㈠ 機械能守恆定律教學案
機械能守恆定律重點解讀
機械能包括動能；重力勢能；彈性勢能。在不牽涉到彈力做功的情況下，物體所具有的機械能就是動能和重力勢能的和。
機械能守恆的應用分為兩種情況：
一、單個物體的機械能守恆
判斷一個物體的機械能是否守恆有兩種方法：
（1）物體在運動過程中只有重力做功，物體的機械能守恆。
（2）物體在運動過程中不受媒質阻力和摩擦阻力，物體的機械能守恆。
所涉及到的題型有四類：
（1）阻力不計的拋體類。
（2）固定的光滑斜面類。
（3）固定的光滑圓弧類。
（4）懸點固定的擺動類。
（1）阻力不計的拋體類
包括豎直上拋；豎直下拋；斜上拋；斜下拋；平拋，只要物體在運動過程中所受的空氣阻力不計。那麼物體在運動過程中就只受重力作用，也只有重力做功，通過重力做功，實現重力勢能與機械能之間的等量轉換，因此物體的機械能守恆。
例：在高為h的空中以初速度v0拋也一物體，不計空氣阻力，求物體落地時的速度大小？
分析：物體在運動過程中只受重力，也只有重力做功，因此物體的機械能守恆，選水平地面為零勢面，則物體拋出時和著地時的機械能相等
得：
（2）固定的光滑斜面類
在固定光滑斜面上運動的物體，同時受到重力和支持力的作用，由於支持力和物體運動的方向始終垂直，對運動物體不做功，因此，只有重力做功，物體的機械能守恆。
例，以初速度v0 沖上傾角為光滑斜面，求物體在斜面上運動的距離是多少？
分析：物體在運動過程中受到重力和支持力的作用，但只有重力做功，因此物體的機械能守恆，選水平地面為零勢面，則物體開始上滑時和到達最高時的機械能相等
得：
（3）固定的光滑圓弧類
在固定的光滑圓弧上運動的物體，只受到重力和支持力的作用，由於支持力始終沿圓弧的法線方向而和物體運動的速度方向垂直，對運動物體不做功，故只有重力做功，物體的機械能守恆。
例：固定的光滑圓弧豎直放置，半徑為R，一體積不計的金屬球在圓弧的最低點至少具有多大的速度才能作一個完整的圓周運動？
分析：物體在運動過程中受到重力和圓弧的壓力，但只有重力做功，因此物體的機械能守恆，選物體運動的最低點為重力勢能的零勢面，則物體在最低和最高點時的機械能相等
要想使物體做一個完整的圓周運動，物體到達最高點時必須具有的最小速度為：
所以
（4）懸點固定的擺動類
和固定的光滑圓弧類一樣，小球在繞固定的懸點擺動時，受到重力和拉力的作用。由於懸線的拉力自始至終都沿法線方向，和物體運動的速度方向垂直而對運動物體不做功。因此只有重力做功，物體的機械能守恆。
例：如圖，小球的質量為m，懸線的長為L，把小球拉開使懸線和豎直方向的夾角為，然後從靜止釋放，求小球運動到最低點小球對懸線的拉力
分析：物體在運動過程中受到重力和懸線拉力的作用，懸線的拉力對物體不做功，所以只有重力做功，因此物體的機械能守恆，選物體運動的最低點為重力勢能的零勢面，則物體開始運動時和到達最低點時的機械能相等
得：
由向心力的公式知： 可知
作題方法：
一般選取物體運動的最低點作為重力勢能的零勢參考點，把物體運動開始時的機械能和物體運動結束時的機械能分別寫出來，並使之相等。
注意點：在固定的光滑圓弧類和懸點定的擺動類兩種題目中，常和向心力的公式結合使用。這在計算中是要特別注意的。
習題：
1、三個質量相同的小球懸掛在三根長度不等的細線上，分別把懸線拉至水平位置後輕輕釋放小球，已知線長LaLbLc，則懸線擺至豎直位置時，細線中張力大小的關系是（ ）
A TcTbTa B TaTbTc C TbTcTa D Ta=Tb=Tc
2、一根長為l的輕質桿，下端固定一質量為m的小球，欲使它以上端o為轉軸剛好能在豎直平面內作圓周運動（如圖），球在最低點A的速度至少多大？如將桿換成長為L的細線，則又如何？
3、如圖，一質量為m的木塊以初速V0從A點滑上半徑為R的光滑圓弧軌道，它通過最高點B時對軌道的壓力NB為多少？
