Ⅰ 華應龍教案找次品教案實錄
一、談話引入
1．實話實說——請吃糖
【為了活躍氣氛，拉近與學生的感情，更主要地為了引入「次品」的概念，課前與學生這樣談話】
師：同學們仔細看看老師，能用幾句簡短的話描述一下老師的特點嗎？
生1：老師中等身材，頭發很平。
生2：老師臉很方，眼睛很小。
……
（老師用鼓勵的目光激勵學生發言，隨便學生怎麼說，說的越奇怪越好。不管學生說什麼，老師都大肆表揚同時表示感謝，以激起其他學生想說話的慾望。待三四個學生發言後，老師話鋒一轉，提出第二個問題。）
師：同學們非常善於觀察，這么短的時間就發現了老師這么多的特點。既然如此聰明，請允許我請教第二個問題，你們必須實話實說，說實話的本老師獎勵吃糖。
（拿出一瓶真的木糖醇，此時學生都好奇地等著老師會出什麼問題或者看著老師手裡的木糖醇，老師故意矜持一會才說出問題。）
老師的問題是：你覺得我和你們原來的數學老師相比，誰更像一位優秀的數學老師？
（聽課老師有的發出了笑聲，學生們也都面面相覷，微笑著不知如何作答）
生1：老師您更優秀。
師：（笑著說）瞎說！你還沒聽過老師上課呢。
生2：（笑著說）兩個都像。
師：（笑著說）不許都選，只能選一個。
生2：（有點無奈的）那就選我們原來的老師吧。
師：說得對！咱們今天表現的如此優秀，一定是原來老師的功勞。請吃糖！
（從木糖醇瓶中倒出一粒放入該學生手中，繼續面向其他同學）誰還想吃糖，請實話數說。
生3：是我們原來的老師，因為他辛辛苦苦教了我們好幾年。
師：（緊緊握著該學生的手）真是一個懂得感恩的孩子，說得對，請吃糖！
（從木糖醇瓶中再倒出一粒放入該學生手中）
【對學生而言，這是一個兩難的問題。有說原老師的，有說現在的老師的，也會有兩邊討好的。老師對兩個都選的同學一定要逼其選其一，同時給選自己原來老師的兩個學生每人一粒糖吃。】
師：（笑著說）同學們不用說了，老師已經知道結果了，應該是你們原來的老師更優秀。（話鋒一轉）當某個人或某項事物不足夠好時，我們可以稱之為——（拖長音，表示疑問）
生：次品
師：對，次品。（隨機板書）
師：（很認真地說）在今天在座的這么多優秀教師中找出我這樣的次品老師是很容易的，可有些時候，找次品就不那麼容易了。剛才誰吃我糖了，請給我站起來！（假裝生氣）
【吃糖的學生剛才還美滋滋的呢，現在被迫站起來。】
師：（繼續假裝生氣）誰讓你們吃糖的？（學生苦笑）瞧瞧你們惹麻煩了吧。老師剛剛買了3瓶一樣的木糖醇，其中一瓶就被你們「偷吃了」兩粒，（老師出示3瓶一樣的木糖醇），吃掉兩粒的那一瓶重量自然就變得輕一些。重量變輕了我們就可以稱之為——（拖長音，表示疑問。）
生：次品（很快接上）
師：對。怎樣很快地知道哪一瓶是次品呢？（示意吃糖的學生坐下）如果用天平稱來稱，至少幾次才能保證找到呢？請獨立思考。
（學生獨立思考約30秒鍾）
2．初步建立基本思維模型。
師：誰來說說至少要幾次才能保證找到？
（此時學生基本有兩種意見：部分或大部分人認為需要2次，部分思維好的同學會認為1次足矣。老師請認為1次的同學上台展示）
師：你見過天平嗎？
生：見過。
師：天平長什麼樣子？（學生茫然。老師走過去示意學生把雙手向左右兩邊伸平，笑曰：這就是一架美麗的天平。該生不自然地笑了，全體同學則會心地一笑。）
師：別人都認為要2次，你說1次就行了。別瞎說！怎麼稱的？稱給我們瞧瞧！
