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二面角的教學設計

發布時間:2021-02-12 12:31:58

A. 二面角的平面角的三個主要特徵

教學目標

1.使學生正確理解和掌握「二面角」、「二面角的平面角」的概念,並能初步運用它解決實

際問題;

2.引導學生探索和研究「二面角的平面角」應該如何定義,在概念形成的過程中,發展學生

的思維能力.

教學重點和難點

本課的重點是「二面角」和?「二面角的平面角」的概念;

本課的難點是「二面角的平面角」概念形成的過程.

教學設計過程

教師:在平面幾何中「角」是怎樣定義的?

學生:從平面內一點出發的兩條射線所組成的圖形叫做角.

教師:在立體幾何中,「異面直線所成的角」、「直線和平面所成的角」又是怎樣定義的?

它們有什麼共同的特徵?

學生:直線a,b是異面直線,經過空間任意一點O,分別引直線a′‖a,b′‖b,我們把直線a′和b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角.

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個平面所成的角.

它們的共同特徵是都是將三維空間的角轉化為二維空間的角.

教師:請同學們觀察下面的幾個問題.

(當教師說完上述話後,利用多媒體技術,讓學生通過計算機看兩個例子)

例子之一:

鏡頭一:淡藍色的地球.(圖片)

鏡頭二:火箭發射人造地球衛星.(錄相)

鏡頭三:人造地球衛星繞地球旋轉,最後畫出衛星的軌道平面和地球赤道平面.

讓學生觀察這兩個平面相交成一定的角度.

例子之二:

鏡頭一:人走在坡度不太大的橋上.(錄相)

鏡頭二:人在爬山.(錄相)

鏡頭三:攀岩運動.(錄相)

鏡頭四:演示下面動態圖象.(讓水平面靜止不動,坡面在不斷變化,目的是讓學生看到,

在生活實踐中,有許多問題要涉及到兩個平面相交所成的角的情形)

(注意:四個鏡頭要連續編排在一起進行演示,時間一分鍾)

教師:如何給二面角下定義呢?下面我們用類比的辦法,與角的概念對比,探討二面角的定義.

這一段教學採用計算機輔助手段,每一個問題分三步完成,首先給出平面角的問題,然後請

學生思考並回答二面角的問題,最後計算機顯示正確結果.這部分共有四個問題,全部研究

完畢後,將整個過程列成一個總表,顯示在屏幕上.

教師:請看角的圖形,思考二面角的圖形.

學生可以將自己畫的圖展示給大家.

計算機顯示:二面角的圖形.

教師:(給出平面角的定義)請同學們給二面角下定義.

顯示:從平面內一點出發的兩條射線所組成的圖形.

學生:(口答)

計算機顯示:從空間一直線出發的兩個半平面所組成的圖形.

教師:平面角由射線—點—射線構成.二面角呢?

學生:二面角由半平面—線—半平面構成.

教師:平面角表示法:∠AOB.

二面角表示法 α-α-β或α-AB-β.

最後計算機顯示整個過程.

教師:經過上面的研究我們已經看到,平面上的角,可以看作是一條射線繞其端點旋轉形成

的圖形;類似地,一個半平面繞其界線旋轉到一定位置所得到的圖形,就是二面角.

教師:二面角與平面內的角一樣,是可以比較大小的,其比較方法,與平面內的角的大小的

比較方法類似.

(教師讓學生打開書本)

打開書本的過程,給我們一種二面角的大小連續變化的形象.(前面看到的爬山問題也是如此)

教師:用量角器可以量出平面內的角的大小,能否也能用量角器直接去量出二面角的大小呢.

比如,這里有一個對頂量角器和一個三角木塊(直三稜柱)模型,你們能用我們自製的對頂量

角器來量出三角木塊模型的某兩面角的大小嗎?比如平面α與β的夾角?

教師:一般地說,量角器只能測量「平面角」(指兩條相交直線所成的角.相應地,我們把

異面直線所成的角,直線與平面所成的角和二面角,均稱為空間角)那麼,如何去度量二面

角的大小呢?我們以往是如何度量某些角的?

學生:分別通過「取點、平移(相交)」(對異面直線所成的角)與「斜線的射影(相交)」(對

斜線與平面所成的角)去度量的.

教師:這些做法的共同點是什麼?

學生:都是將空間角化為平面角.

教師:對!再回到剛才的量角操作,你是怎樣用對頂量角器去量二面角α-l-β的大小呢?

學生:將對頂量角器的一個角的兩邊靠緊二面角的兩個面,角的頂點則在二面角的棱上.

教師:大家注意,實際上同學們量的是一個平面內的角:∠ABC.這個角的頂點在二面角的

棱上,它的兩邊分別在二面角的兩個面內且與棱垂直.而且對於確定的二面角,這樣的角的

大小是唯一的,確定的,我們把它叫做二面角的平面角.

(對於訓練有素,肯於思考的學生可能會提出下面的問題)

學生:若以棱a上任意一點O為端點,在兩個面內作與棱成等角θ′(0°<θ′<90°)的兩

條射線OA′,OB′,由空間等角定理知,∠A′OB′也是存在且唯一的,為什麼不用這樣的

角定義二面角的平面角?

