初三三角函數視頻教學

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④ 初中數學三角函數講解

初中數學銳角三角函數通常作為選擇題，填空題和應用題壓軸題出現，考察同學們靈活運用公式和定理能力，是中考一大難點之一。初中數學銳角三角函數知識點一覽：銳角三角函數定義，正弦（sin）,餘弦（cos）和正切（tan）介紹，銳角三角函數公式（特殊三角度數的特殊值，兩角和公式半形公式，和差化積公式），銳角三角函數圖像和性質，銳角三角函數綜合應用題。
一、銳角三角函數定義
銳角三角函數是以銳角為自變數，以此值為函數值的函數。如圖：我們把銳角∠A的正弦、餘弦、正切和餘切都叫做∠A的銳角函數。
銳角角A的正弦（sin）,餘弦（cos）和正切（tan）,餘切（cot）以及正割（sec），餘割（csc）都叫做角A的銳角三角函數。初中數學主要考察正弦（sin）,餘弦（cos）和正切（tan）。
正弦（sin）等於對邊比斜邊；sinA=a/c
餘弦（cos）等於鄰邊比斜邊；cosA=b/c
正切（tan）等於對邊比鄰邊；tanA=a/b
餘切（cot）等於鄰邊比對邊；cotA=b/a
二、銳角三角函數公式
關於初中三角函數公式，在考試中用的最多的就是特殊三角度數的特殊值。如：
sin30°=1/2
sin45°=√2/2
sin60°=√3/2
cos30°=√3/2
cos45°=√2/2
cos60°=1/2
tan30°=√3/3
tan45°=1
tan60°=√3[1]
cot30°=√3
cot45°=1
cot60°=√3/3
其次就是兩角和公式，這是在初中數學考試中問答題中容易用到的三角函數公式。兩角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)
ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
除了以上常考的初中三角函數公示之外，還有半形公式和和差化積公式也在選擇題中用到。所以同學們還是要好好掌握。
半形公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))
tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))
ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化積
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB - ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 三、銳角三角函數圖像和性質
四、銳角三角函數綜合應用題
已知：一次函數y=-2x+10的圖象與反比例函數y=k/x（k＞0）的圖象相交於A，B兩點（A在B的右側）．
（1）當A（4，2）時，求反比例函數的解析式及B點的坐標；
（2）在（1）的條件下，反比例函數圖象的另一支上是否存在一點P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）當A（a，-2a+10），B（b，-2b+10）時，直線OA與此反比例函數圖象的另一支交於另一點C，連接BC交y軸於點D．若BC/BD=5/2，求△ABC的面積．
考點：
反比例函數綜合題；待定系數法求一次函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題；相似三角形的判定與性質．
解答：
解：（1）把A（4，2）代入y=k/x，得k=4×2=8．
∴反比例函數的解析式為y=8/x．
解方程組y＝2x+10
y＝8/x，得x＝1 y＝8
或x＝4 y＝2，
∴點B的坐標為（1，8）；
（2）①若∠BAP=90°，
過點A作AH⊥OE於H，設AP與x軸的交點為M，如圖1，
對於y=-2x+10，
當y=0時，-2x+10=0，解得x=5，
∴點E（5，0），OE=5．
∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，
∴HE=5-4=1．
∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．
又∵∠BAP=90°，
∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，
∴∠MAH=∠AEM，
∴△AHM∽△EHA，
∴AH/EH=MH/AH，
∴2/1=MH/2，
∴MH=4，
∴M（0，0），
可設直線AP的解析式為y=mx
則有4m=2，解得m=1/2，
∴直線AP的解析式為y=1/2x，
解方程組y＝1/2x，
y＝8/x，得x＝4 y＝2
或x＝?4 y＝?2，
∴點P的坐標為（-4，-2）．
②若∠ABP=90°，
同理可得：點P的坐標為（-16，-1/2）．
綜上所述：符合條件的點P的坐標為（-4，-2）、（-16，-1/2）；
（3）過點B作BS⊥y軸於S，過點C作CT⊥y軸於T，連接OB，如圖2，
則有BS∥CT，∴△CTD∽△BSD，
∴CD/BD=CT/BS．
∵BC/BD=5/2，
∴CT/BS=CD/BD=3/2．
∵A（a，-2a+10），B（b，-2b+10），
∴C（-a，2a-10），CT=a，BS=b，
∴a/b=3/2
，即b=2/3a．
∵A（a，-2a+10），B（b，-2b+10）都在反比例函數y=k/x的圖象上，
∴a（-2a+10）=b（-2b+10），
∴a（-2a+10）=2/3
a（-2×2/3a+10）．
∵a≠0，
∴-2a+10=2/3
（-2×2/3a+10），
解得：a=3．
∴A（3，4），B（2，6），C（-3，-4）．
設直線BC的解析式為y=px+q，
則有2p+q＝6
?3p+q＝?4，
解得：p＝2q＝2，
∴直線BC的解析式為y=2x+2．
當x=0時，y=2，則點D（0，2），OD=2，
∴S△COB=S△ODC+S△ODB=1/2
ODCT+1/2ODBS=1/2×2×3+1/2×2×2=5．
∵OA=OC，
∴S△AOB=S△COB，
∴S△ABC=2S△COB=10． 以上就是初中數學銳角三角函數知識點總結，小編推薦同學繼續瀏覽《初中數學知識點專題匯總》。對於想要通過參加初中數學補習班來獲得優質的數學學習資源和學習技巧，使自身成績有所提升的同學，昂立新課程推薦以下課程：

