❶ 《正餘弦定理在日常生活中的應用》的研究性論文
一、教學設計
1、教學背景
在近幾年教學實踐中我們發現這樣的怪現象：絕大多數學生認為數學很重要，但很難；學得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升學，我們才不會去理會，況且將來用數學的機會很少；許多學生完全依賴於教師的講解，不會自學，不敢提問題，也不知如何提問題。這說明了學生一是不會學數學，二是對數學有恐懼感，沒有信心，這樣的心態怎能對數學有所創新呢？即使有所創新那與學生們所花代價也不成比例，其間扼殺了他們太多的快樂和個性特長。建構主義提倡情境式教學，認為多數學習應與具體情境有關，只有在解決與現實世界相關聯的問題中，所建構的知識才將更豐富、更有效和易於遷移。我們在 2003級進行了「創設數學情境與提出數學問題」教學實驗，通過一段時間的教學實驗，多數同學已能適應這種學習方式，平時能主動思考，敢於提出自己關心的問題和想法，從過去被動的接受知識逐步過渡到主動探究、索取知識，增強了學習數學的興趣。
2、教材分析
「正餘弦定理」是普通高中課程標准實驗教科書數學必修5的第一章第二節的主要內容，是解決有關斜三角形問題的兩個重要定理之一，也是初中「勾股定理」內容的直接延拓，它是三角函數一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。本節課是「正弦定理、正餘弦定理」教學的第二節課，其主要任務是引入並證明正餘弦定理，在課型上屬於「定理教學課」。布魯納指出，學生不是被動的、消極的知識的接受者，而是主動的、積極的知識的探究者。教師的作用是創設學生能夠獨立探究的情境，引導學生去思考，參與知識獲得的過程。因此，做好「正餘弦定理」的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯系、發展等辯證觀點，而且能培養學生的應用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學習的能力。
3、設計思路
建構主義強調，學生並不是空著腦袋走進教室的。在日常生活中，在以往的學習中，他們已經形成了豐富的經驗，小到身邊的衣食住行，大到宇宙、星體的運行，從自然現象到社會生活，他們幾乎都有一些自己的看法。而且，有些問題即使他們還沒有接觸過，沒有現成的經驗，但當問題一旦呈現在面前時，他們往往也可以基於相關的經驗，依靠他們的認知能力，形成對問題的某種解釋。而且，這種解釋並不都是胡亂猜測，而是從他們的經驗背景出發而推出的合乎邏輯的假設。所以，教學不能無視學生的這些經驗，另起爐灶，從外部裝進新知識，而是要把學生現有的知識經驗作為新知識的生長點，引導學生從原有的知識經驗中「生長」出新的知識經驗。
為此我們根據「情境 --問題」教學模式，沿著「設置情境--提出問題--解決問題--反思應用」這條主線，把從情境中探索和提出數學問題作為教學的出發點，以「問題」為紅線組織教學，形成以提出問題與解決問題相互引發攜手並進的「情境--問題」學習鏈，使學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的「發現者」和「創造者」，使教學過程成為學生主動獲取知識、發展能力、體驗數學的過程。根據上述精神，做出了如下設計：①創設一個現實問題情境作為提出問題的背景；②啟發、引導學生提出自己關心的現實問題，逐步將現實問題轉化、抽象成過渡性數學問題，解決問題時需要使用正餘弦定理，藉此引發學生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，並使學生產生進一步探索解決問題的動機。然後引導學生抓住問題的數學實質，引伸成一般的數學問題：已知三角形的兩條邊和他們的夾角，求第三邊。③ 為了解決提出的問題，引導學生從原有的知識經驗中「生長」出新的知識經驗，通過作邊BC的垂線得到兩個直角三角形，然後利用勾股定理和銳角三角函數得出正餘弦定理的表達式，進而引導學生進行嚴格的邏輯證明。證明時，關鍵在於啟發、引導學生明確以下兩點：
一是證明的起點
❷ 怎樣用坐標法證明餘弦定理
餘弦定理的三次推導（高中數學）</B>2006-11-17 13:02:38 閱讀975次 2000-2005年筆者先後三次任教高一數學，每輪教學時，都在新課程理念指導下對上一輪的教學進行反思與改進，爭取在原有基礎上有所突破。下面是筆者在「餘弦定理的推導」的三輪教學中，不斷實踐、反思、再實踐，嘗試激活數學課堂教學的三個課例。
教學片段：餘弦定理的第一次推導
提問：在ΔABC中，若已知BC=a，AC=b，∠ACB=C，能否求出三角形的第三邊AB的長？
教師講解：把ΔABC放在直角坐標系中，使頂點A與坐標原點重合，頂點C落在OX軸的正半軸上，頂點B落在OX軸上方：
y B C（b，0） B（ccosA，csinA）
∴ a2= b2+c2 -2bccosA
Ao C x 同理 b2= c2+a2 –2cacosB 餘弦定理
c2= a2+b2 –2abcosC
這種方法，我們稱為坐標法，它是處理幾何問題的一種常見的重要方法。
筆者在第一次講授餘弦定理的推導過程是按照教材藉助於平面直角坐標系，採用坐標法直接得證的。
從課堂效果來看，同學們對運用坐標法來推導餘弦定理這一數形結合的思想方法很快接受，其後大量的教學時間可以投入到運用餘弦定理解三角形的練習中。而餘弦定理的推導過程猶如曇花一現，逐漸被學生忽略和忘卻。在以後的學習中，幾乎很少有同學能具體說出定理的推導過程，同時，同學們仍舊不習慣用坐標法來解決一些實際問題。因此，這堂課只是讓學生接受了餘弦定理的內容，而在數學思想方法的點撥培養，即讓學生對坐標法的領悟是失敗的。因此，筆者在第二次講授餘弦定理的推導時做了新的嘗試。