教師:記∠AOB=θ,∠A′OB′=j.當OA′,OB′在平面AOB同側時θ>j;當OA′,OB′

在平面AOB異側時θ<j.請看圖6:

設 A′P′=a,A′P=b,A′B′=x

由餘弦定理,得:

cos j=2(1-cos j),

cos θ=2(1-cos θ),

所以

在RtΔA′pp′中:sinθ′=,

所以 sin2θ′=.(*)

當OA′,OB在平面AOB的同側時,若用∠A′OB′=表示二面角的大小,由(*)知,與θ

之間會有常數關系,這將給表示,尤其是計算、應用帶來諸多不便;另外,若用∠A′OB′=

表示二面角的大小,當平面α⊥平面β時;≠90°,當半平面α與半平面β在同一平面

時,=2θ′≠180°,都與已有知識和經驗不符,不能直觀反映出空間兩個相交平面的相

對位置關系.

教師板書二面角的平面角的定義.

定義 以二面角的棱上任意一點為端點,在兩個面內分別作垂直於棱的兩條射線,這兩條射

線所成的角叫做二面角的平面角.

教師:「二面角的平面角」的定義三個主要特徵是什麼?

學生:過棱上任意一點(0∈a),分別在兩個面內作射線(OAα,OBβ),射線垂直於棱(O

A⊥a,OB⊥a).

教師:經過上面的研究我們看到,二面角的大小,可以用它的平面角來度量,二面角的平面

角是幾度,就說這個二面角是幾度.

教師:許多立體幾何問題,若能正確地作出圖形,則問題就便於解決.若能正確地作出二面

角的平面角乃是解決這類問題的關鍵步驟.下面我們總結一下作二面角平面角的幾種基本方

法.如何利用定義作二面角的平面角呢?

學生:在二面角的棱a上任意取一點O為端點,在面α,β內分別引垂直於棱a的兩條射線OA

,OB,則∠AOB為該二面角的平面角.

教師:如何利用三垂線定理作二面角的平面角呢?

學生:在二面角α-a-β的面α上任取一點A,過A分別作棱a和另一面β的垂線AO和AB(O,

B分別是垂足),連BO;或者過A作面β的垂線AB,又過垂足B引棱a的垂線BO,連AO;則∠AOB

為該二面角的平面角.

教師:能否用作垂面的辦法作二面角的平面角呢?

學生:過二面角的棱a上任一點O,作平面γ與該棱垂直(作棱的垂面),平面γ與α,β分別

交於OA,OB,則可用∠AOB來度量二面角α-a-β的大小.

教師:下面我們研究一道例題.

題目:如圖11,山坡的傾斜度(坡面與水平面所成二面角的度數)是60°,山坡上有一條直道

CD,它和坡腳的水平線AB的夾角是30°,沿這條路上山,行走100米後升高多少米?

(投影打出下圖)

(此例是一個實際應用問題,難度較低,一般不易引起人們的注意,但教師應深入思考,講

清下面幾點)

分析:

1.建模過程 此例的求解首先要對實際圖形作出想像理解,然後在教學中抽象出數學模型.

雖然建模過程難度較低,但教學中應主要向學生滲透建模的思想和增強學生對立體幾何中一

些基本圖形的認識與理解.

設過AB的水平面為α,坡面DAB所在的平面為β,CD=100m.

本題要求「升高了多少米」?即是求點D到水平面α的距離DH.這自然會想到解直角三角形DH

C,但該直角三角形不可解,故必須另尋途徑.(如圖,利用計算機顯示在屏幕上)

再看看給出的條件,已知二面角α-AB-β是60°,如何作出它的平面角呢?過D在平面β內

作DG⊥AB,G是垂足,再連結HG,則根據三垂線定理,可得HG⊥AB,則∠DGH就是該二面角的

平面角,即∠DGH=60°.再根據∠DCH=30°及直角三角形DGH和DCG的邊角關系,就可以求出DH.

2.提煉方法 此例的求解是應用三垂線定理作二面角的平面角的典型例子,也是立體幾何的

一個基本方法.為了強化此法,應在本節練習中配套出相應的題目.這表明在教學中加強對

基本方法的提煉、理解是很有必要的,也是加強通法教學的具體表現.

練習:

①在30°二面角的一個面內有一個點,它到另一個面的距離是a,求它到棱的距離.

②把邊長為a的正方形ABCD以BD為軸折疊,使二面角A-BD-C成60°的二面角,求A、C兩點

的距離.

3.導出等式 在圖12中,不妨從一般性出發,記∠DCH=θ1,∠DCG=θ2,∠HCG=θ3,∠DHG=θ.引導學生從例題圖形中推導出等式:

① sin1=sin2sin

②cos2=cos1cos.

這樣的練習既鍛煉了學生的動手能力,還揭示了例題的引申功能,使例題的作用突出,導向

明確,極有利於學生對知識串聯、累積、加工,從而達到舉一反三的作用.

推導①:因為sinθ1=,sinθ2=,sinθ=,所以sinθ1=sinθ2sinθ.

推導②:因為 cosθ2=,cosθ1=,cosθ3=,所以cosθ2=cosθ1cisθ3.

4.挖掘引申 教師在學生導出等式①,②後,把課堂教學進一步引向深入,對等式①,②作

出說明與解釋.