（該生演示：任意拿兩瓶放在天平左右兩邊，兩手伸平）
生：如果是這種情況，剩下的那一瓶就是次品。
師：如果天平左右兩邊不平呢？
（該生再演示：天平左高右低的情況。）
生：如果是這種情況，左邊高的那一瓶就是次品。
師：還有一種情況呢？
（該生馬上反應過來，立刻演示：天平左低右高的情況。）
生：如果是這種情況，右邊高的那一瓶就是次品。
（面向全體同學）
師：大家看明白了嗎？剛才這位同學任意從3瓶中拿出2瓶放在天平的左右兩邊，如果平衡了，次品在哪？
眾生：剩下的那一瓶。
師：如果天平有一邊翹起呢？
眾生：翹起的那一瓶。
師：不管是哪一種情況，幾次就可以找到次品了呀？
眾生：1次。
師：1次果然就可以找到次品是哪一瓶了，表揚給我們帶來這樣思考的那位同學。
（掌聲想起）
師：誰還能像剛才那位同學一樣給我們演示一下怎麼1次就能找到次品了呢？
【3瓶中有1瓶次品，用天平稱來稱，至少1次就可以找到。是找次品問題最基本的思維模型，一定要讓每個學生都清晰。所以，一位同學演示後，再請一位同學上台演示，以加深每個同學的印象。】
（生再次演示，老師適時強調）
師：開始認為需要2次的同學，現在清楚了嗎？3瓶當中有1瓶次品，用天平稱稱，至少幾次就可以保證找到？
眾生響亮回答：1次。
3．拓展延伸，引導猜想。
師：3瓶當中有1瓶次品，用天平稱稱，至少1次就可以保證找到。如果不是3瓶，假如今天來聽課的老師每人1瓶，大概有兩千多瓶吧。我們暫且估計有2187瓶。（隨機板書）如果2187瓶中也有1瓶次品（輕），用天平稱稱，至少幾次才能保證找到呢？請你猜一猜！
（停頓約20秒，找兩三個同學回答）
生1：2186次。
生2：2185次。
生3：一千多次。
生4：729次。
師：2187瓶中有1瓶次品，用天平稱稱，怎麼也要好兩千多次、一千多次或好幾百次，都是這么認為嗎？
眾生點頭：是。
師：如果你們都是這么認為，今天這節課就非常有研究的必要。我們今天這節課就來研究，如果真有2187瓶木糖醇，其中1瓶是次品（輕），用天平稱稱，究竟至少幾次才能保證找到，好嗎？
眾生：好！
二、組織探究
1.體會化繁為簡
師：要解決這個問題，大家覺得2187這個數據是不是有點大呀？
眾生：是。
師：解決問題時，面對一些比較龐大的數據，我們往往可以採取一種策略，誰知道是什麼？
生1：簡化
生2：化簡
師：對！解決問題時，面對一些比較龐大的數據，我們往往可以採取一種策略——化繁為簡（隨機板書），也就是把數據轉化地小一些，就是兩位同學說的化簡。簡到什麼程度呢？3瓶剛才我們研究過了，現在我們研究幾瓶好呢？
生1：4瓶。
生2：5瓶。
師：5瓶和我們書上的例1剛好一模一樣，我們就先來研究如果5瓶當中有1瓶次品，用天平稱稱，至少幾次保證找到？好嗎？
眾生：好！
2.第一次探究
師：請先獨立思考。可以拿出5枚硬幣動手試一試。
（約1分鍾後）
師：同桌同學可以小聲交流交流。
（約1分鍾後）
師：誰來說一說至少幾次保證能找到？
生1：1次。
生2：2次。
生3：3次。
… …
師：你是怎麼稱的？請描述稱的過程？
生1：我在天平左右兩邊各放1瓶，如果有翹起，就找到了。
師：這種情況是有可能的，但能保證嗎？如果天平平衡了怎麼辦？你先請坐！
（生1意識到自己考慮問題的不足，帶著思考坐下！）