教學片段：餘弦定理的第二次推導
一、創設情境，提出問題
教師活動：某工程師設計一條現代化鐵路
通過某座山，要預算開鑿隧道BC的長， 測量人員
所處的測量點為A，測得：AB=c，AC=b，∠BAC=A。
如果你是工程師，你將如何計算隧道BC的長？
二、探索解法，提升認識
學生活動：學生找熟悉方法入手，把「斜三角形轉化成兩個
直角三角形」，運用勾股定理和銳角三角形來證明。
師生共同活動：由學生交流、討論，發現此種方法必須對∠A分三種情況討論，才是完整的證明。
若∠A是直角 若∠A是銳角 若∠A是鈍角
BC2=b2+c2 BC2=b2+c2 -2bccosA BC2=b2+c2 -2bccosA
通過三種情況的分類討論，說明無論∠A是直角、銳角、鈍角，
都有a2=b2+c2 -2bccosA
教師活動（總結點撥）：此種證明化一般為特殊，又滲透分類討論思想，是證明餘弦定理的好方法，但證明過程顯得十分累贅。同學們能否想個辦法避開討論，不管∠A是銳角、直角還是鈍角，都可以將它們統一起來？
學生活動：把角統一，三角比定義可以做到，但必須建立直角坐標系。
學生板演：把ΔABC放在直角坐標系中，使頂點A與坐標原點重合，頂點C落在OX軸的正半軸上，頂點B落在OX軸上方：
y B C（b，0） B（ccosA，csinA）
∴ a2= b2+c2 -2bccosA
A O C x 同理 b2= c2+a2 –2cacosB 餘弦定理
c2= a2+b2 –2abcosC
教師活動：這種方法，我們稱之為坐標法，它是處理幾何問題的一種常見的重要方法。
從課堂效果來看，同學們從安靜地聽課到積極地配合，從被動地接受到主動地思考。從課後同學反饋來看，同學們紛紛表示對餘弦定理的推導過程留下了深刻的印象，感悟到重視數學思想方法要比數學結果的記憶和運用更為重要，而且更吸引他們。從第一次教學後同學們對數學精彩的毫無感覺到第二次教學後同學們對數學思想方法的領悟。無疑，第二次教學實踐是有所提高的。而提高正是來自於新課程理念的指導。
首先，新課程指出一堂好課應該是學生探索世界的窗口。給予學生新的視野、新的啟迪比知識本身的傳授更為重要。因此，筆者的第二次教學嘗試，將教學重心置於餘弦定理的推導過程。從重數學結果轉變為重技能、方法的培養。
其次，新課程強調課堂教學向生活的回歸，只有植根於生活世界並為生活世界服務的課程和教學，才能具有深厚的生命力。因此，筆者創設了一個「現實的、有意義的、富有挑戰性的」問題情境，從教學內容的結構、呈現方式上進行轉變。做到情境化、問題化，讓學生體驗生活中處處有數學。
再次，新課程關注學生的學習興趣和經驗，強化直接經驗和間接經驗的有機整合。因此，在解決實際問題的過程中，鼓勵學生從已有的數學經驗出發，使得學生能很自然且有信心地投入到探索問題、發現問題和解決問題的過程中。在合作、交流、完善的過程中，讓學生體會原有經驗在解決問題中的不足，從而激發學生另闢新徑、探求新知，進而化解矛盾、化繁為簡。在坐標法的探究中，讓學生領悟到坐標法解決幾何問題比以往用初中幾何知識解決，所具有獨特的魅力和優越性；更從中領悟到高中階段學習任意角的三角比的實質意義。在經歷了探究、體驗、感悟後，同學們的間接經驗經過整合、充實、提升為直接經驗，並使直接經驗不斷豐富、發展、升華，從而實現知識與能力的統一。
然而，第二天的課前回顧，在講述餘弦定理表達式的回答中，從幾位同學吱吱唔唔的回答中，筆者又發現了新問題。在注重餘弦定理推導方法的比較時，卻忽略了餘弦定理本身。新課程明確指出：「將課程與學習融為一體，要展示知識的生成、發展和形成的過程，提供學生親身感受、體驗的機會。」因此，筆者的第三次教學嘗試，在備課時重點放在了餘弦定理身上。而如何創設一個餘弦定理生成的場景，讓學生去自主發現、自主探究，則是問題的關鍵。但這一問題過去從未思考過，各類書籍參考書也從未揭示過餘弦定理的來源，確實它讓筆者面臨一項很大的挑戰。然而「功夫不負有心人」，終於在一次翻閱過去教案時，靈感降臨了。筆者被餘弦定理的一個相關結論所吸引：「在三角形ABC中，若a2= b2+c2，則∠A是直角；若a2>b2+c2，則∠A是鈍角；若a2< b2+c2，則∠A是銳角」。這個學生顯見的結論，它的證明與餘弦定理的關系，三個條件式變化的背後，不正是筆者所要找的嗎？因此，筆者在第三次講授餘弦定理的推導時又做了新的嘗試。
教學片段：餘弦定理的第三次推導
一、引導學生，發現餘弦定理的存在
教師活動：在ΔABC中，若已知BC=a，AC=b，能否求出三角形的第三邊AB的長？
學生活動：不能，因為三角形的大小、形狀不能確定。
教師活動：不能，那麼添加哪一個角的條件，一定能求出三角形的第三邊。
學生活動：根據三角形的判定定理，只能添加BC、AC的夾角C。
教師活動：既然c邊可由a、b及∠C唯一確定，那麼對於這類問題是否也像正弦定理一樣，存在某個定理、公式可以解這種三角形？
二、引導學生，探究、猜想餘弦定理的形式
教師活動：（幾何畫板展示，在ΔABC中，AC、BC長度固定不變，BC繞C點轉動，AB的長度隨∠C 的變化而變化），
這一變化揭示AB的長度與∠C之間是怎樣的數學關系？
學生活動：AB應為∠C的函數
教師活動：（幾何畫板的數據演示：
當∠C=90°時，c2=a2+b2；
當∠C<90°時，c2<a2+b2；
當∠C>90°時，c2>a2+b2；）
師生共同活動：教師組織學生觀察、討論，引導學生歸納、猜想函數關系式。
學生活動：猜想c2=a2+b2+f( )
師生共同活動：師生共同探究f( )的具體形式。
（1）f( )=？（2）f( )與 的哪個三角函數有關？
學生活動：學生交流、討論，聯想各個三角函數得出以下結論：