由等式①可得sinθ1≤sinθ,即θ1≤θ,說明沿山坡直道CD上山時與水平面所成的角θ1

不大於山坡的傾斜度,這使例題的實際性增強,又使學生在教學過程中對數學知識與實際生

活進行比較、聯系、評價,突出了數學應用的廣泛性,進一步強化了學生的應用意識,從而

有利於學生數學素養的提高.

小結

1.空間的「二面角」,是平面幾何中角的概念在空間中的拓廣.處理問題的思想方法是將「

空間的角」轉化為「平面的角」來處理.定義的原則是:這個「平面角」的大小必須是由空

間的角完全確定而且是唯一的.

2.凡是涉及到二面角的幾何問題,都要根據題目的條件,在圖形的恰當位置作出二面角的平

面角,主要方法有「定義法」,「應用三垂線定理」和「作垂面」的方法.我們將在下一課

做進一步的研究.

布置作業

1.閱讀課本.

2.正四面體ABCD,求側面與底面所成二面角的大小的餘弦值.

3.如果兩個二面角的兩個面對應平行,那麼這兩個二面角相等或互補.

課堂教學設計說明

本節課屬於新授課型.應主要把握下述幾個方面.

1.要有良好的鋪墊.數學教學的過程,實質上就是原有認知結構不斷地同化或順應的能動過

程.學生原有的認知結構,始終是關系遷移功能的一個關鍵的因素.為了有效遷移和建構,

就應認真尋找和了解學生的原認識,及時組織改造和喚起這些關鍵因素,為學習新的知識提

供基礎.主要要做到三個方面的鋪墊:(1)知識性鋪墊.(2)技能性鋪墊.(3)原理性鋪墊.

2.抓著新知識的導入點.新課導入就是在新舊問題之間架起一座「認知橋梁」,從而順利實

現遷移.導入時要尋求新舊問題的最短距離,要瞄準新舊關系的最佳方位,要把握新舊轉換

的最精確表達.

3.新授課的重點是新授.新授是一堂課的重要環節,也是學生思維最活躍、最緊張、最有效

的認知高潮.因此,新授過程應確保在教學中的最佳時域進行.要讓學生有觀察、動手、表

達、思考、交流、表現等時機,讓學生真正成為學習的主人,主動地和生動地進行認知建構.

4.做好課堂鞏固.鞏固的主要目的就是幫助學生建立起關於某道範例的思維模式,形成積極

有益的認知定勢作為學習優勢去解決實際問題.這樣的鞏固練習,不能單純停留於對範例的

模仿上,而應恰當地變換形式或角度,集中突破教學難點和重點.

5.做好作業的選題、批改、訂正、講評,進一步提高學習質量.

B. 高中數學教案人教版

http://www.zhaojiaoan.com/soft/list.asp?classid=305
人教版高三數學教案選[高中數學教案]
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2008-03-12 09:18:26 高一數學教案 函數的單調性[高中數學教案]
高中數學教案課題:函數的單調性教案課型新授課課時1課時教學目標知識目標理解增函數、減函數的概念;能力目標1.掌握判斷和證明某些函數增、減性的方法;2.培養學生觀察、比較、分析的能力;3.增強數形結合的意識與能力;德育目標熟悉從感性認識到理性認識,從具體到

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『高中數學教案』等比數列的前n項和

·等比數列的前n項和【教學目標】1、掌握等比差數列的前n項和公式及其推導方法 2、能靈活運用等比差數列的前n項和公式 3、進一步培養歸納和猜想的能力【教學重點】等比差數列......
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『高中數學教案』高中數學優秀課參賽教案 函數的最大值和最小值

·3.8 函數的最大值和最小值(第1課時) 人教版全日制普通高級中學教科書數學第三冊(選修Ⅱ)【教材分析】 1.本節教材的地位與作用本節主要研究閉區間上的連續函數......
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『高中數學教案』北師大版高中數學必修1教案 集合的概念及其表示

·1.1-2集合的概念及其表示(二)教學目標:掌握表示集合方法;了解空集的概念及其特殊性,滲透抽象、概括思想。教學重點:集合的表示方法教學難點:正確表示一些簡單集合課......
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『高中數學教案』北師大版•數學•必修一•期末復習教學..

·北師大版•數學•必修一•期末復習教學一體案二次函數專題復習目標 1、掌握二次函數的開口方向、開口大小與系數關系,會求二次函數表達式;拿......
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『高中數學教案』人教版高一數學必修教案 集合

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『高中數學教案』人教版(必修)數學第二冊(上)活動教案橢圓及其標准方..

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『高中數學教案』新課程高中數學優秀教學設計與案例(共131頁)

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『高中數學教案』高中數學教案 必修2 1.1空間幾何體的結構

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『高中數學教案』高三數學公開課教案 直線與圓錐曲線的位置關系

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『高中數學教案』高二數學公開課教案 拋物線標准方程

·一、教學目標: 1.掌握拋物線的定義、拋物線的標准方程及其推導過程. 2.進一步熟練掌握解析幾何的基本思想方法,提高分析、對比、概括、轉化等方面的能力.二、教學重、難點: ......
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『高中數學教案』高中數學教案 常用邏輯用語(約8課時)

·選修2-1 常用邏輯用語(約8課時) 一,知識要求及變化 1,整體定位根據課程標準的設計思路,對每一部分都有一個整體定位.為了更好的把握常用邏輯用語的要求,首先需要明確......
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『高中數學教案』中等職業教材數學基礎版第二冊《橢圓的性質》教學設計..