生2：我也在天平左右兩邊各放1瓶，如果平衡了，說明這兩瓶中沒有次品；就從剩下的3瓶中再任意選兩瓶放在天平的左右兩邊，如果平衡了，剩下的那瓶就是次品，如果有一邊翹起，翹起的那端就是次品。一共稱了2次。
師：他的方法可行嗎？
眾生:可行。
師：剛才這位同學的稱法，開始時，把5瓶分成了怎樣的3份呀？
生：（1、1、3）
師：真聰明！1和1要稱一次，剩下的3瓶中再找1瓶次品，就像我們課剛剛開始的問題一樣，當然也要1次，一共就是2次。這種稱法如果用數學符號簡單地記錄下來，可以寫成這樣，用「 」表示稱一次（板書）：
5→（1、1、3）→（1、1、1）〓 2次
可以嗎？
眾生:可以。
師：有沒有也是2次，但稱法不一樣的？
生：我在天平左右兩邊各放2瓶，如果平衡了，說明這兩瓶中沒有次品，剩下的那瓶就是次品，但這不能保證。如果有一邊翹起，說明次品在翹起的那一端里，然後再把翹起那一端的2個放在天平左右兩邊，再稱一次，一定可以找到。一共稱了2次。
師：真了不起！同樣也是稱2次，稱法還真的不同。這位同學的稱法如果也用數學符號簡單地記錄下來，可以寫成這樣：（板書）
5→（2、2、1）→（1、1、）〓 2次
行嗎？
眾生:行！
師：比較兩位同學的稱法，過程不同，但結果一致！除了結果相同外，還有沒有發現別的共同點？
（學生略作思考，老師隨機點出）
師：老師發現剛才的兩種稱法，不管開始時如何分組，在每一次稱的時候，天平左右兩邊始終保持瓶數一樣，這是為什麼呀？為什麼不天平一邊放2瓶，一邊放3瓶呢？
生：瓶數不一樣，比較不出來。
師：由於正品和次品的差距往往很小，所以當瓶數不等時，用天平稱量時是無法判斷的。找次品自然要追求次數越少越好，所以這種「浪費」的稱法我們當然不提倡。
師：（笑著對說要3次的同學說話）3次當然能稱的出來，但並不是至少的方案，明白了嗎？
生點頭示意明白。
3.第二次探究
師：5瓶我們研究過了，離2187瓶還差的遠呢。再靠近點，接下來我們研究多少瓶呢？
生1：8瓶。
生2：9瓶。
生3：10瓶。
師：同學們說的都可以，但我們上課時間有限，在一位數中9最大，我們來研究9瓶好不好？（其實例2就是9瓶）
眾生：好！
師：誰再來明確一下問題？
生：9瓶木糖醇中有1瓶是次品（輕），用天平稱稱，至少幾次保證找到？
師：問題已經很明確，請先獨立思考。可以拿9枚硬幣分組試一試，也可以像老師一樣用數學符號畫一畫。
（師靜靜地巡視約1分鍾）
師：請前後桌4位同學一組，討論交流你們認為至少幾次才能找到次品？
（師參與討論約2分鍾）
師：老師剛才在下面聽到有的同學說要4次，有的說要3次，還有的說2次就行。到底至少要幾次呢？看來需要交流交流。先從多的來，誰剛才說要4次的？請說說你是怎樣稱的？
生：我天平左右兩邊各放1個，每次稱2個，這樣4次就一定可以找到。
（師隨著學生的表述相機板書）
9→（1、1、1、1、1、1、1、1、1）〓 4次
師：他的稱法可行嗎？
生：可行但不是次數最少的。
師：好！讓我們一起來聽聽次數再少一些的稱法。3次該怎樣稱？
生：我把9分成4、4、1三組，先稱兩個4，如果天平平衡了，剩下的1瓶就是次品，但這是很幸運的。如果不平，把翹起的那4瓶再2個對2個稱，如果平……（老師禮貌地打斷學生的話）
師：這時會出現平衡嗎？（提醒：次品就在這4瓶里，天平左右兩邊各放2瓶）