（1）f( )與 的餘弦值有關；（2）f( )=cosC（3）f( )=cos
（4）f( )= kcos
學生經過交流、討論、探究，一致認為f( )= kcos
即c2=a2+b2+kcos （k>0）
教師活動：那麼k又是什麼形式？如何確定k呢？
學生活動：（學生分組討論，探求k）
有學生由特殊值著手，發現：（1）當C=30°， c2=a2+b2- bc
（2）當C=60°， c2=a2+b2-bc
（3）當C=120°，c2=a2+b2+bc
（4）當C=150°，c2=a2+b2+ bc
有學生由臨界狀態發現：當C=0°或當C=180°時，k=2ab
學生經過分析，大膽地猜想：c2=a2+b2-2abcosC
三、鼓勵學生，探究餘弦定理的證明
教師活動：數學猜想富於創造性，能夠提供大量的新視點、有價值的設想，但是其成果必須經過嚴格的論證，只有經過論證的東西才是數學上可以接受的。
學生活動：（學生找熟悉的方法入手，把「斜三角形轉化成兩個直角三角形」，運用勾股定理和銳角三角形來證明）
師生共同活動：由學生討論此種方法必須對∠C分三種情況討論，才是完整的證明。
教師活動（總結點撥）：此種證明化一般為特殊，又滲透分類討論思想，是證明餘弦定理的好方法，但證明過程十分累贅。能否避開討論，不管∠C是銳角、直角還是鈍角，都可以將它們統一起來？
學生活動：把角統一，三角比定義可以做到，但必須建立直角坐標系。
學生板演：把ΔABC放在直角坐標系中，使頂點A與坐標原點重合，頂點C落在OX軸的正半軸上，頂點B落在OX軸上方：
y B C（b，0） B（ccosA，csinA）
∴ a2= b2+c2 -2bccosA
A o C x 同理 b2= c2+a2 –2cacosB 餘弦定理
c2= a2+b2 –2abcosC
教師活動：我們稱之為坐標法，它是處理幾何問題的一種常見的重要方法。
從課堂效果來看，同學們情緒高漲、思維活躍，全身心地投入到探索問題、發現問題和解決問題的過程中。同學們從積極地配合到主動的探究，從單一思考到合作交流。從課後同學反饋來看，同學們紛紛欣喜地表示「原來數學可以這樣學」、「原來數學規律的發現我也行」、「餘弦定理我是一輩子也不會忘的」。對餘弦定理的發現、猜想、論證過程留下了極為豐富的印象，體驗到主動探究、合作交流這些學習方式的充實和快樂。從第二次教學後同學們對數學思想方法的感悟到第三次教學後同學們對數學學科的魅力的由衷嚮往。無疑，第三次教學實踐是成功的。而成功更是來自於對新課程理念的追求。
首先，新課程重視數學知識的生成、發展和形成的過程，提供學生親身感受、體驗的機會。因此，筆者的第三次教學嘗試，將整堂教學內容定為餘弦定理的推導過程。從重數學結果轉變為重知識的發生、發展過程，在知識發生、發展的過程體驗中，達成知識、技能、方法的提高。而這一過程的創設，則是教師鑽研的真正所在，也是教師智慧的真正體現。
其次，新課程積極營造「涌動著生命活力」的課堂教學。在筆者所創設的餘弦定理生成的場景中，同學們釋放出前所未有的積極性、創造性和想像力，在「浮想聯翩」、「怦然心動」、「百感交集」、「妙不可言」的情感變化中，完成了餘弦定理的猜想；在「茅塞頓開」、「豁然開朗」、「悠然心會」、「深得我心」的情感體驗中，完成了餘弦定理的證明。而師生之間心靈的共鳴和思維的共振，已使課堂成為師生之間生命相遇、心靈相約、質疑解難、探尋真理的場所。
再次，新課程提倡讓主動探究成為學生的學習方式。從第三次教學現場來看，筆者親身感受到探究活動在學生身上激發出的學習熱情，更發現了在經歷探究活動的過程中學生身上煥發出巨大的學習潛質。作為新課程提倡的一種學習方式，要求教師不斷引導和指導學生去主動探究，更期待著它能內化為學生經驗系統的一部分，成為學生的一種學習習慣。
餘弦定理三次推導三次變化，變化不僅僅來自推導方法的不同，變化更是來自於設計理念的更新、教師角色的轉變和學生學習方式的改變。變化最終讓數學課堂煥發生命活力。
作者：王 靜 單位：天山中學
❸ 怎樣用復數證明餘弦定理
餘弦定理的三次推導（高中數學）lt;/Bgt;2006-11-17 13:02:38 閱讀975次 2000-2005年筆者先後三次任教高一數學，每輪教學時，都在新課程理念指導下對上一輪的教學進行反思與改進，爭取在原有基礎上有所突破。下面是筆者在「餘弦定理的推導」的三輪教學中，不斷實踐、反思、再實踐，嘗試激活數學課堂教學的三個課例。
教學片段：餘弦定理的第一次推導
提問：在ΔABC中，若已知BC=a，AC=b，∠ACB=C，能否求出三角形的第三邊AB的長？
教師講解：把ΔABC放在直角坐標系中，使頂點A與坐標原點重合，頂點C落在OX軸的正半軸上，頂點B落在OX軸上方：
y B C（b，0） B（ccosA，csinA）
∴ a2= b2+c2 -2bccosA
Ao C x 同理 b2= c2+a2 –2cacosB 餘弦定理
c2= a2+b2 –2abcosC
這種方法，我們稱為坐標法，它是處理幾何問題的一種常見的重要方法。
筆者在第一次講授餘弦定理的推導過程是按照教材藉助於平面直角坐標系，採用坐標法直接得證的。
從課堂效果來看，同學們對運用坐標法來推導餘弦定理這一數形結合的思想方法很快接受，其後大量的教學時間可以投入到運用餘弦定理解三角形的練習中。而餘弦定理的推導過程猶如曇花一現，逐漸被學生忽略和忘卻。在以後的學習中，幾乎很少有同學能具體說出定理的推導過程，同時，同學們仍舊不習慣用坐標法來解決一些實際問題。因此，這堂課只是讓學生接受了餘弦定理的內容，而在數學思想方法的點撥培養，即讓學生對坐標法的領悟是失敗的。因此，筆者在第二次講授餘弦定理的推導時做了新的嘗試。
教學片段：餘弦定理的第二次推導