·教材:高等教育出版社中等職業教育國家規劃教材數學基礎版第二冊. 【教學目標】知識目標: (1).使學生掌握橢圓的性質,能根據性質正確地作出橢圓草圖;掌握橢圓中 a,b,c......
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『高中數學教案』高等教育出版社數學基礎版第二冊4單元教案

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『高中數學教案』中等職業數學基礎版第一冊

·一,教材:中等職業教育國家規劃教材數學基礎版第一冊(語文出版社) 二,地位和作用:本章教材是在學生學過初中數學的基礎上,引入集合的概念,研究集合與集合之間的關系及基本運算的.教材......
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『高中數學教案』高一基礎版《數學》集合的運算 教學設計

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『高中數學教案』直線方程的點斜式、斜截式教案

·直線方程的點斜式、斜截式教案 教學目標 1.通過教學,學生能掌握直線方程的兩種表現形式,即點斜式、斜截式. 2.通過教學,提倡學生用舊知識解決新問題;尊重從特......
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『高中數學教案』高中數學指數函數觀摩課教案

·素質教育目標指數知識教學點函數的概念,性指和圖象. 利用指數函數的性質解決問題. 能力訓練點學習如何建立數學與實際問題的應用關系. 注意觀察數學的實際應用效果,培......
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『高中數學教案』高一(上)全期教案(約70課時).rar

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『高中數學教案』高一數學教案(上)-人教版[全套].rar

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『高中數學教案』高中數學第三冊(選修Ⅰ)第一章 統計的認識和教學建議

·一,高中數學新教增加"統計"這一內容的背景 1,初中新課程中安排了四個學習領域:"數與代數","空間與圖形","統計與概率","實踐與綜合應用".強調數學活動應發展學生的數感,符......
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『高中數學教案』高中數學第三冊第二章第一節教案

·三節(50分X3 =150分) 學習本單元的預備知識兩直線與兩平面關於平行,垂直,相交的定義. 多面體關於頂點,稜,面的定義. 能力指標學生分析學生程度:大部分學......
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『高中數學教案』高中數學課本第三冊

·單元目標能導出二元一次方程組的公式解. 能計算二階行列式的值. 能了解二階行列式的性質,並應用其性質求值. 能了解克拉瑪公式,並利用二階行列式來判別二元一次方程組之解的情......
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『高中數學教案』高中數學第三冊第二章第一節教案

·學習本單元的預備知識兩直線與兩平面關於平行,垂直,相交的定義. 多面體關於頂點,稜,面的定義. 能力指標學生分析學生程度:大部分學生為中等程度. 學習態度: 1......
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『高中數學教案』高一數學上冊教案充分條件與必要條件

·課 題:1.8 充分條件與必要條件教學目的:知識目標:使學生初步掌握充要條件 能力目標:(1)重視基礎知識的教學,基本技能的訓練和能力的培養; (2)啟發學生能夠發現......
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『高中數學教案』高一數學教案

·第一章全部教案教學目標初步理解集合的概念,知道常用數集及其記法; 初步了解"屬於"關系的意義; 初步了解有限集,無限集,空集的意義,理解運用列舉法與描述法. 教學重點......
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『高中數學教案』高一數學教案一元二次不等式的解法

·§1.5.1一元二次不等式的解法(第一課時) 【教學目標】掌握一元二次不等式的解法. 通過對一元二次不等式的解法的學習,使學生了解"函數與方程","數形結合"及"等價轉換"......
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『高中數學教案』高一數學教案函數的定義域

·課 題:2.3 函數的定義域,值域教學目的:知識目標:(1)理解函數定義域的概念,值域的概念 (2)掌握函數的定義域,值域的求法 能力目標:(1)重視基礎知識的教學,基本......
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『高中數學教案』高一數學教案圓的方程

·課 題:§7.6圓的方程(公開課) 課 型:新授課教學目標: 知識與技能目標: 使學生掌握圓的各種方程的特點,掌握求圓的切線方程的方法,能運用圓的方程解決一些簡單的實際問......
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『高中數學教案』高一數學教案第一章 集合與簡易邏輯

·課 題:1.1集合-集合的概念(1) 教學目的:(1)使學生初步理解集合的概念,知道常用數集的概念及記法; (2)使學生初步了解"屬於"關系的意義; (3)使學生初步了解有限......
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C. 高三數學第一輪復習教案

