試做題
S1 ： y=80-2x
S2 ： x=(80-y)/2
T ：題目是 y 關於 x ，其中關於相當於等於，所以應該寫成 y=80-2x
T ：把你的學號作為三角形的腰長，請計算相應的底邊 y 值
學生快速的計算
教師在黑板上列出相關的值：
x=0 （教師的學號為 0 ） y=80
x=10 y=60
x=20 y=40
x=30 y=20
x=40 y=0
x=50 y= -20
x=51 y= -22
（問題一） T ： x 表示三角形的腰， y 表示三角形的底邊，你看到這組數據有什麼話要說么？
S1 ：不能是負與 0 ，所以最後三個不行。
（追問 1 ） T ：能分享你結論的理由么？
S1 ： y 是底邊，需要大於 0
T ：自變數的取值需要符合函數的實際意義
這時下面有個同學在悄悄的說，第一個也不行。
（追問 2 ） T ：能說說你的理由么？
S2 ：因為 x 是等腰三角形的腰長，也是大於 0 的。
T ：自變數的取值必須滿足自變數的實際意義
這時，課堂中學生都在用質疑的眼神重新觀察題目，重新思考，這時教師讓學生進行討論。經過一段時間的討論，有學生舉手了。
S3 ：第 2 、 3 個也不行
（追問 3 ） T ：為什麼？
S2 ：不能構成三角形
（問題二） T ：那麼 x 能不能任意取呢？
S ：不能
（問題三） T ：那應該從哪幾個方面求 x 的取值范圍呢？
S1 ： 20<x<40
T ：你解釋一下你是怎麼想到的？
S1 ：三角形任意兩邊之和大於第三邊
T ：我們一起來梳理此題求 x 的取值范圍的方法
教師板書：
求 x 的取值范圍
（ 1 ）自變數 x 的實際意義 x>0
T ：剛才同學們考慮到了函數 y 的取值范圍，而 y=80-2x ，所以還要考慮與 x 相關的量的意義
板書（ 2 ）與 x 相關的量的意義 y>0
（問題四） T ：除了這兩個量還要考慮到什麼呢？
S ：三角形任何兩邊之和大於第三邊
板書（ 3 ）在實際情境中滿足限制的條件
T ：等腰三角形只要考慮 x+x>y

實際問題——解析式——求函數值——沖突——反思——探究——歸納。
在這里，是第一次求自變數的取值范圍，而學生對自變數的取值范圍的求解還沒有形成一種常規的思路，所以，老師通過實際的操作（ 80cm 長的紅絲線），讓學生在動手實踐中了解腰、底邊、底角、頂角、面積等之間的變化情況，然後列出底邊與腰長之間的函數解析式，再給定一個自變數（學生學號作為腰長）求出相應的函數值，一方面復習了函數的有關概念——變數、常量、函數，另一方面也讓學生學習了列簡單問題中的函數解析式，根據函數解析式，已知自變數的值，求相應的函數值，更重要的是通過學號作為三角形的腰長，計算相應的底邊 y 值，教師通過遞進式提問，讓學生在具體的、特殊的數值中發現矛盾，產生沖突，引起進一步探索的求知慾，提問、追問、反問，學生的解釋、說理，由特殊到一般，最後總結出求自變數的取值范圍的通性通法，有一種水到渠成、一氣呵成的氣勢。
4 ． 實際應用問題
學習函數的主要目的之一就是在復雜的實際生活中建立有效的函數模型，利用函數的知識解決問題。這也是新課標所倡導的學習，因此新教材大力倡導函 數與實際的應用。
對於學生來說，實際應用是個難點。在實際應用問題的教學中注意把握以下
幾點：
（ 1 ）切實體現教材設計意圖。教材安排有關應用函數解決實際問題的教學活動，其目的
主要有三 : ①進一步訓練學生的建模能力；②進一步提高學生數形結合分析問題、解決問題的能力；③使學生體會函數是解決生活實際問題的有效模型，進一步提高學生解決實際問題的能力。在教學設計中要體現以上意圖。
（ 2 ）要根據學生實際。對於學生而言，函數已經覺得很難，再用函數解決實際問題，他們會覺得難上加難，因此在教學中要根據學生實際水平，對於難度較大、綜合性較強的
問題要通過有效的設計，分步引導，將復雜問題分解為若干個簡單問題，步步深入，有易到難的尋求答案。
例 4 A 地有肥料 200 噸， B 地有肥料 300 噸，現要把這些肥料全部運往 C 、 D 兩地。如果從 A 地往 C 、 D 兩地運送肥料的費用為每噸 20 元和 25 元；從 B 地往 C 、 D 兩地運送肥料的費用為每噸 15 元和 24 元 . 現 C 鄉需要肥料 240 噸， D 鄉需要肥料 260 噸 , 怎樣調運總費用最少？最少費用是多少？
分析：本題的難點有三處：難點一是如何讓學生想到可用函數解決這類問題；難點二是如何從復雜的數量關系中，列出函數解析式；難點三是如何分析出函數的最小值；難點四是將數學的解還原為實際問題的解決方案。為了突破難點，不妨採用如下的教學設計：
① 畫出示意圖，幫助學生理解題意
② 調運費用和哪些量有關？這些量有何關系？

