㈠ 引導學生怎樣探究「植樹問題」的規律
「植樹問題」是人教版四年級下冊「數學廣角」中例1的教學內容。
學生是數學學習的主人。新課程理念要求教師要遵循學生學習數學的心理及認知規律，強調數學教學要以學生的生活經驗、已有的知識經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型並進行應用的過程。在「植樹問題」的教學中，我們本著對新課程理念的理解，著力引導學生探究「兩端要栽」的植樹問題，滲透植樹問題的一些思想方法。通過現實生活中一些常見的實際問題，讓學生通過猜測、實驗操作、驗證，並利用線段圖來發現栽樹(兩端要栽)的棵數、間隔數、間距、總長度之間的關系，從而讓學生建構起植樹問題的數學模型，然後再讓學生用發現的規律來解決生活中的一些簡單的實際問題，讓他們在課堂教學中獲得成長與發展的動力。
為此，我們在每個教學環節中，著力引導學生學會解決「植樹問題」。
一、導入。問同學們是否參加過植樹活動？然後指出植樹活動中有很多的學問，蘊藏著有趣的數學知識，激起學生探究問題的興趣。接著教學「間隔」、「間距」的含義。教師在黑板上先畫出一條長10厘米的線段，問學生這條線段有幾個端點？然後老師將這條線段平均分成兩小段(師要畫出線段)，提問：現在的「線段」上有幾個點？每小段有多長？然後教師介紹什麼是間隔(即間隔數)和什麼是間距？最後，讓學生列舉生活中的「間隔」（著重引導學生從身邊或教室、校園中找到「間隔」）。如：身上的一排紐扣之間有間隔；張開的左、右手有間隔；一個大組擺的8條課桌中有間隔；學校上課、下課的鍾聲，每兩聲之間停斷的時間也可以看成一個「間隔」；……
教學中，我們將植樹、線段、鍾聲、成排的課桌等這些看似毫不相關的事物聯系在一起，拉近了數學課堂與現實生活的距離。同時，能讓學生體會到，在不同的事物或現象之間，有可能存在著相同的數學意義，它們之間往往存在著數學上的本質聯系，從而讓學生體驗到數學學習的價值與數學思維的樂趣，喚起學生創造的慾望。
二、動手實驗，讓學生系扣子
先讓同學拿出課前准備好的一根20厘米長的細線，要求每隔5厘米系一個扣子(強調細線的兩端也要系)。系之前讓學生猜想：能系幾個扣子？有幾個間隔數？待學生操作後指名匯報自己系了幾個扣子？扣子的個數與間隔數同你的猜想一樣嗎？它們之間有什麼關系？通過操作，同學們就能知道：系的扣子個數比間隔數多1。然後，教師又讓學生各自在本子上用線段圖表示出來，並算一算間隔是幾個、間距是多少？
教學中，教師以實驗操作的形式指導學生驗證了扣子的個數與間隔數的關系，增強了學生自主探究知識的慾望，讓學生獲得了直接經驗，豐富了感性認識，也能讓他們精神集中地投入到學習活動中，促使他們真正成為學習活動的主人。
三、建構植樹問題的數學模型
教師將系扣子問題進行變式：兩端都要栽上樹，在學校20米長的圍牆邊栽5棵樹，你知道有幾個間隔？間距是多少？有什麼規律嗎？然後請學生畫線段圖表示出來。接著，教師著重引導、幫助學生建構植樹問題的數學模型，把發現的規律進行匯總（板書）：(兩端要栽)①棵數=間隔數+1；②總長度=間距×間隔數
教學中，我們引導學生通過畫線段圖、猜想、驗證相關問題，是讓學生從簡單的情況入手，從中抽象出一般的數學規律，抽取出植樹問題的數學模型，從而達到化繁為簡、內化知識的目的。
四、運用模型解決問題，拓展提高。