1、對稱:
y=f(x)與y=f(-x)關於y軸對稱,例如:
與()關於y軸對稱
y=f(x)與y= —f(x)關於x軸對稱,例如:
與關於x軸對稱
y=f(x)與y= —f(-x)關於原點對稱,例如:
與關於原點對稱
y=f(x)與y=f(x)關於y=x對稱,例如:
y=10與y=lgx關於y=x對稱
y=f(x)與y= —f(—x)關於y= —x對稱,如:y=10與y= —lg(—x)關於y= —x對稱
註:偶函數的圖象本身就會關於y軸對稱,而奇函數的圖象本身就會關於原點對稱,例如:
圖象本身就會關於y軸對稱,的圖象本身就會關於原點對稱。
y=f(x)與y=f(a—x)關於x=對稱()
註:求y=f(x)關於直線xyc=0(注意此時的系數要麼是1要麼是-1)對稱的方程,只需由xy+c=0解出x、y再代入y=f(x)即可,例如:求y=2x+1關於直線x-y-1=0對稱的方程,可先由x-y-1=0解出x=y+1,y=x-1,代入y=2x+1得:x-1=2(y+1)整理即得:x-2y-3=0
2、平移:
y=f(x)y= f(x+)先向左(>0)或向右(<0)平移||個單位,再保持縱坐標不變,橫坐標壓縮或伸長為原來的倍(若y= f(x+) y=f(x)則先保持縱坐標不變,橫坐標壓縮或伸長為原來的倍,再將整個圖象向右(>0)或向左(<0)平移||個單位,即與原先順序相反)
y=f(x)y= f先保持縱坐標不變,橫坐標壓縮或伸長為原來的||倍,然後再將整個圖象向左(>0)或向右(<0)平移||個單位,(反之亦然)。
3、必須掌握的幾種常見函數的圖象
二次函數y=a+bx+c(a)(懂得利用定義域及對稱軸判斷函數的最值)
指數函數()(理解並掌握該函數的單調性與底數a的關系)
冪函數()(理解並掌握該函數的單調性與冪指數a的關系)
對數函數y=logx()(理解並掌握該函數的單調性與底數a的關系)
y=(a為正的常數)(懂得判斷該函數的四個單調區間)
三角函數y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx(能根據圖象判斷這些函數的單調區間)
註:三角中的幾個恆等關系
sinx+ cosx=1 1+tanx=secx 1+cotx=cscx tanx=1
利用函數圖象解題典例
已知分別是方程x +10 =3及x+lgx=3的根,求:
分析:x +10 =3可化為10=3—x,x+lgx=3可化為lgx=3—x,故此可認為是曲線
y=10、y= lgx與直線y=3—x的兩個交點,而此兩個交點關於y=x對稱,故問題迎刃而解。
答案:3

4、函數中的最值問題:
二次函數最值問題
結合對稱軸及定義域進行討論。
典例:設a∈R,函數f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R,求f(x)的最小值.
考查函數最值的求法及分類討論思想.
【解】(1)當x≥a時,f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+
若a≤-時,則f(x)在[a,+∞]上最小值為f(-)=-a
若a>-時,則f(x)在[a,+∞)上單調遞增
fmin=f(a)=a2+1
(2)當x≤a時,f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+
若a≤時,則f(x)在(-∞,單調遞減,fmin=f(a)=a2+1
當a>時,則f(x)在(-∞,上最小值為f()=+a
綜上所述,當a≤-時,f(x)的最小值為-a
當-≤a≤時,f(x)的最小值為a2+1
當a>時,f(x)的最小值為+a