這些量是變數還是常量？
（通過這個問題，啟發學生發現調用費用是一
個變數，並且與四個變數有關，這四個變數相
互聯系，其他變數都可以用另一個變數表示，既然
是和兩個變數有關的問題，符合函數特徵，利用函
數的圖形和性質可以確定最小值）
③ 設總運費為 y ， A 地運往 C 地的肥料量為 x ，填充下表：

y= ________+ ________+ ________+________
④ 怎樣利用函數解析式求最小運費呢？
（教師引導學生發現，求最小運費就是求解析式中函數 y 的最小值，
一方面從解析式中可以發現， y 隨 x 的增大而增大，所以求 y 的最
值需先求 x 的取值范圍；另一方面也可畫出函數圖象，讓學生通過
觀察圖象，發現 y 的最小值）
⑤當調運費用最少時，其他的調運量多少？請你確定出使運費最少的調用方案 .
歸納總結：
ⅰ為什麼本題可用函數的方法解決 ? 用函數解決實際問題的一般步驟是什麼？
ⅱ怎樣列出函數解析式？
ⅲ函數的最值可用哪些方法求出？
ⅳ在實際問題中，求自變數的取值范圍有何作用？
對研究其他函數圖象時，學生的自主分析能力的提高也很有好處。

⑥ 初中數學概念教學設計時需要關注的主要問題是什麼

一、概念的課堂教學大致經歷以下幾個環節：概念的引入、概念的生成、概念的剖析及辨析、相關概念的聯系與區別、概念應用舉例、概念的鞏固練習. （一） 概念引入的三種想法： 1. 聯系概念的現實原理引入新概念.在教學中引導學生觀察有關實物、模型、圖示等,讓學生在感性認識的基礎上,建立概念,理解概念的實際內容,搞清楚這些概念是從什麼問題上提出來的. 2. 從具體到抽象引入新概念.數學概念有具體性和抽象性雙重特性.在教學中就可以從它具體性的一面入手,使學生形成抽 象的數學概念. 3. 用類比的方法引入概念.類比不僅是一種重要形式,而且是引入新概念的重要方法.例如：可以通過同類項的定義類比地歸納出同類二次根式的定義,通過類比分數得到分式的概念,類比一元一次方程得到一元一次不等式、二元一次方程、一元二次方程、一次函數等概念.作這樣的類比更有利於學生理解和區別概念,在對比之下,既掌握了概念,又可以減少概念的混淆. 概念的引入方法很多,設計時不僅要考慮概念自身的特點,還要結合學生的認識水平及生活經驗,本著有利於突顯概念本質的原則. （二）概念的剖析及辨析 概念生成之後,應用概念解決問題之前,往往要進行概念剖析,即用實例（包括正例與反例）引導學生分析關鍵詞的含義,包括對概念特性的考察,可以達到明確概念、再次認識概念本質的目的,還可以從中體會概念中所呈現的轉化問題的方法,這是最基本、最重要的方法. （三）相關概念的區別與聯系數學概念不是孤立存在的,概念間都有著千絲萬縷的聯系,概念教學還應該承擔著建立與相關概念的聯系的任務,教學時,要引導學生試著對概念進行適度的聯系與發散,努力找出概念間一些體現共性的東西,以使學生形成功能良好的認知結構. （四）概念的應用舉例與訓練鞏固概念的形成是一個由個別到一般的過程,而概念的運用是一個由一般到個別的過程,它們是學生掌握概念的兩個階段.通過運用概念解決實際問題,可以加深、豐富和鞏固學生對數學概念的掌握,並且在概念的運用過程中培養學生的實踐能力. （五）與概念相關的背景、歷史與文化 數學是人類文化的重要組成部分,數學概念的背景、歷史與文化是數學概念教學的組成部分,是向學生滲透德育教育的好載體.許多數學概念都是有其歷史背景,都蘊含著悠久的歷史與文化,教學中我們要讓學生充分受到優秀文化的熏陶,提高學生的數學文化修養和素質. 二、初中數學概念的教學的幾點注意事項： 1.概念（特別是核心概念）教學中,要把「認識數學對象的基本套路」作為核心目標之一； 2.數學概念的高度抽象性,決定了其認識過程的曲折性,不可能一步到位,需要一個螺旋上升,在已有認知基礎上再概括的過程； 3.人類認識數學概念具有漸進性,因此學習像函數這樣的核心概念時,需要區分不同年齡階段的 概括層次（如變數說、關系說、對應說等）,這也是「教學要與學生認知水平相適應」 的原因所在； 4.為了更利於學生開展概括活動,教師要重視讓學生能夠自己舉例,「一個好例子勝過一千條說教」； 5.「細節決定成敗」,必須安排概念的辨析、概念間聯系的分析等過程,即要對概念的內涵進行「深加工」,對概念要素作具體界定,讓學生通過對概念的正例、反例作判斷,更准確的把握概念的細節； 6.在概念的系統中學習概念,即要通過概念的應用,形成用概念做判斷的「操作步驟」,同時建立相關概念的聯系,這是一次新的概括過程.