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⑤ 我要學初三的三角函數

三角函數主要是講三角形的有關知識 一般設未知角為一些帶寫的字母 這不影響做版題 三角函數分正權弦,餘弦和正切三種 用英文代寫分別是sin,cos和tan 如果你要表達角A的正弦值 你就要寫成sinA 在初中階段有幾個特殊的三角函數值 30 60 90 度角的正弦,餘弦和正切值很特殊 sin30=1:2 sin60=根號3:2 sin90=1 cos30=根號3:2 cos90=0 tan30=根號3:3 tan60=根號3 這是以直角三角形為例的 而且是一種特殊的直角三角形 三個角分別是30 60 90 那麼三個邊的長度比可以寫成1:根號3:2 正弦是對邊比上斜邊的值 餘弦是余邊比上斜邊的值 正切是對邊比上余邊的值 對邊是指求的那個角對的邊 斜邊一般是指直角三角形中最長的邊 剩下的邊就叫余邊 還有什麼不懂的再看哈初三的書 看不懂再問
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1.1 正弦和餘弦
例1 已知0°≤α≤90°.(1)求證:sin2α+cos2α=1;
(2)求證:sinα+cosα≥1,討論在什麼情形下等號成立;
(3)已知sinα+cosα=1,求sin3α+cos3α的值.
證明 (1)如圖6-1,當0°<α<90°時,sinα=BC/AB,cosα=AC/AB,所以在這種情形下
當α=0°時,sinα=0,cosα=1;當α=90°,sinα=1,cosα=0.所以在這兩種情形下仍有
sin2α+cos2α=1.
(2)如圖6-1,當0°<α<90°時,sinα=BC/AB,cosα=AC/AB.所以在這種情形下
當α=0°時,sinα+cosα=0+1=1;當α=90°時,sinα+cosα=1+0=1.所以當0°≤α≤90°時,總有
sinα+cosα≥1,
當並且只當α=0°或α=90°時,等號成立.
(3)由於已知sina+cosα=1.由(2)可知α=0°或α=90°,所以總有
sin3α+cos3α=1.
例2 求證:對於0°≤α≤90°,
證法一 如圖6-1,設BC=a,AC=b,AB=c.由銳角三角函數
當α=0°或α=90°時,容易驗證以上等式仍成立.
證法二
點評 證法一是根據銳角三角函數的定義;證法二用了公式sin2α+cos2α=1.
證明一個三角恆等式成立,可變換等號左(右)端的式子,如得到等號右(左)端的式子,原恆等式就被證明了.一般對較復雜的式子進行變換,也可以對等號左,右的式子都進行變換,如得到相同的式子,原恆等式就被證明了.
1.2 正切和餘切