利用均值不等式
典例:已知x、y為正數,且x=1,求x的最大值
分析:x==(即設法構造定值x=1)==故最大值為
註:本題亦可用三角代換求解即設x=cos,=sin求解,(解略)
通過求導,找極值點的函數值及端點的函數值,通過比較找出最值。
利用函數的單調性
典例:求t的最小值(分析:利用函數y=在(1,+)的單調性求解,解略)
三角換元法(略)
數形結合
例:已知x、y滿足x,求的最值
5、抽象函數的周期問題
已知函數y=f(x)滿足f(x+1)= —f(x),求證:f(x)為周期函數
證明:由已知得f(x)= —f(x —1),所以f(x+1)= —f(x)= — (—f(x —1))
= f(x —1)即f(t)=f(t —2),所以該函數是以2為最小正周期的函數。
解此類題目的基本思想:靈活看待變數,積極構造新等式聯立求解
二、圓錐曲線
1、 離心率
圓(離心率e=0)、橢圓(離心率0<e1)。
焦半徑
橢圓:PF=a+ex、PF=a-ex(左加右減)(其中P為橢圓上任一點,F為橢圓左焦點、F為橢圓右焦點)
註:橢圓焦點到其相應准線的距離為
雙曲線:PF= |ex+a|、PF=| ex-a|(左加右減)(其中P為雙曲線上任一點,F為雙曲線左焦點、F為雙曲線右焦點)
註:雙曲線焦點到其相應准線的距離為
拋物線:拋物線上任一點到焦點的距離都等於該點到准線的距離(解題中常用)
圓錐曲線中的面積公式:(F 、F為焦點)
設P為橢圓上一點,=,則三角形FPF的面積為:b
註:|PF| |PF|cos=b為定值
設P為雙曲線上一點,=,則三角形FPF的面積為:b
註:|PF| |PF|sin=b為定值
附:三角形面積公式:
S=底高=absinC==r(a+b+c)=(R為外接圓半徑,r為內切圓半徑)=(這就是著名的海倫公式)
三、數列求和
裂項法:若是等差數列,公差為d()則求時可用裂項法求解,即=()=
求導法: (典例見高三練習冊p86例9)
倒序求和:(典例見世紀金榜p40練習18)
分組求和:求和:1-2+2-4+3-8+4-16+5-32+6-…分析:可分解為一個等差數列和一個等比數列然後分組求和
求通項:構造新數列法典例分析:典例見世紀金榜p30例4——構造新數列即可
四、向量與直線
向量(a,b),(c,d)垂直的充要條件是ac+bd=0
向量(a,b),(c,d)平行的充要條件是ad—bc=0
附:直線Ax+By+C=0與直線Ax+By+C=0垂直的充要條件是A A+ B B=0
直線Ax+By+C=0與直線Ax+By+C=0平行的充要條件是A B -A B=0
向量的夾角公式:
cos=
注1:直線的「到角」公式:到的角為tan=;「夾角」公式為tan=||
(「到角」可以為鈍角,而「夾角」只能為之間的角)
注2:異面直線所成角的范圍:(0,]
注3:直線傾斜角范圍[0,)
注4:直線和平面所成的角[0,]
注5:二面角范圍:[0,]
注6:銳角:(0,)
注7:0到的角表示(0,]
注8:第一象限角(2k,2k+)
附:三角和差化積及積化和差公式簡記
S + S = S C
S + S = C S
C + C = C C
C — C = — S S
五、集合
1、集合元素個數的計算
card(A)=card(A)+ card(B)+ card(C)—card(A)—card()—card(CA)+card(ABC)(結合圖形進行判斷可更為迅速)
2、從集合角度來理解充要條件:若AB,則稱A為B的充分不必要條件,(即小的可推出大的)此時B為A的必要不充分條件,若A=B,則稱A為B的充要條件
經緯度
六、二項展開式系數:
C+C+C+…C=2(其中C+ C+ C +…=2;C +C+ C+…=2)
例:求(2+3x)展開式中
1、所有項的系數和
2、奇數項系數的和
3、偶數項系數的和
方法:只要令x為1或—1即可
七、離散型隨機變數的期望與方差
E(a+b)=aE+b;E(b)=b
D(a+b)=aD;D(b)=0
D=E—(E)
特殊分布的期望與方差
分布:期望:E=p;方差D=pq
二項分布: 期望E=np;方差D=npq
註:期望體現平均值,方差體現穩定性,方差越小越穩定。
八、圓系、直線系方程
經過某個定點()的直線即為一直線系,可利用點斜式設之(k為參數)
一組互相平行的直線也可視為一直線系,可利用斜截式設之(b為參數)
經過圓f(x、y)與圓(或直線)g(x、y)的交點的圓可視為一圓系,可設為:
f(x、y)+g(x、y)=0(此方程不能代表g(x、y)=0);或f(x、y)+g(x、y)=0(此方程不能代表f(x、y)=0)
附:回歸直線方程的求法:設回歸直線方程為=bx+a,則b=
a=-b
九、立體幾何(一)
1、歐拉公式:V+F—E=2(只適用於簡單多面體)
利用歐拉公式解題的關鍵是列出V、F、E之間的關系式
棱數E=(每個頂點出發的棱數之和)=(每個面的邊數之和)(常用)
2、長方體的三度定理
長方體的一條對角線的長的平方等於一個頂點上三條棱的長的平方和
推論
若對角線與各棱所成的角為、、,則:
cos+cos+cos=1 sin+sin+sin=2
若對角線與各面所成的角為、、,則:
cos+cos+cos=2 sin+sin+sin=1
3、三角形「四心」
重心:三邊中線交點
垂心:三邊高線交點
內心:角平分線交點(內切圓圓心)
外心:垂直平分線交點(外接圓圓心)
若三角形為正三角形,則以上「四心」合稱「中心」
引申:
若三棱錐三個側面與底面所成的角相等,則該棱錐的頂點在底面的射影為底面三角形的內心
若三棱錐三條側棱與底面所成的角相等,則該棱錐的頂點在底面的射影為底面三角形的外心
若三棱錐三條側棱兩兩垂直,則該棱錐的頂點在底面的射影為底面三角形的垂心
若該三棱錐為正三棱錐,則其頂點在底面的射影為底面三角形的中心
4、經度緯度

九、立體幾何(二)

一、「共」的問題
1.多點共線:先證其中兩點確定一條直線,然後其餘點均在該直線上。舉例:正方體ABCD-A1B1C1D1中,設線段A1C與平面ABC1D1交於Q,證:B,Q,D1共線。
2.多線共點:先證兩直線共點,其餘的過該點。舉例:三個平面兩兩相交於三條直線,求證:三條交線共點,或互相平行。
3.多線共面:先找到兩條確定一個平面,然後證其它的均在平面內。舉例:四條直線兩兩相交不共點,求證:四條直線共面。
二、「角」的問題
1.異面直線所成角(0°,90°]:採用平移轉化法,構造一個含θ的三角形,由餘弦定理求得(請自己補充例子,這個很重要);
2.直線與平面所成角[0°,90°]:關鍵是找射影,最後通過垂線、斜線、射影來求所成角。舉例:求正四面體的側棱與底面所成的角。
3.二面角[0°,180°]:關鍵是作二面角,方法有定義法、作棱的垂面、三垂線定理和公式法(S=cosθ?S』)。舉例:求正四面體的相鄰兩側面所成角(arccos(1/3)).
三、「距離」的問題
1.點面距:可通過定義法或等體積法。舉例:邊長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求A點到平面A1BD的距離()。
2.線面距:轉化為點面距。舉例:邊長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求A1B到平面B1CD的距離()。
3.異面直線間距離(一些較特殊的,難度不要太大),比如求正四面體對棱間的距離()。舉例:邊長為a的正方體ABC</e

D. 設計一則立體幾何為內容的正式數學教育活動教案

一、教學內容解析

本節課的內容是選自上海教育出版社《上海高級中學課本高三年級(試用本)》第十四、十五章立體幾何知識的引言部分,屬於策略性知識為主的數學分支起始課.