一、創設情境，提出問題
教師活動：某工程師設計一條現代化鐵路
通過某座山，要預算開鑿隧道BC的長， 測量人員
所處的測量點為A，測得：AB=c，AC=b，∠BAC=A。
如果你是工程師，你將如何計算隧道BC的長？
二、探索解法，提升認識
學生活動：學生找熟悉方法入手，把「斜三角形轉化成兩個
直角三角形」，運用勾股定理和銳角三角形來證明。
師生共同活動：由學生交流、討論，發現此種方法必須對∠A分三種情況討論，才是完整的證明。
若∠A是直角 若∠A是銳角 若∠A是鈍角
BC2=b2+c2 BC2=b2+c2 -2bccosA BC2=b2+c2 -2bccosA
通過三種情況的分類討論，說明無論∠A是直角、銳角、鈍角，
都有a2=b2+c2 -2bccosA
教師活動（總結點撥）：此種證明化一般為特殊，又滲透分類討論思想，是證明餘弦定理的好方法，但證明過程顯得十分累贅。同學們能否想個辦法避開討論，不管∠A是銳角、直角還是鈍角，都可以將它們統一起來？
學生活動：把角統一，三角比定義可以做到，但必須建立直角坐標系。
學生板演：把ΔABC放在直角坐標系中，使頂點A與坐標原點重合，頂點C落在OX軸的正半軸上，頂點B落在OX軸上方：
y B C（b，0） B（ccosA，csinA）
∴ a2= b2+c2 -2bccosA
A O C x 同理 b2= c2+a2 –2cacosB 餘弦定理
c2= a2+b2 –2abcosC
教師活動：這種方法，我們稱之為坐標法，它是處理幾何問題的一種常見的重要方法。
從課堂效果來看，同學們從安靜地聽課到積極地配合，從被動地接受到主動地思考。從課後同學反饋來看，同學們紛紛表示對餘弦定理的推導過程留下了深刻的印象，感悟到重視數學思想方法要比數學結果的記憶和運用更為重要，而且更吸引他們。從第一次教學後同學們對數學精彩的毫無感覺到第二次教學後同學們對數學思想方法的領悟。無疑，第二次教學實踐是有所提高的。而提高正是來自於新課程理念的指導。
首先，新課程指出一堂好課應該是學生探索世界的窗口。給予學生新的視野、新的啟迪比知識本身的傳授更為重要。因此，筆者的第二次教學嘗試，將教學重心置於餘弦定理的推導過程。從重數學結果轉變為重技能、方法的培養。
其次，新課程強調課堂教學向生活的回歸，只有植根於生活世界並為生活世界服務的課程和教學，才能具有深厚的生命力。因此，筆者創設了一個「現實的、有意義的、富有挑戰性的」問題情境，從教學內容的結構、呈現方式上進行轉變。做到情境化、問題化，讓學生體驗生活中處處有數學。
再次，新課程關注學生的學習興趣和經驗，強化直接經驗和間接經驗的有機整合。因此，在解決實際問題的過程中，鼓勵學生從已有的數學經驗出發，使得學生能很自然且有信心地投入到探索問題、發現問題和解決問題的過程中。在合作、交流、完善的過程中，讓學生體會原有經驗在解決問題中的不足，從而激發學生另闢新徑、探求新知，進而化解矛盾、化繁為簡。在坐標法的探究中，讓學生領悟到坐標法解決幾何問題比以往用初中幾何知識解決，所具有獨特的魅力和優越性；更從中領悟到高中階段學習任意角的三角比的實質意義。在經歷了探究、體驗、感悟後，同學們的間接經驗經過整合、充實、提升為直接經驗，並使直接經驗不斷豐富、發展、升華，從而實現知識與能力的統一。
然而，第二天的課前回顧，在講述餘弦定理表達式的回答中，從幾位同學吱吱唔唔的回答中，筆者又發現了新問題。在注重餘弦定理推導方法的比較時，卻忽略了餘弦定理本身。新課程明確指出：「將課程與學習融為一體，要展示知識的生成、發展和形成的過程，提供學生親身感受、體驗的機會。」因此，筆者的第三次教學嘗試，在備課時重點放在了餘弦定理身上。而如何創設一個餘弦定理生成的場景，讓學生去自主發現、自主探究，則是問題的關鍵。但這一問題過去從未思考過，各類書籍參考書也從未揭示過餘弦定理的來源，確實它讓筆者面臨一項很大的挑戰。然而「功夫不負有心人」，終於在一次翻閱過去教案時，靈感降臨了。筆者被餘弦定理的一個相關結論所吸引：「在三角形ABC中，若a2= b2+c2，則∠A是直角；若a2gt;b2+c2，則∠A是鈍角；若a2lt; b2+c2，則∠A是銳角」。這個學生顯見的結論，它的證明與餘弦定理的關系，三個條件式變化的背後，不正是筆者所要找的嗎？因此，筆者在第三次講授餘弦定理的推導時又做了新的嘗試。
教學片段：餘弦定理的第三次推導
一、引導學生，發現餘弦定理的存在
教師活動：在ΔABC中，若已知BC=a，AC=b，能否求出三角形的第三邊AB的長？
學生活動：不能，因為三角形的大小、形狀不能確定。
教師活動：不能，那麼添加哪一個角的條件，一定能求出三角形的第三邊。
學生活動：根據三角形的判定定理，只能添加BC、AC的夾角C。
教師活動：既然c邊可由a、b及∠C唯一確定，那麼對於這類問題是否也像正弦定理一樣，存在某個定理、公式可以解這種三角形？
二、引導學生，探究、猜想餘弦定理的形式
教師活動：（幾何畫板展示，在ΔABC中，AC、BC長度固定不變，BC繞C點轉動，AB的長度隨∠C 的變化而變化），
這一變化揭示AB的長度與∠C之間是怎樣的數學關系？
學生活動：AB應為∠C的函數
教師活動：（幾何畫板的數據演示：
當∠C=90°時，c2=a2+b2；
當∠Clt;90°時，c2lt;a2+b2；
當∠Cgt;90°時，c2gt;a2+b2；）
師生共同活動：教師組織學生觀察、討論，引導學生歸納、猜想函數關系式。
學生活動：猜想c2=a2+b2+f( )
師生共同活動：師生共同探究f( )的具體形式。
（1）f( )=？（2）f( )與 的哪個三角函數有關？
學生活動：學生交流、討論，聯想各個三角函數得出以下結論：
（1）f( )與 的餘弦值有關；（2）f( )=cosC（3）f( )=cos