（一）、讓學生運用模型解決例1提出的問題。教師運用投影展示出四幅主題圖的情景後，引導學生觀察主題圖並理解題意，讓他們互相交流獲取的信息和所要解決的問題。再指名回答解決問題的方法和思路，呈現出不同學生的不同解題思路和方法。
（二）、讓學生嘗試完成教材中的「做一做」。教師要求學生各自讀題後同桌互相討論，再列出算式，指名板演後敘述思路：根據(兩端要栽)棵數比間隔數多1，可以先求出間隔數，再根據規律「間距×間隔數=總長度」就能解決問題了。
（三）、比較例1和「做一做」的解法和思路的不同，讓學生經歷雙向可逆性思維的過程，引導、幫助學生加深對規律的理解，以能進一步提高學生靈活運用數學模型來解決實際問題的能力，促使學生達到數學學習的高境界——舉一反三，靈活應用。例1是已知總長度和間距，求(兩端要栽)栽樹的棵數。因為棵數比間隔數多1，所以求出間隔數後再加1，即就可得出棵數。「做一做」中的問題是已知棵數和間距，求總長度。所以要先求出間隔數，用棵數減1即可得出間隔數，再用間隔數乘間距就能求得全長了。
（四）、拓展提高，讓學生感受數學在實際生活中的應用。
[展示問題]：座落在永豐大道的糧貿大廈上的大鍾5時敲響5下，8秒鍾敲完。12時敲響12下，需要多長時間？
教師引導學生認真審題，並要求畫線段圖表示出大鍾敲響5下的情況。然後讓同學對照線段圖思考：大鍾敲響5下的時候，實際上中間有幾個間隔？平均每個間隔之間的時間是多少？教師同時提示學生要注意：在植樹問題中的「間距」、「總長度」不一定就是長度單位，也可以是時間單位等。
我們認為，數學問題來源於生活，而又運用於生活。建構數學模型不是數學教學的最終目的，通過教師的指導、幫助，讓學生形成一種技能，建立數學思維方法，反過來再去解決問題，讓他們理解並形成數學的思維能力，增強他們學好數學的信心，這才是數學教學的最終目的。
五、課堂總結
教師提問：這節課，我們學習了什麼新知識？你是怎樣學習這些知識的？學生敘述後師生再作總結。
課堂總結從學生指導和客觀的目標等角度，讓同學們回憶了本節課的學習歷程和發現的規律，體現數學學習的「過程」，讓學生的思維得以充分地發展，以達到「教是為了不用教」的效果。
㈡ 數學中的植樹問題
植樹問題 植樹問題公式：直線植樹： 距離/間隔 +1 = 棵數
四周植樹： 距離/間隔 = 棵數
關於《植樹問題》
《植樹問題》這節課現在的案例很多，但因為這是一堂發展學生思維能力的課，所以怎樣的教學目標定位才是適合學生的發展的，應該說是很難把握的。其次是第一節課要學生學到什麼？是掌握其中一點（棵數=段數+1），還是在此基礎上，讓學生對這一問題有一個整體的把握，即既要理解+1的原因，又要理解—1的原因，和不加不減的原因。
宋晶晶老師結合多種版本的案例，給我們演繹了一堂精彩的數學課，我覺得她在了解學生的基礎上，使相當一部分學生在原有的知識基礎上，對植樹問題的原因理解的更透徹了。
這節課的主要過程是通過生活中的例子，引導學生通過畫圖等，體驗段數和棵數之間的關系，得出結論，再通過舉例使學生聯系生活，對生活中的例子進行辨析，在辨析中進一步理解+1的原因。最後通過闖關活動，激勵學生去攻克一個又一個難關（3個變化題），使全體學生都能積極思考，從中進一步理解植樹問題的內涵。在交流、反饋中，還引導學生應用一一對應的思想去思考驗證，對中下學生的體驗和理解幫助很大。
我覺得宋老師這堂課是成功的，是適合她的班級的，但換到其他班級，不一定適合，如果學生一點基礎都沒有，練習的難度要降低，才能取得理想的效果。
關於《植樹問題》的兩點思考：