認識空間圖形,運用文字語言、圖形語言、符號(集合)語言進行交流,掌握畫空間圖形直觀圖的基本技能,發展學生的空間想像能力、推理論證能力是新課程標準的基本要求.本節課教學內容的上位知識為初中平面幾何的相關知識、高中階段集合符號語言知識,學生具有推理論證的能力.為實現新課程目標,本節課將「Why、 What、 How」的教學理念融入其中.主要通過直觀感知、從具體到抽象,引導學生認識人類生存的現實空間,激發學生學習立體幾何的興趣;幫助學生自主建構,明確立體幾何即將學習的內容;在學習過程中引導學生領悟從平面幾何向立體幾何類比、初步體驗「化曲為直」、「圖形割補拼」的思想方法.在後續的課程中,會採用思維論證、度量計算等方法進一步建構立體幾何體系.本課為立體幾何的後續學習做了良好的鋪墊.

鑒於此,本節課的教學重點確定為:初步了解立體幾何研究的主要內容和方法.主要內容包括:作圖與識圖;空間中基本元素(點、線、面)間的位置關系(線線、線面、面面關系);空間中基本元素(點、線、面)間的度量關系(距離、角、面積、體積等).主要思想方法體現在:命題和方法上的類比思想、空間問題到平面問題的轉化與化歸的思想.

結合本節課內容,教學需要反映立體幾何體系發展歷史及其應用.在介紹歷史上關於立體幾何知識的各種數學思想發展和起源過程中,開闊學生自身眼界與視野,啟迪學生創造的靈感,激發學生學習的熱情.教學中溝通平面幾何和立體幾何的聯系,建構立體幾何的研究框架,充分運用信息技術展示空間圖形,培養學生創新思維能力.

二、教學目標設置

新「課標」指出,學生能體驗從現實世界中抽象出空間形式的過程,學習立體幾何的基本知識和基本技能,認識簡單幾何體的基本特徵,掌握研究立體幾何問題的基本方法,發展學生的空間想像能力,為將來進一步學習空間幾何打下基礎.根據本章內容學習的特點、學習方法和能力的要求,這節立體幾何序言課的教學目標設置如下:

1.直觀感受空間圖形中的點、線、面間的位置關系和度量關系,了解立體幾何的研究對象和內容.

2.體驗平面到空間、空間到平面的類比和轉化思想,發展由直觀到抽象,由平面到空間的想像能力.

3.了解我國古代立體幾何的研究成果,產生愛國主義情感,增強學習立體幾何的熱情,樹立學習立體幾何的自信心.

三、學生學情分析

這節課的授課對象是上海市示範性高中三年級的學生,他們有較好的學習習慣,有一定的口頭和書面表達的能力.在知識層面上,初中階段學生已直觀地認識了正方體、長方體、圓柱、圓錐等幾何體;歸納出空間中點、線、面的部分位置關系.從方法的層面,學生在高一、高二年級的學習中基本掌握了類比與轉化思想.

學生在學習過程中,也可能會遇到諸多困難:空間問題難以轉化為平面問題,通過幾何體的直觀圖難以想像幾何體在空間中的具體結構,思維容易受平面圖形的干擾,缺少在三維空間條件下進行思考的經驗等.故本節課教學難點設定為:學生從平面圖形到空間圖形認知的轉變.

針對學生的實際情況,本節課採用以下策略:

1.幫助學生尋找直觀支柱

引導學生觀察思考生活中具體實例,利用實物模型,歸納空間圖形基本元素間的位置關系;運用信息技術(PPT、幾何畫板、立體幾何畫板、media等)展示空間圖形,搭配相關的文字說明、動畫、音像等形式呈現豐富的教學情境,渲染課堂氣氛,激發學習興趣,提高教學效率.

2.加強作圖、識圖能力的培養

通過觀察實物教具,運用信息技術,展示空間圖形的直觀圖,引導學生觀察、想像,由直觀圖想像空間圖形的形狀和結構,進而在觀察的基礎上引導學生從不同的角度來識圖,並藉助直觀圖進行簡單的計算,實現從平面概念到空間概念的轉化.

3.運用類比轉化的思想實現知識的遷移

從學生較為熟悉的長方形、長方體入手,引導學生觀察、思考空間圖形和平面圖形之間的諸多相似性,從平面問題出發,用類比的方法,以問題串的形式引導學生猜想.發現在「幾何命題」和「研究方法」上,可將平面幾何類比到立體幾何中去.通過教師引導、學生自主探究、合作交流,初步體驗把空間問題轉化為平面問題的解決策略.

四、教學策略分析

本節課屬於策略性知識為主的數學分支起始課.所謂策略性知識就是對「如何學習,如何思維」的知識,讓學生「學會學習,學會創造」.本節課主要設計理念是體現「Why to study(為什麼學);What to study(學什麼);How to study(怎麼學)」,簡稱「WWH」.基於此,本節課由(一)情景引入——Why to study (二)觀察、抽象——What to study (三)類比、轉化——how to study (四)總結反思——Learn to sum up (五)任務後延——Learn to create五個教學環節構成.教學重點是:初步了解立體幾何的主要內容和方法,激發學生學習立體幾何的興趣.