生：（明白後立刻改口）一定會有一邊翹起，然後再把翹起的2瓶天平兩邊各放1個，再稱1次，共3次就可以找到次品是哪一瓶。
（師隨著學生的表述相機板書）
9→（4、4、1）→（2、2）→（1、1）〓 3次
師：他的稱法可行嗎？
生：可行。我也是3次，但稱法與他不一樣。
師：真的嗎？同樣是3次，稱法還可以不一樣？趕快說給我們聽聽。
生：我把9分成2、2、2、2、1五組，先稱兩個2，如果有一邊翹起，再稱1次就可以了，但這是幸運的；如果天平平衡了，再稱剩下的兩個2，如果天平還是平衡了，剩下的1瓶就是次品，但這也是很幸運的。如果不平衡，再把翹起的2個分開，天平左右兩邊各1個，再稱1次就一定找到次品了。這樣也是3次保證找到了次品。
（師隨著學生的表述相機板書）
9→（2、2、2、2、1）→（2、2、2、2、1 ）→（1、1）〓 3次
師：還真不錯！同樣是3次保證找到，稱法還真不一樣。
師：剛才好像還有人說2次就夠了，不太可能吧？是誰說的？
（說2次的學生起立）
師：別人都是4次、3次的，你說2次就行，還堅持嗎？
（學生堅持）
師：好！我們大家剛才辛苦了老半天才弄明白至少要3次才能保證找到次品，他竟然堅持說2次就夠了，難道我們……請認真聽聽他是怎麼稱的！如果他說錯了，我們要罰他唱首歌。
（故意這樣說，以引起學生都來關注他的2次是怎樣稱的）
生：我把9分成三組，每組3個。先稱兩個3，如果天平有一邊翹起，次品就在翹起的那3瓶里；如果天平平衡了，次品就在剩下的3瓶里。不管怎樣，接下來就只要研究3瓶就可以了。前面剛學過，從3瓶里找1瓶次品，稱1次就夠了。這樣2次就保證找到了次品。
（師隨著學生的表述相機板書）
9→（3、3、3）→（1、1、1 ）〓 2次
師：聽得懂他的稱法嗎？
（有部分學生不敢大聲回答，請剛才的學生再重復一遍）
師：現在都聽懂了吧！這個同學的稱法完全可行，稱2次就解決了問題。為什麼我們別的稱法次數就比他多呢？我們的問題出在哪兒？這個同學的高明又在哪呢？請仔細觀察黑板上的四種稱法，看誰能最快發現其中的奧秘？
9→（1、1、1、1、1、1、1、1、1）〓 4次
9→（4、4、1）→（2、2）→（1、1）〓 3次
9→（2、2、2、2、1）→（2、2、2、2、1 ）→（1、1）〓 3次
9→（3、3、3）→（1、1、1 ）〓 2次
（學生觀察思考約1分鍾，老師給予適當暗示）
生：2次的稱法一開始把9瓶分成了3組，每組3個。這樣稱1次，就可以斷定次品在哪一組里。
師：說得好！把9瓶分成了3組，每組3個，也就是把物品總數均分3份，這樣稱1次，就可以淘汰2份6瓶，從而讓剩下的瓶數變得最少，自然總的次數就會少下來。而4次的稱法，稱1次後，最多隻能淘汰2瓶；3次的兩種稱法，稱第一次後，也最多隻能淘汰4瓶，所以最終的次數就會相對多起來。
4．第三次探究
師：剛才9瓶中找1瓶次品（輕），那位同學一開始把9瓶平均分成3份來稱，最後的次數最少。是不是所有的可以均分成3份的物品總數，一開始都平均分成3份來稱，最後的次數也是最少呢？剛才那位同學是否偶然呢？我們還需要怎麼辦？
生：繼續驗證。
師：（握著同學的手）說得好！僅僅一個例子不足以推廣，我們還需要進一步驗證。驗證多少呢？比9大一些，可以均分3份的？
（有學生立刻回答）
生：12.