4、一質量m = 2千克的小球從光滑斜面上高h = 3.5米高處由靜止滑下斜面底端緊接著一個半徑R = 1米的光滑圓環（如圖）求：
（1）小球滑至圓環頂點時對環的壓力；
（2）小球至少要從多高處靜止滑下才能越過圓環最高點；
（3）小球從h0 = 2米處靜止滑下時將在何處脫離圓環（g =9.8米/秒2）。
二、系統的機械能守恆
由兩個或兩個以上的物體所構成的系統，其機械能是否守恆，要看兩個方面
（1）系統以外的力是否對系統對做功，系統以外的力對系統做正功，系統的機械能就增加，做負功，系統的機械能就減少。不做功，系統的機械能就不變。
（2）系統間的相互作用力做功，不能使其它形式的能參與和機械能的轉換。
系統內物體的重力所做的功不會改變系統的機械能
系統間的相互作用力分為三類：
1） 剛體產生的彈力：比如輕繩的彈力，斜面的彈力，輕桿產生的彈力等
2） 彈簧產生的彈力：系統中包括有彈簧，彈簧的彈力在整個過程中做功，彈性勢能參與機械能的轉換。
3） 其它力做功：比如炸葯爆炸產生的沖擊力，摩擦力對系統對功等。
在前兩種情況中，輕繩的拉力，斜面的彈力，輕桿產生的彈力做功，使機械能在相互作用的兩物體間進行等量的轉移，系統的機械能還是守恆的。雖然彈簧的彈力也做功，但包括彈性勢能在內的機械能也守恆。但在第三種情況下，由於其它形式的能參與了機械能的轉換，系統的機械能就不再守恆了。
歸納起來，系統的機械能守恆問題有以下四個題型：
（1）輕繩連體類
（2）輕桿連體類
（3）在水平面上可以自由移動的光滑圓弧類。
（4）懸點在水平面上可以自由移動的擺動類。
（1）輕繩連體類
這一類題目，系統除重力以外的其它力對系統不做功，系統內部的相互作用力是輕繩的拉力，而拉力只是使系統內部的機械能在相互作用的兩個物體之間進行等量的轉換，並沒有其它形式的能參與機械能的轉換，所以系統的機械能守恆。
例：如圖，傾角為的光滑斜面上有一質量為M的物體，通過一根跨過定滑輪的細繩與質量為m的物體相連，開始時兩物體均處於靜止狀態，且m離地面的高度為h，求它們開始運動後m著地時的速度？
分析：對M、m和細繩所構成的系統，受到外界四個力的作用。它們分別是：M所受的重力Mg，m所受的重力mg，斜面對M的支持力N，滑輪對細繩的作用力F。
M、m的重力做功不會改變系統的機械能，支持力N垂直於M的運動方向對系統不做功，滑輪對細繩的作用力由於作用點沒有位移也對系統不做功，所以滿足系統機械能守恆的外部條件，系統內部的相互作用力是細繩的拉力，拉力做功只能使機械能在系統內部進行等量的轉換也不會改變系統的機械能，故滿足系統機械能守恆的外部條件。
在能量轉化中，m的重力勢能減小，動能增加，M的重力勢能和動能都增加，用機械能的減少量等於增加量是解決為一類題的關鍵
可得
需要提醒的是，這一類的題目往往需要利用繩連物體的速度關系來確定兩個物體的速度關系
例：如圖，光滑斜面的傾角為，豎直的光滑細桿到定滑輪的距離為a，斜面上的物體M和穿過細桿的m通過跨過定滑輪的輕繩相連，開始保持兩物體靜止，連接m的輕繩處於水平狀態，放手後兩物體從靜止開始運動，求m下降b時兩物體的速度大小？
（2）輕桿連體類
這一類題目，系統除重力以外的其它力對系統不做功，物體的重力做功不會改變系統的機械能，系統內部的相互作用力是輕桿的彈力，而彈力只是使系統內部的機械能在相互作用的兩個物體之間進行等量的轉換，並沒有其它形式的能參與機械能的轉換，所以系統的機械能守恆。
例：如圖，質量均為m的兩個小球固定在輕桿的端，輕桿可繞水平轉軸在豎直平面內自由轉動，兩小球到軸的距離分別為L、2L，開始桿處於水平靜止狀態，放手後兩球開始運動，求桿轉動到豎直狀態時，兩球的速度大小
分析：由輕桿和兩個小球所構成的系統受到外界三個力的作用，即A球受到的重力、B球受到的重力、軸對桿的作用力。