（4）f( )= kcos
學生經過交流、討論、探究，一致認為f( )= kcos
即c2=a2+b2+kcos （kgt;0）
教師活動：那麼k又是什麼形式？如何確定k呢？
學生活動：（學生分組討論，探求k）
有學生由特殊值著手，發現：（1）當C=30°， c2=a2+b2- bc
（2）當C=60°， c2=a2+b2-bc
（3）當C=120°，c2=a2+b2+bc
（4）當C=150°，c2=a2+b2+ bc
有學生由臨界狀態發現：當C=0°或當C=180°時，k=2ab
學生經過分析，大膽地猜想：c2=a2+b2-2abcosC
三、鼓勵學生，探究餘弦定理的證明
教師活動：數學猜想富於創造性，能夠提供大量的新視點、有價值的設想，但是其成果必須經過嚴格的論證，只有經過論證的東西才是數學上可以接受的。
學生活動：（學生找熟悉的方法入手，把「斜三角形轉化成兩個直角三角形」，運用勾股定理和銳角三角形來證明）
師生共同活動：由學生討論此種方法必須對∠C分三種情況討論，才是完整的證明。
教師活動（總結點撥）：此種證明化一般為特殊，又滲透分類討論思想，是證明餘弦定理的好方法，但證明過程十分累贅。能否避開討論，不管∠C是銳角、直角還是鈍角，都可以將它們統一起來？
學生活動：把角統一，三角比定義可以做到，但必須建立直角坐標系。
學生板演：把ΔABC放在直角坐標系中，使頂點A與坐標原點重合，頂點C落在OX軸的正半軸上，頂點B落在OX軸上方：
y B C（b，0） B（ccosA，csinA）
∴ a2= b2+c2 -2bccosA
A o C x 同理 b2= c2+a2 –2cacosB 餘弦定理
c2= a2+b2 –2abcosC
教師活動：我們稱之為坐標法，它是處理幾何問題的一種常見的重要方法。
從課堂效果來看，同學們情緒高漲、思維活躍，全身心地投入到探索問題、發現問題和解決問題的過程中。同學們從積極地配合到主動的探究，從單一思考到合作交流。從課後同學反饋來看，同學們紛紛欣喜地表示「原來數學可以這樣學」、「原來數學規律的發現我也行」、「餘弦定理我是一輩子也不會忘的」。對餘弦定理的發現、猜想、論證過程留下了極為豐富的印象，體驗到主動探究、合作交流這些學習方式的充實和快樂。從第二次教學後同學們對數學思想方法的感悟到第三次教學後同學們對數學學科的魅力的由衷嚮往。無疑，第三次教學實踐是成功的。而成功更是來自於對新課程理念的追求。
首先，新課程重視數學知識的生成、發展和形成的過程，提供學生親身感受、體驗的機會。因此，筆者的第三次教學嘗試，將整堂教學內容定為餘弦定理的推導過程。從重數學結果轉變為重知識的發生、發展過程，在知識發生、發展的過程體驗中，達成知識、技能、方法的提高。而這一過程的創設，則是教師鑽研的真正所在，也是教師智慧的真正體現。
其次，新課程積極營造「涌動著生命活力」的課堂教學。在筆者所創設的餘弦定理生成的場景中，同學們釋放出前所未有的積極性、創造性和想像力，在「浮想聯翩」、「怦然心動」、「百感交集」、「妙不可言」的情感變化中，完成了餘弦定理的猜想；在「茅塞頓開」、「豁然開朗」、「悠然心會」、「深得我心」的情感體驗中，完成了餘弦定理的證明。而師生之間心靈的共鳴和思維的共振，已使課堂成為師生之間生命相遇、心靈相約、質疑解難、探尋真理的場所。
再次，新課程提倡讓主動探究成為學生的學習方式。從第三次教學現場來看，筆者親身感受到探究活動在學生身上激發出的學習熱情，更發現了在經歷探究活動的過程中學生身上煥發出巨大的學習潛質。作為新課程提倡的一種學習方式，要求教師不斷引導和指導學生去主動探究，更期待著它能內化為學生經驗系統的一部分，成為學生的一種學習習慣。
餘弦定理三次推導三次變化，變化不僅僅來自推導方法的不同，變化更是來自於設計理念的更新、教師角色的轉變和學生學習方式的改變。變化最終讓數學課堂煥發生命活力。
作者：王 靜 單位：天山中學
❹ 餘弦函數在日常生活中的應用與區分度
餘弦定理是揭示三角形邊角關系的重要定理，直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題，若對餘弦定理加以變形並適當移於其它知識，則使用起來更為方便、靈活。 對於任意三角形 三邊為a,b,c 三角為A,B,C 滿足性質 (註：a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。) a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc 證明： ∵如圖，有a→+b→=c→ ∴c·c=(a+b)·(a+b) ∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ) 整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：這里用到了三角函數公式） 再拆開，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC 同理可證其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 平面幾何證法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a 則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根據勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 從餘弦定理和餘弦函數的性質可以看出，如果一個三角形兩邊的平方和等於第三邊的平方，那麼第三邊所對的角一定是直角，如果小於第三邊的平方，那麼第三邊所對的角是鈍角，如果大於第三邊的平方，那麼第三邊所對的角是銳角。