師:好的！我們就來研究12。如果12瓶中有1瓶是次品（輕），用天平稱稱，至少幾次保證找到？請先用剛才那位同學的思路，均分3份來操作。看看至少要幾次？
生說師板書：
12→（4、4、4）→（2、2）→（1、1）〓 3次
師：按照剛才那位同學的思維模式推理，至少要3次才能保證找到。3次是否真的就是最少的次數嗎？有沒有比3次還少的呢？如果有，說明剛才的那位同學純屬偶然。請2人一小組，拼湊12枚硬幣操作操作，或者用筆畫一畫，看看有沒有更少的可能？
（學生思考討論，老師巡視參與，約1～2分鍾後交流）
生1：我是均分2份做的，也是3次。
（師隨著學生的表述相機板書）
12→（6、6）→（3、3）→（1、1）〓 3次
師：有沒有比剛才的3次少？
生1：沒有。
師：誰找到比3次還少的稱法了？
生2：我沒找到，但我一開始均分4分來做的，最後也是3次。
（師隨著學生的表述相機板書）
12→（3、3、3、3）→（3、3、3、3）→（1、1、1）〓 3次
師：兩位同學真不錯，再次給我們展示了最終結果一樣時，中間過程的豐富多彩。但我們都沒有找到比3次還少的方案。如果再研究下去，我們會發現次數只會越來越多。比如：
12→（2、2、2、2、2、2）→（2、2、2、2、2、2）→（2、2、2、2、2、2、）→（1、1）〓 4次。其實剛才那位同學的思維模式並非偶然，真的具有一定的規律性。時間關系，我們不再繼續驗證。
師：剛才那位同學的思維模式是什麼？
眾生：物品總數如果能均分3份，就把物品盡量平均分成3份來操作。
師：為什麼呢？
生：把物品總數平均分成3份來操作，這樣稱1次就可以斷定次品在哪一份里，每一次都最大限度地淘汰，最後的次數自然就會少下來。
三、強化訓練
師：通過剛才的探究，我們已經找到了內在的思維規律，現在老師想考驗一下咱們班同學的數學感覺如何，看看誰的反應快？如果不是12瓶，而是27瓶中有1瓶次品（輕），用天平稱稱，至少幾次保證找到？
（提醒運用剛才發現的思維模式，馬上有學生舉手）
生：3次。
師：（故作驚訝！）別亂說，不可能吧？27瓶呀蠻多的，3次怎麼可以保證找到？
生：我把27瓶平均分成3份，每份9瓶；稱1次就可以推斷次品在哪個9瓶里。然後9瓶就像剛才那位同學那樣再均分3份來稱，2次就夠了。我這里只增加了1次，所以3次就找到了。
（師隨著學生的表述相機板書）
27→（9、9、9）→（3、3、3）→（1、1、1）〓 3次
師：真聰明！把27瓶平均分成3份，每份的9瓶，也可以假設看成一個超大瓶。這樣，27瓶就轉化為了3個超大瓶，稱1次，自然就可以斷定次品在哪個超大瓶里，也就是哪個9里。然後把9再平均分成3份，以此類推，每稱1次，都淘汰兩份，剩下一份。最後的次數一定就是至少的。
師：如果不是27瓶，而是81瓶呢？
（有學生脫口說要9次，可能是想到了九九八十一）
師：（不動聲色）嗯！有可能。是至少嗎？
（馬上有學生反應過來）
生：4次就夠了。
師：（微笑著）請問怎麼稱？
生：把81瓶平均分成3份，每份27瓶，稱1次就可以知道次品在哪個超大大瓶27里。27瓶剛才是3次，所以81瓶中有1瓶次品，用天平稱稱，4次就夠了。
師：真了不起！他也學會轉化了。如果不是81瓶，而是243瓶呢？
（立刻有學生舉手）
生：5次。跟上面一樣，把243均分3份，只比81瓶多稱了1次。所以是5次。
師：反應真快！有沒有哪位同學猜到老師接下來會出哪個數？
生：729。
師：（握著學生舉的手錶揚他）真是英雄所見略同！老師真的要出729，如果真有729瓶，其中1瓶是次品（輕），用天平稱稱，至少幾次保證找到？
眾生：6次。
師：接下來就到哪個數了？
眾生：2187。
師：現在大聲地告訴老師，如果真有2187瓶，其中1瓶是次品，用天平稱稱，至少幾次保證找到？
眾生：7次。
師：課剛開始時猜需要2186次的是那位同學，請問此時此刻有什麼想說的嗎？
（該生起立，笑著無言以對）
師：是什麼讓這位同學無言以對？從兩千多瓶中找一瓶次品，起初我們本能地感覺怎麼也要兩千多、一千多或好幾百次，其實7次足矣。前後相差之大，遠遠超出了我們的想像。這就是數學思考的魅力。也正是這種無窮的魅力，才讓我們這位同學感覺無言以對。其實不止是這位同學，剛開始時，我們都沒有想到啊！
（輕輕摸摸該生的頭，示意他坐下）
四、全課總結
1.全課小結
師：（指著板書上的「次品」倆字）請問我們今天上的什麼課？
全體學生：（自然地答道）次品課。
師：（故作生氣狀）瞎說！你才上次品課呢。
（順手在「次品」前寫上一個大大的「找」字，全體聽課老師則會心地哈哈大笑）
2.提出問題
今天我們找次品的物品總數不管是9、12，還是27、81、243……，都是3的倍數，也就是可以直接均分三份來操作，如果物品總數不是3的倍數，又該怎樣操作呢？這個問題，需要我們下節課來繼續研究。