不巧的很，仙桃市小學數學優秀青年骨幹教師網路教研中心培訓會暨重學新課標演講會與仙桃市2007春季學期備考會重疊了。因此，雖然中途趕來，但還是沒有完整地聽完《植樹問題》這節課，遺憾之餘（事實上，寥寥幾分鍾，執教教師的機智、藝術還是給我留下了很深的印象），只能簡短地談談自己對《植樹問題》的幾點思考。
說是對《植樹問題》的幾點思考，不如說對建立模型的幾點思考更准確。
筆者以為，目前在模型的建立上面，有幾點誤區：
一、重形象直觀，輕抽象概括。以《植樹問題》為例，兩端都栽樹，很多老師喜歡以手為例。兩個手指之間有幾個間隔？三個手指呢？四個、五個呢？你能發現什麼規律？這里，執教教師就倉促了一些。其實，這里教師還可進一步引導：6個手指有多少個間隔……100個手指呢？你是怎樣知道的？這就逼著學生跳出「手」這一具體形象，依靠表象進行抽象概括，思維無疑進了一步。
二、重歸納發現，輕演繹推理。兩端植樹，樹的棵數=間隔數+1。正如前面案例所描述的，這是一個典型的歸納發現的過程。那麼，對於本節課的另一教學任務，《植樹問題》的另一類型：兩端都不植樹的情況，是否也依然要用歸納發現的方法呢？這當然仁者見仁，智者見智。不過，我認為以下教法很重要。因為，在我看來，「兩端植樹」和「兩端都不植樹」二者實質是一樣的，兩端植樹，樹的棵數=間隔數+1，把兩端的樹去掉，樹的棵數就減少了2，也就是「間隔數+1－2」，加上一個1再減上一個2，間隔數總的來說少了1，用模型表示就是「間隔數－1」。
筆者以為，以上教法不僅是溝通二者之間聯系的需要，更重要的是，這是滲透數學思維的需要：即學生數學思維的發展不僅需要歸納發現的能力，同時也需要演繹推理的能力。
事實上，這正是現在模型教學所匿乏的。
書本上的知識：
植樹問題是在一定的線路上，根據總路程、間隔長和棵數進行植樹的問題。
為使其更直觀，用圖示法來說明。樹用點來表示，植樹的沿線用線來表示，這樣就把植樹問題轉化為一條非封閉或封閉的線上的「點數」與相鄰兩點間的線的段數之間的關系問題。
專題分析：
一、在線段上的植樹問題可以分為以下三種情形。
1、如果植樹線路的兩端都要植樹，那麼植樹的棵數應比要分的段數多1，即：棵數=段數+1。
2、如果植樹線路只有一端要植樹，那麼植樹的棵數和要分的段數相等，即：棵數=段數。
3、如果植樹線路的兩端都不植樹，那麼植樹的棵數比要分的段數少1，即：棵數=段數－1。
二、在封閉線路上植樹，棵數與段數相等，即：棵數=段數。
三、在方形線路上植樹，如果每個頂點都要植樹。則棵數=（每邊的棵數－1）×邊數。
例題：
例子1，長方形場地：一個長84米，寬54米的長方形蘋果園中，蘋果樹的株距是2米，行距是3米．這個蘋果園共種蘋果樹多少棵？
解：
解法一：
①一行能種多少棵？84÷2=42(棵)．|
②這塊地能種蘋果樹多少行？54÷3=18(行)．
③這塊地共種蘋果樹多少棵？42×18=756(棵)．
如果株距、行距的方向互換，結果相同：
(84÷3)×(54÷2)=28×27=756(棵)．
解法二：
①這塊地的面積是多少平方米？
84×54=4536(平方米)．
②一棵蘋果樹佔地多少平方米？
2×3=6(平方米)．
③這塊地能種蘋果樹多少棵？
4536÷6=756(棵)．
當長方形土地的長、寬分別能被株距、行距整除時，可用上述兩種方法中的任意一種來解；當長方形土地的長、寬不能被株距、行距整除時，就只能用第二種解法來解．