即，利用餘弦定理，可以判斷三角形形狀。同時，還可以用餘弦定理求三角形邊長取值范圍。 0 散熱膏 2009-7-12 15:09:10 211.157.176.* 舉報 正餘弦定理教學案例分析 溧陽市戴埠高級中學 馮春香 教材：新課標教材----必修5 課題：正餘弦定理 [摘要]： 辯證唯物主義認識論、現代數學觀和建構主義教學觀與學習觀指導下的「情境 .問題.反思.應用」教學實驗，旨在培養學生的數學問題意識，養成從數學的角度發現和提出問題、形成獨立思考的習慣，提高學生解決數學問題的能力，增強學生的創新意識和實踐能力。創設數學情境是前提，提出問題是重點，解決問題是核心，應用數學知識是目的，因此所設情境要符合學生的「最近發展區」。「正餘弦定理」具有一定廣泛的應用價值，教學中我們從實際需要出發創設情境。 [關鍵詞]： 正餘弦定理；解三角形；數學情境 一、教學設計 1、教學背景 在近幾年教學實踐中我們發現這樣的怪現象：絕大多數學生認為數學很重要，但很難；學得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升學，我們才不會去理會，況且將來用數學的機會很少；許多學生完全依賴於教師的講解，不會自學，不敢提問題，也不知如何提問題。這說明了學生一是不會學數學，二是對數學有恐懼感，沒有信心，這樣的心態怎能對數學有所創新呢？即使有所創新那與學生們所花代價也不成比例，其間扼殺了他們太多的快樂和個性特長。建構主義提倡情境式教學，認為多數學習應與具體情境有關，只有在解決與現實世界相關聯的問題中，所建構的知識才將更豐富、更有效和易於遷移。我們在 2003級進行了「創設數學情境與提出數學問題」教學實驗，通過一段時間的教學實驗，多數同學已能適應這種學習方式，平時能主動思考，敢於提出自己關心的問題和想法，從過去被動的接受知識逐步過渡到主動探究、索取知識，增強了學習數學的興趣。 2、教材分析 「正餘弦定理」是普通高中課程標准實驗教科書數學必修5的第一章第二節的主要內容，是解決有關斜三角形問題的兩個重要定理之一，也是初中「勾股定理」內容的直接延拓，它是三角函數一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。本節課是「正弦定理、正餘弦定理」教學的第二節課，其主要任務是引入並證明正餘弦定理，在課型上屬於「定理教學課」。布魯納指出，學生不是被動的、消極的知識的接受者，而是主動的、積極的知識的探究者。教師的作用是創設學生能夠獨立探究的情境，引導學生去思考，參與知識獲得的過程。因此，做好「正餘弦定理」的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯系、發展等辯證觀點，而且能培養學生的應用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學習的能力。 3、設計思路 建構主義強調，學生並不是空著腦袋走進教室的。在日常生活中，在以往的學習中，他們已經形成了豐富的經驗，小到身邊的衣食住行，大到宇宙、星體的運行，從自然現象到社會生活，他們幾乎都有一些自己的看法。而且，有些問題即使他們還沒有接觸過，沒有現成的經驗，但當問題一旦呈現在面前時，他們往往也可以基於相關的經驗，依靠他們的認知能力，形成對問題的某種解釋。而且，這種解釋並不都是胡亂猜測，而是從他們的經驗背景出發而推出的合乎邏輯的假設。所以，教學不能無視學生的這些經驗，另起爐灶，從外部裝進新知識，而是要把學生現有的知識經驗作為新知識的生長點，引導學生從原有的知識經驗中「生長」出新的知識經驗。 為此我們根據「情境 --問題」教學模式，沿著「設置情境--提出問題--解決問題--反思應用」這條主線，把從情境中探索和提出數學問題作為教學的出發點，以「問題」為紅線組織教學，形成以提出問題與解決問題相互引發攜手並進的「情境--問題」學習鏈，使學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的「發現者」和「創造者」，使教學過程成為學生主動獲取知識、發展能力、體驗數學的過程。根據上述精神，做出了如下設計：①創設一個現實問題情境作為提出問題的背景；②啟發、引導學生提出自己關心的現實問題，逐步將現實問題轉化、抽象成過渡性數學問題，解決問題時需要使用正餘弦定理，藉此引發學生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，並使學生產生進一步探索解決問題的動機。然後引導學生抓住問題的數學實質，引伸成一般的數學問題：已知三角形的兩條邊和他們的夾角，求第三邊。③為了解決提出的問題，引導學生從原有的知識經驗中「生長」出新的知識經驗，通過作邊BC的垂線得到兩個直角三角形，然後利用勾股定理和銳角三角函數得出正餘弦定理的表達式，進而引導學生進行嚴格的邏輯證明。證明時，關鍵在於啟發、引導學生明確以下兩點： 一是證明的起點 ； 二是如何將向量關系轉化成數量關系。④由學生獨立使用已證明的結論去解決中所提出的問題。 二、教學過程 類型一：解三角形和與之相關的問題 1.⑴在中，如果 ，， ，那麼 ， 的面積為 ． 變式：若已知 ，可否求出其他三個元素？ 例1.已知 中， 求及。 變式：（小題訓練4）在中，已知 則邊長 。 例2. （原例4.） 中三個內角 的對邊分別是 ，已知 ，且 ，求角 的大小。 變式：（小題訓練3）若三角形三邊之比為 ，那麼這個三角形的最大角等於 。 類型二：判斷三角形形狀的問題 2.