兩球受到的重力做功不會改變系統的機械能，軸對桿的作用力由於作用點沒有位移而對系統不做功，所以滿足系統機械能守恆的外部條件，系統內部的相互作用力是輕桿的彈力，彈力對A球做負功，對B球做正功，但這種做功只是使機械能在系統內部進行等量的轉換也不會改變系統的機械能，故滿足系統機械能守恆的外部條件。
在整個機械能當中，只有A的重力勢能減小，A球的動能以及B球的動能和重力勢能都增加，我們讓減少的機械能等於增加的機械能。有：
根據同軸轉動，角速度相等可知
所以：
需要強調的是，這一類的題目要根據同軸轉動，角速度相等來確定兩球之間的速度關系
（3）在水平面上可以自由移動的光滑圓弧類。
光滑的圓弧放在光滑的水平面上，不受任何水平外力的作用，物體在光滑的圓弧上滑動，這一類的題目，也符合系統機械能守恆的外部條件和內部條件，下面用具體的例子來說明
例：四分之一圓弧軌道的半徑為R，質量為M，放在光滑的水平地面上，一質量為m的球（不計體積）從光滑圓弧軌道的頂端從靜止滑下，求小球滑離軌道時兩者的速度？
分析：由圓弧和小球構成的系統受到三個力作用，分別是M、m受到的重力和地面的支持力。
m的重力做正功，但不改變系統的機械能，支持力的作用點在豎直方向上沒有位移，也對系統不做功，所以滿足系統機械能守恆的外部條件，系統內部的相互作用力是圓弧和球之間的彈力，彈力對m做負功，對M做正功，但這種做功只是使機械能在系統內部進行等量的轉換，不會改變系統的機械能，故滿足系統機械能守恆的外部條件。
在整個機械能當中，只有m的重力勢能減小，m的動能以及M球的動能都增加，我們讓減少的機械能等於增加的機械能。有：
根據動量守恆定律知
所以：
（4）懸點在水平面上可以自由移動的擺動類。
懸掛小球的細繩系在一個不受任何水平外力的物體上，當小球擺動時，物體能在水平面內自由移動，這一類的題目和在水平面內自由移動的光滑圓弧類形異而質同，同樣符合系統機械能守恆的外部條件和內部條件，下面用具體的例子來說明
例：質量為M的小車放在光滑的天軌上，長為L的輕繩一端系在小車上另一端拴一質量為m的金屬球，將小球拉開至輕繩處於水平狀態由靜止釋放。求（1）小球擺動到最低點時兩者的速度？（2）此時小球受細繩的拉力是多少？
分析：由小車和小球構成的系統受到三個力作用，分別是小車、小球所受到的重力和天軌的支持力。
小球的重力做正功，但重力做功不會改變系統的機械能，天軌的支持力，由於作用點在豎直方向上沒有位移，也對系統不做功，所以滿足系統機械能守恆的外部條件，系統內部的相互作用力是小車和小球之間輕繩的拉力，該拉力對小球做負功，使小球的機械能減少，對小車做正功，使小車的機械能增加，但這種做功只是使機械能在系統內部進行等量的轉換，不會改變系統的機械能，故滿足系統機械能守恆的外部條件。
在整個機械能當中，只有小球的重力勢能減小，小球的動能以及小車的動能都增加，我們讓減少的機械能等於增加的機械能。有：
根據動量守恆定律知
所以：
當小球運動到最低點時，受到豎直向上的拉力T和重力作用，根據向心力的公式
但要注意，公式中的v是m相對於懸點的速度，這一點是非常重要的
解得：
機械能守恆定律的應用難點解惑
難點1： 研究系統的確定
1、單一物體和地球組成的系統
基本原理：研究單個物體和地球組成的系統機械能是否守恆，首先應對物體進行受力分析，分析各力的做功情況，若只有重力做功，其他力不做功或做功的代數和為零，則此系統機械能守恆。
【例題】將物體由地面豎直上拋，不計空氣阻力，物體能夠達到的最大高度為H，當物體在上升過程中某一點，動能是重力勢能的2倍，則這一點的高度為（ C ）
A．2H/3 B．H/2 C．H/3 D．H/4
【解析】以地面為零勢能面，由機械能守恆定律得：
mgH=EK+EP=3EP=3mgh，解得h=H/3。
【點評】物體在空中運動只有重力做功，因此滿足機械能守恆定律的條件。對於物體和地球組成的系統而言，任何一個時刻的機械能都是相等的，因此我們選擇的兩個狀態分別是最高點和所求的某一點。