證明 (1)當0°<α<90°時,如圖6-2,
當α=0°時,tgα=0,sinα=0,cosα=1.所以仍有tgα=
(2)α必須滿足不等式:
0°<α<90°.
如圖6-2,
所以tgα·ctgα=1.
例2 已知銳角α,且tgα是方程x2-2x-3=0的一個根,求
解法一 x2-2x-3=0的兩根為3和-1.這里只能是tgα=3.
如圖6-3,由於tgα=3.因此可設BC=3,AC=1,從而
解法二 tgα=3,用cos2α除原式分子,分母,得
證法一 如圖6-2,設BC=a,AC=b,AB=c,則
所以原式成立.
證法二 等式的左端
點評 這里α≠0°,90°.
怎樣理解銳角三角函數的概念
答:現行初中幾何課本中給出銳角三角函數的定義,是依據這樣一個基本事實:在直角三角形中,當銳角固定時,它的對邊,鄰邊與斜邊的比值是一個固定的值.
關於這點,我們看圖1,圖中的直角三角形AB1C1,AB2C2,AB3C3,…都有一個相等的銳角A,即銳角A取一個固定值.如圖所示,許許多多直角三角形中相等的那個銳角疊合在一起,並使一條直角邊落在同一條直線上,那麼斜邊必然都落在另一條直線上.不難看出,
B1C1‖B2C2‖B3C3‖…,
∵△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽…,

因此,在這些直角三角形中,∠A的對邊與斜邊的比值是一個固定的值.
根據同樣道理,由"相似形"知識可以知道,在這些直角三角形中,∠A的對邊與鄰邊的比值,∠A的鄰邊與斜邊的比值都分別是某個固定的值.
這樣在△ABC中,∠C為直角,我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦,記作sinA;銳角A鄰邊與斜邊的比叫做∠A的餘弦,記作cosA;銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切,記作tgA;銳角A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的餘切,記作ctgA,於是我們得到銳角A的四個銳角三角函數,即

深刻理解銳角三角函數定義,要注意以下幾點:
(1)角A的銳角三角函數值與三角形的大小,即邊的長短無關.
只要角A一旦確定,四個比值就隨之而定;角A變化時.四個比值對應變化.這正體現了函數的特點,銳角三角函數也是一種函數,這里角A是自變數,對於每一個確定的角A,上面四個比值都有唯一確定的值與之對應,因此,銳角三角函數是以角為自變數,以比值為函數值的函數.
(2)准確理解銳角三角函數定義,要熟記每個銳角三角函數是怎樣規定的,是角的哪條邊與哪條邊的比;在具體應用定義時,要注意分清圖形中,哪條邊是角的對邊,哪條邊是角的鄰邊,哪條邊是斜邊.
[例] 求出圖2中sinD,tgE的值.

(3)"sinA"等是一個完整的符號.
整的符號,不能看成sin與A的乘積.離開角A的"sin"沒有什麼意義,其他三個cosA,tgA,ctgA等也是這樣.所以寫時不能把"sin"與"A"分開.
銳角三角函數定義把形與數結合起來,從事物的相互聯系去觀察,對直角三角形不是孤立地看它的角,它的邊,而是抓住了它們之間的聯系,從而為深入研究問題打開了思路,奠定了基礎.從定義的導出過程不難看出,銳角三角函數是數(比值)和形(角A)完美結合的結果,同學們應該在學習中很好地體會和掌握這種研究問題的思想方法.
計算

解答題
3. 在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA是方程5x2 -14x+8=0的一個根,求sinA,tgA.
4. q為三角形的一個角,如果方程10x2-(10cosq)x-3cosq+4=0有兩個相等的實數根,求tgq.
答案

3. 解:∵sinA是方程5x2-14x+8=0的一個根
則5sin2A-14sinA+8=0

4. 解:∵100cos2q-40(4-3cosq)=0
即5cos2q+6cosq-8=0

⑧ 初中數學三角函數公式

關於初中三角函數公式如：

sin30°=1/2

sin45°=√2/2

sin60°=√3/2

cos30°=√3/2

cos45°=√2/2

cos60°=1/2

tan30°=√3/3

tan45°=1

tan60°=√3[1]

cot30°=√3

cot45°=1

cot60°=√3/3

(8)初三三角函數視頻教學擴展閱讀：

兩角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)