在中，若 ,則是 （形狀）。 例3.在 ，若 ，試判斷 的形狀。 學生練習： 1. 已知 中，若 ，則 。 2. 在中，若 ，則 的形狀是 （形狀）。 3. 在中,已知 ，則 。 4.在中，已知 ，解三角形。 三、教學反思 創設數學情境是「情境 .問題.反思.應用」教學的基礎環節，教師必須對學生的身心特點、知識水平、教學內容、教學目標等因素進行綜合考慮，對可用的情境進行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。 從應用需要出發，創設認知沖突型數學情境，是創設情境的常用方法之一。「正餘弦定理」具有廣泛的應用價值，故本課中從應用需要出發創設了教學中所使用的數學情境。該情境源於教材第一章 1.3正弦、正餘弦定理應用的例1。實踐說明，這種將教材中的例題、習題作為素材改造加工成情境，是創設情境的一條有效途徑。只要教師能對教材進行深入、細致、全面的研究，便不難發現教材中有不少可用的素材。 「情境 .問題.反思.應用」教學模式主張以問題為「紅線」組織教學活動，以學生作為提出問題的主體，如何引導學生提出問題是教學成敗的關鍵，教學實驗表明，學生能否提出數學問題，不僅受其數學基礎、生活經歷、學習方式等自身因素的影響，還受其所處的環境、教師對提問的態度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創設適宜的數學情境（不僅具有豐富的內涵，而且還具有「問題」的誘導性、啟發性和探索性），而且要真正轉變對學生提問的態度，提高引導水平，一方面要鼓勵學生大膽地提出問題，另一方面要妥善處理學生提出的問題。關注學生學習的結果，更關注學生學習的過程；關注學生數學學習的水平，更關注學生在數學活動中所表現出來的情感與態度；關注是否給學生創設了一種情境，使學生親身經歷了數學活動過程．把「質疑提問」，培養學生的數學問題意識，提高學生提出數學問題的能力作為教與學活動的起點與歸宿。
❺ 正，餘弦在實際中的應用
正餘弦定理教學案例分析
溧陽市戴埠高級中學 馮春香
教材：新課標教材----必修5
課題：正餘弦定理
[摘要]： 辯證唯物主義認識論、現代數學觀和建構主義教學觀與學習觀指導下的「情境 .問題.反思.應用」教學實驗，旨在培養學生的數學問題意識，養成從數學的角度發現和提出問題、形成獨立思考的習慣，提高學生解決數學問題的能力，增強學生的創新意識和實踐能力。創設數學情境是前提，提出問題是重點，解決問題是核心，應用數學知識是目的，因此所設情境要符合學生的「最近發展區」。「正餘弦定理」具有一定廣泛的應用價值，教學中我們從實際需要出發創設情境。
[關鍵詞]： 正餘弦定理；解三角形；數學情境
一、教學設計
1、教學背景
在近幾年教學實踐中我們發現這樣的怪現象：絕大多數學生認為數學很重要，但很難；學得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升學，我們才不會去理會，況且將來用數學的機會很少；許多學生完全依賴於教師的講解，不會自學，不敢提問題，也不知如何提問題。這說明了學生一是不會學數學，二是對數學有恐懼感，沒有信心，這樣的心態怎能對數學有所創新呢？即使有所創新那與學生們所花代價也不成比例，其間扼殺了他們太多的快樂和個性特長。建構主義提倡情境式教學，認為多數學習應與具體情境有關，只有在解決與現實世界相關聯的問題中，所建構的知識才將更豐富、更有效和易於遷移。我們在 2003級進行了「創設數學情境與提出數學問題」教學實驗，通過一段時間的教學實驗，多數同學已能適應這種學習方式，平時能主動思考，敢於提出自己關心的問題和想法，從過去被動的接受知識逐步過渡到主動探究、索取知識，增強了學習數學的興趣。
2、教材分析
「正餘弦定理」是普通高中課程標准實驗教科書數學必修5的第一章第二節的主要內容，是解決有關斜三角形問題的兩個重要定理之一，也是初中「勾股定理」內容的直接延拓，它是三角函數一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉化為三角形計算問題的其它數學問題及生產、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應用價值。本節課是「正弦定理、正餘弦定理」教學的第二節課，其主要任務是引入並證明正餘弦定理，在課型上屬於「定理教學課」。布魯納指出，學生不是被動的、消極的知識的接受者，而是主動的、積極的知識的探究者。教師的作用是創設學生能夠獨立探究的情境，引導學生去思考，參與知識獲得的過程。因此，做好「正餘弦定理」的教學，不僅能復習鞏固舊知識，使學生掌握新的有用的知識，體會聯系、發展等辯證觀點，而且能培養學生的應用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學習的能力。
3、設計思路
建構主義強調，學生並不是空著腦袋走進教室的。在日常生活中，在以往的學習中，他們已經形成了豐富的經驗，小到身邊的衣食住行，大到宇宙、星體的運行，從自然現象到社會生活，他們幾乎都有一些自己的看法。而且，有些問題即使他們還沒有接觸過，沒有現成的經驗，但當問題一旦呈現在面前時，他們往往也可以基於相關的經驗，依靠他們的認知能力，形成對問題的某種解釋。而且，這種解釋並不都是胡亂猜測，而是從他們的經驗背景出發而推出的合乎邏輯的假設。所以，教學不能無視學生的這些經驗，另起爐灶，從外部裝進新知識，而是要把學生現有的知識經驗作為新知識的生長點，引導學生從原有的知識經驗中「生長」出新的知識經驗。