2、物體、彈簧和地球組成的系統
基本原理：物體、彈簧和地球組成的系統中，若只有物體的重力和彈簧的彈力做功，彈簧的彈性勢能與物體機械能之間發生轉化，系統的機械能守恆。若單獨研究物體，此時受到的彈簧彈力是外力，那麼這個物體的機械能就不守恆。
【例題】輕質彈簧固定於O點，另一端系一小球A，將小球從圖示位置（此時彈簧無形變）無初速釋放。在A下落的過程中，A球的動能和重力勢能之和（ B ）
A．增大 B．減小 C．不變 D．無法確定
【解析】以A球的初位置為零勢能面，在下落的過程中，以小球、彈簧和地球組成的系統為研究對象，只有重力做功，由機械能守恆定律得：0=mv2/2 –mgh +EP
EP>0，故mv2/2 –mgh<0，說明小球的動能和重力勢能的和為負值，相對初位置機械能為0而言減小了。
【點評】這個問題也可以從能量轉化的角度看，小球下落的過程中重力勢能減少了，減少的重力勢能轉化為小球的動能和系統的彈性勢能了，因此，小球的機械能不守恆，而是減少了。
3、兩個或多個物體和地球組成的系統
基本原理：兩個或多個物體和地球組成的系統中，用做功的方式不好判斷系統的機械能是否守恆，但系統內的物體在相互作用的過程中，只有動能和勢能之間的相互轉化，無其他能量參與，系統的機械能守恆。如果隔離其中一個物體來研究，那麼該物體的機械能將不守恆。
【例題1】如圖所示，質量都是m的物體A和B，通過輕繩跨過滑輪相連，斜面固定、光滑，不計繩子和滑輪之間的摩擦。開始時A物體離地高為h，B物體位於斜面的底端，用手托住A物體，A、B兩物體均靜止。撤手後，求：
（1）A物體將要落地時的速度多大？
（2）A物體落地後，B物體由於慣性將繼續沿斜面上升，則B物體在斜面上最遠點距離地面的高度多大？
（3）上述過程中，繩子對A物體做了多少功？
【解析】（1）以A、B和地球組成系統為研究對象，以地面為零勢能面，由機械能守恆定律得：mgh=(mv2/2+0)+(mv2/2+mghsinα)
解得：
（2）A落地後，繩子對B無作用力。以B為研究對象，以地面為零勢能面，設B在斜面上最遠點距離地面高度為H，由機械能守恆定律得：
mv2/2+mghsinα=mgH ，結合（1）中結果解得：H=gh(1+sinα)/2
（3）以A為研究對象，在A下落的過程中，由動能定理得：
WF+mgh=mv2/2，結合（1）中結果解得：WF= - mgh(1+sinα)/2
【點評】本題關鍵在於選擇研究對象，特別是在應用機械能守恆定律時，要選擇好系統。因為對於A、B和地球組成的系統而言，A下落的過程中只有重力做功，但對於單一物體而言，這時受到繩子的拉力就是外力，機械能就不守恆了。
可以證明A物體在下落的過程中機械能減少了，減少的機械能轉移給B物體了，使得B物體的機械能增加了。
證明：對A物體，機械能的變化為ΔE=(mv2/2+0) –(0+mgh)= - mgh(1+sinα)/2，對B物體，機械能的變化為ΔE=(mv2/2+mghsinα) –(0+0)= mgh(1+sinα)/2。即證明A物體機械能的減少量等於B物體機械能的增加量。
從功能關系角度看，A物體的機械能減少了， A物體的機械能不守恆，那是因為繩子的拉力作為外力對A做了負功，可見WF= - mgh(1+sinα)/2=ΔE。因此，我們得到這樣一個功能關系，對於系統而言，除了重力和彈力外的其他外力做功會引起系統機械能的變化，即W外=ΔE。
【例題2】如圖所示，兩個質量分別為m和2m的小球a和b，之間用一長為2l的輕桿連接，桿在繞中點O的水平軸無摩擦轉動。今使桿處於水平位置，然後無初速釋放，在桿轉到豎直位置的過程中，求：
（1）桿在豎直位置時，兩球速度的大小
（2）桿對b球做的功
（3）桿在豎直位置時，桿對a、b兩球的作用力分別是多少？