環節一:情景引入——Why to study

立體幾何教學強調幾何直觀,突出實物模型的使用,幫助學生通過直觀、具體的實物模型過渡到空間想像,對形成空間想像問題能力起到至關重要的作用.從學生熟悉的3D技術應用出發製作視頻,通過多媒體的展示,激發學生學習立體幾何的興趣.

環節二:觀察、抽象——What to study

達芬奇的作品《最後的晚餐》幫助學生認識正確畫出空間圖形直觀圖的必要性.運用幾何畫板技術,動態演示空間中基本要素間的生成關系,以此出發抽象出文字語言、圖形語言和集合語言三種語言的轉化關系.對於較難理解的長方體直觀圖畫法,教學上採用立體幾何畫板軟體製作長方體空間旋轉直觀圖視頻,初步培養和發展學生的空間想像能力.通過觀察實物模型和羅浮宮玻璃金字塔直觀圖,引導學生體驗、探索空間基本元素間的位置關系和度量關系,激活學生思維.

環節三:類比、轉化——how to study

利用教具和模型,幫助學生克服學習平面圖形時產生的思維定式的消極影響,從平面知識類比推廣到空間知識.引用波利亞名言總結立體幾何學習中採用類比方法的重要性.

遵循從已知到未知的原則,從圓面積求法這一問題出發,引導學生將平面中割補拼、無限逼近的思想類比推廣到立體幾何.在古代名家的介紹中,幫助學生了解數學知識的發生和發展過程,加深理解類比方法的內涵和外延.

在學生的最近發展區內,設計兩個例題,讓學生「做數學」、「做中學」,體驗立體幾何問題常常要轉化為平面幾何問題來解決,激發學生創新思維的發展.

環節四:總結反思——Learn to sum up

通過採用關鍵詞和形象的思維導圖技術,引導學生主動建構,形成知識體系,建立起一個多維的、富於想像力的課堂總結.幫助學生整理思路,並形象化的記憶本節課的主要內容,歸納體會數學思想方法.

立體幾何的發展歷史介紹,為學生拓寬了思路,充分揭示立體幾何的文化內涵,肯定立體幾何的科學價值.

環節五:任務後延——Learn to create

多形式、多層次的作業布置,啟發學生自主探究,學會創造.

在本堂課的教學中,從觀察出發,引導學生走進立體幾何的世界.通過問題的探索和分析,逐步勾勒出一幅立體幾何的學習藍圖.名家的介紹、達芬奇著名作品《最後的晚餐》、著名建築的結構圖激發學生的求知慾,明確立體幾何知識是從生活中來,又服務於生活.通過學生最熟悉的長方體,感悟立體幾何和平面幾何的聯系與區別,藉助生動的學習活動,積累學習立體幾何的經驗.根據學情,在新舊知識連接點上創設問題情境,通過交流、討論和總結,了解立體幾何學習知識的主線,領悟數學思想方法的本質,把握立體幾何的學習規律.

本節課關註:(1)學生是否了解立體幾何學習的基本內容.(2)學生是否了解立體幾何的研究方法.是否能從平面到空間做一些簡單的類比.是否能從空間到平面做一些簡單的轉化.

五、教學過程設計

(一)情境引入(Why to study)

觀看視頻,觀察模型,引出課題.

(二)觀察、抽象(What to study)

1.質疑:立體幾何研究對象是什麼?

2.學會畫圖

(1)畫長方體的直觀圖

(2)初步感知空間圖形與平面圖形畫法的異同

(3)識圖:趣味折紙

3.質疑:構成空間圖形的基本要素是什麼?

(1)通過數字化數學活動動態觀察點、線、面間的生成關系.

(2)介紹立體幾何的三種語言:文字語言、圖形語言、集合語言.

4.直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系

觀察正方體的直觀圖,假設正方體的棱可以延伸為直線,面可以延展為平面,研究正方體中的線線、線面、面面位置關系.

5.度量計算及其應用

在生產生活中常常會遇到很多度量方面的問題,例如建築史上的傑作羅浮宮玻璃金字塔在設計時就需精確計算金字塔側棱支架與地面所成的線面角、側面與地面所成的二面角的大小等.

(三)類比、轉化(how to study)

1.類比思想

(1)命題類比

問題1:以下平面中成立的命題在空間中還成立么?

①平行於同一條直線的兩條直線平行.

②垂直於同一條直線的兩條直線平行.

(2)方法類比

回憶:小學中我們如何推導圓的面積公式?

割補拼、無限逼近的思想同樣適用於空間幾何體體積的研究.

介紹我國古代著名的數學家劉徽、祖沖之父子.

質疑:平面中的長方形可以聯想到空間中的長方體,通過類比長方形對角線長度平方等於長和寬的平方和,長方體中是否有類似的結論?

2.轉化思想

問題3:如上圖所示,已知圓柱的底面半徑為2cm,高為4cm,一隻螞蟻從點繞著圓柱體的側面爬行一周到點,求這只螞蟻爬行的最短路程.

(四)總結反思 (Learn to sum up)

(五)任務後延(learn to create)

1.用6根長度相等的木棒最多能搭出幾個正三角形?

2.在長方體中,,,,一隻螞蟻從長方體的頂點沿表面爬到頂點,則螞蟻爬行的最短路程是多少?

3.上網搜索了解中外數學名家對立體幾何的研究成果.

4.製作一個正方體框架模型,為後續研究點、線、面關系做准備.

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