但有些問題從表面上看，並沒有出現「植樹」二字，但題目實質上是反映封閉線段或不封閉線段長度、分隔點、每段長度三者之間的關系。鋸木頭問題就是典型的不封閉線段上，兩頭不植樹問題。所鋸的段數總比鋸的次數多一。上樓梯問題，就是把每上一層樓梯所需的時間看成一個時間間隔，那麼： 上樓所需總時間 =（終點層—起始層）×每層所需時間。而方陣隊列問題，看似與植樹問題毫不相干，實質上都是植樹問題。
例子2，直線場地：在一條馬路的兩旁植樹，每隔3米植一棵，植到頭還剩3棵；每隔2.5米植一棵，植到頭還缺少37棵，求這條馬路的長度。
解：
設一共有A棵樹
【（A-3）/2-1】X3=【（A+37）/2-1】X2.5
A=205
馬路長:【（205-3）/2-1】X3=300
得:馬路長度為300米
例子3，圓形場地（難題）：有一個圓形花壇，繞它走一圈是120米。如果在花壇周圍每隔6米栽一株丁香花，再在每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽2株月季花。可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？每2株緊相鄰的月季花相距多少米
解：
解：根據棵數=全長÷間隔可求出栽丁香花的株數：
120÷6=20（株）
由於是在每相鄰的2株丁香花之間栽2株月季花，丁香花的株數與丁香花之間的間隔數相等，因此，可栽月季花：
2×20=40（株）
由於2株丁香花之間的2株月季花是緊相鄰的，而2株丁香花之間的距離被2株月季花分為3等份，因此緊相鄰2株月季花之間距離為：
6÷3=2（米）
答：可栽丁香花20株，可栽月季花40株，2株緊相鄰月季花之間相距2米。
例5 在圓形水池邊植樹，把樹植在距離岸邊均為3米的圓周上，按弧長計算，每隔2米植一棵樹，共植了314棵。水池的周長是多少米？（適於六年級程度）
解：先求出植樹線路的長。植樹線路是一個圓的周長，這個圓的周長是：
2×314=628（米）
這個圓的直徑是：
628÷3.14=200（米）
由於樹是植在距離岸邊均為3米的圓周上，所以圓形水池的直徑是：
200-3×2=194（米）
圓形水池的周長是：
194×3.14=609.16（米）
綜合算式：
（2×314÷3.14-3×2）×3.14
=（200-6）×3.14
=194×3.14
=609.16（米）
㈢ 植樹問題的植樹問題公式
植樹問題公式：
（兩端都植） ：距離÷間隔長 +1=棵數。版
（只植一端） ：距離÷間隔長=棵數。
（兩端都不植權） ：距離÷間隔長－1=棵數。
在線段上的植樹問題可以分為以下三種情形。
1、如果植樹線路的兩端都要植樹，那麼植樹的棵數應比要分的段數多1，即：棵數=間隔數+1。
2、如果植樹的線路只有一端要植樹，那麼植樹的棵數和要分的段數相等，即：棵數=間隔數。
3、如果植樹的線路兩端都不植樹，那麼植樹的棵數比要分的段數少1，即：棵數=間隔數－1。
(3)植樹問題的教學反思擴展閱讀：
實數的加法法則：
（1）同號兩數相加，取與加數相同的符號，並把絕對值相加。
（2）異號兩數相加，取絕對值最大的加數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值。
（3）任何數加0仍得原數。
整數加減法的運演算法則：
（1）相同數位對齊；
（2）從個位算起；
（3）加法中滿幾十就向高一位進幾；減法中不夠減時，就從高一位退1當10和本數位相加後再減。