【解析】（1）以a、b和地球組成的系統為研究對象，以輕桿的水平位置為零勢能面，由機械能守恆定律得：0= (mva2/2+mgl) + (2mvb2/2 – 2mgl) ①
由圓周運動規律得：va=vb=lw=v ②
①②結合解得：
（2）對b球，由動能定理得：WF +2mgl=2mv2/2 -0
綜合（1）結果解得：WF= -4mgl/3。
（3）對a球，在豎直位置有Fna=mv2/l=2mg/3，
故有mg –FN=Fna，解得FN=mg/3，方向向上。
對b 球，在豎直位置有Fnb=2mv2/l=4mg/3，
故有F -2mg=Fnb，解得F=10mg/3，方向向上。
【點評】同例題1，單獨研究某一個球，機械能不守恆，有桿子的作用力做功。b球機械能的減少量轉移給a球了，使得a球機械能增加了。
難點2：機械能守恆與曲線運動結合
基本原理：曲線運動過程中，若滿足機械能守恆定律的條件，那麼可以求出某一過程的初末狀態的速度和高度，結合平拋和圓周運動的規律解題。
【例題1】一內壁光滑半徑為R的細圓管放在豎直平面內，其中1/4被截去，如圖所示。一小鋼球從A處正對著管口B落下，第一種情況要使鋼球到C點時對細管無作用力，第二種情況恰能使球經C點平拋後落回到B點。求兩種情況下小鋼球下落點A距B點的高度h為多少？
【解析】小球從A點開始下落，經過圓管道到達C點的過程中，以OB所在平面為零勢能面，由機械能守恆定律得：
mgh =mvC2/2 +mgR ①
第一種情況下，對小球有
mg=mvC2/R ②
①②結合解得：h=3R/2
第二種情況下，對小球有
vC=R/t=R/ = ③
①③結合解得：h=5R/4
【例題2】小球的質量為m，沿光滑彎曲軌道滑下，與彎曲軌道相接的光滑圓軌道的半徑為R，如圖所示。為確保小球做完整的圓周運動，小球下滑的高度h的最小值為多少？
【解析】小球在沿光滑的軌道滑動的整個過程中，只有重力做功，機械能守恆。選取地面為零勢能面，設小球運動到半圓形軌道的最高點時速度為v，由機械能守恆定律得 mgh=mv2/2+2mgR ①
要使小球能完整的圓周運動，在最高點時應滿足條件mg=mv2/R ②
①②兩式結合解得h=5R/2。
【點評】關鍵兩點：選擇恰當的零勢能面；明確圓周運動最高點的臨界條件。
難點3： 零勢能面的選取
基本原理：零勢能面的選取在機械能守恆定律的應用中非常關鍵。一般選取初或末狀態的位置所在平面為零勢能面，有時也選擇其他平面。
【例題1】一條長為L的均勻鏈條，放在光滑水平桌面上，鏈條的一半垂直於桌邊，如圖所示。現由靜止開始使鏈條自由滑落，當它全部脫離桌面時的速度是多大？
【解析】由題意知鏈條下滑過程中機械能守恆，設鏈條的總質量為m，選取桌面為零勢能面， 由機械能守恆定律得：
解得鏈條全部脫落時的速度為
【例題2】如圖所示，總長為L的光滑勻質鐵鏈跨過一個光滑的輕小滑輪，開始時下端A、B相平齊，當略有擾動時其一端下落，則當鐵鏈剛脫離滑輪的瞬間，鐵鏈的速度為多大?
【解析】設鐵鏈的質量為m，選取初始位置鐵鏈的下端A、B所在的水平面為零勢能面，由機械能守恆定律得：
解得鐵鏈剛脫離滑輪時的速度 。
【點評】例題1、2中的物體都不能看作質點，但鏈條是均質的，故在確定重力勢能時選取它的重心位置。這其中要確定好初末狀態，恰當地選擇零勢能面。
難點4：能量的轉化與守恆思想
【例題】如圖，物塊和斜面都是光滑的，物塊從距地面高h處由靜止沿斜面下滑，判斷物塊滑到斜面底端時的速度v與 的大小關系。
【解析】以物塊和斜面組成的系統為研究對象。物塊下滑過程中，系統的機械能守恆。但是，斜面將向左運動，斜面將獲得動能，故物塊的機械能一定減少。設物塊和斜面的質量分別為m和M，由能量守恆得：
mgh=mv2/2+MV2/2，故v< 。
【點評】物塊減少的重力勢能轉化為物塊的動能和斜面的動能，但系統的總能量守恆。因此，「功是能量轉化的量度」是本章的中心思想，需要不斷體會。