為此我們根據「情境 --問題」教學模式，沿著「設置情境--提出問題--解決問題--反思應用」這條主線，把從情境中探索和提出數學問題作為教學的出發點，以「問題」為紅線組織教學，形成以提出問題與解決問題相互引發攜手並進的「情境--問題」學習鏈，使學生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的「發現者」和「創造者」，使教學過程成為學生主動獲取知識、發展能力、體驗數學的過程。根據上述精神，做出了如下設計：①創設一個現實問題情境作為提出問題的背景；②啟發、引導學生提出自己關心的現實問題，逐步將現實問題轉化、抽象成過渡性數學問題，解決問題時需要使用正餘弦定理，藉此引發學生的認知沖突，揭示解斜三角形的必要性，並使學生產生進一步探索解決問題的動機。然後引導學生抓住問題的數學實質，引伸成一般的數學問題：已知三角形的兩條邊和他們的夾角，求第三邊。③為了解決提出的問題，引導學生從原有的知識經驗中「生長」出新的知識經驗，通過作邊BC的垂線得到兩個直角三角形，然後利用勾股定理和銳角三角函數得出正餘弦定理的表達式，進而引導學生進行嚴格的邏輯證明。證明時，關鍵在於啟發、引導學生明確以下兩點：
一是證明的起點
；
二是如何將向量關系轉化成數量關系。④由學生獨立使用已證明的結論去解決中所提出的問題。
二、教學過程
類型一：解三角形和與之相關的問題
1.⑴在 中，如果 ， ， ，那麼 ， 的面積為 ．
變式：若已知 ，可否求出其他三個元素？
例1.已知 中， 求 及 。
變式：（小題訓練4）在 中，已知 則邊長 。
例2. （原例4.） 中三個內角 的對邊分別是 ，已知 ，且 ，求角 的大小。
變式：（小題訓練3）若三角形三邊之比為 ，那麼這個三角形的最大角等於 。
類型二：判斷三角形形狀的問題
2.在 中，若 ,則 是 （形狀）。
例3.在 ，若 ，試判斷 的形狀。
學生練習：
1. 已知 中，若 ，則 。
2. 在 中，若 ，則 的形狀是 （形狀）。
3. 在 中,已知 ，則 。
4.在 中，已知 ，解三角形。
三、教學反思
創設數學情境是「情境 .問題.反思.應用」教學的基礎環節，教師必須對學生的身心特點、知識水平、教學內容、教學目標等因素進行綜合考慮，對可用的情境進行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。
從應用需要出發，創設認知沖突型數學情境，是創設情境的常用方法之一。「正餘弦定理」具有廣泛的應用價值，故本課中從應用需要出發創設了教學中所使用的數學情境。該情境源於教材第一章 1.3正弦、正餘弦定理應用的例1。實踐說明，這種將教材中的例題、習題作為素材改造加工成情境，是創設情境的一條有效途徑。只要教師能對教材進行深入、細致、全面的研究，便不難發現教材中有不少可用的素材。
「情境 .問題.反思.應用」教學模式主張以問題為「紅線」組織教學活動，以學生作為提出問題的主體，如何引導學生提出問題是教學成敗的關鍵，教學實驗表明，學生能否提出數學問題，不僅受其數學基礎、生活經歷、學習方式等自身因素的影響，還受其所處的環境、教師對提問的態度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創設適宜的數學情境（不僅具有豐富的內涵，而且還具有「問題」的誘導性、啟發性和探索性），而且要真正轉變對學生提問的態度，提高引導水平，一方面要鼓勵學生大膽地提出問題，另一方面要妥善處理學生提出的問題。關注學生學習的結果，更關注學生學習的過程；關注學生數學學習的水平，更關注學生在數學活動中所表現出來的情感與態度；關注是否給學生創設了一種情境，使學生親身經歷了數學活動過程．把「質疑提問」，培養學生的數學問題意識，提高學生提出數學問題的能力作為教與學活動的起點與歸宿。
❻ 教師的教育教學反思過程的主要環節是什麼
來自網上，僅供參考。
1反思教學過程
理解題意就是從題目中獲取達到解題目標的信息。反思理解題意過程就是對如何獲取信息的思考。如獲得了哪些信息，漏掉了哪些信息。為什麼會漏掉這些信息，導致解答錯誤或復雜等。
例1． 已知a, b是方程x2+x+p=0的兩個虛根，且|a-b|=3,則實數p的值為（ ）
A：-2 B: C:- D:
要縮小初始狀態和目標狀態差異，根據韋達定理a+b=-1且ab=p |a-b|2=(a-b)2=(a+b)2-4ab=1-4p=9. 解得p=-2。而產生這一錯解反思其原因，就是漏掉題目已知條件信息，a, b是方程x2+x+p=0的兩個虛根。再反思漏掉這一信息原因是上述解法受到了實數絕對值概念的干擾，誤用了|z|2=z2.
例2．已知a、 b、 c 為△ABC三邊，它們的對角分別為A、B、C 且aCosB=bCosA,關於方程b(x2-1)+c(x2+1)-2ax=0的兩根相等，求證：△ABC是等腰直角三角形（1994山西中考題）
分析此題解題過程，由條件aCosB=bCosA利用餘弦定理可以推出△ABC是等腰三角形。由條件 ＝0可以推出△ABC是直角三角形。表面上這道題正確解完了，第一步證「等腰」第二步證「直角」，但相比較「等腰」推出對「直角」幫助小，而反過來，「直角」推「等腰」表示cosA、cosB就無需使用餘弦定理，可由銳角三角形函數定義 、 直接給出，改變解題順序收縮了解題長度。而解題順序改變反映了解題者對解題本質的理解。而反思之所以有時我們無法深入題目本質一個原因，忽略了「題目結論也是已知（提示）信息」。
2．2．2反思思路形成過程
解題思路就是將理解題意時所獲信息和頭腦中信息結合起來，進行加工、重組與再生，使思維向目標靠近，實現問題解決過程。因此反思思路形成過程就是對信息加工、重組與再生的反思。如探索如何實現從初始狀態到目標狀態轉化，選擇哪條途徑，解題關鍵在哪裡，看是否可用一般原理代替現在許多步驟，提高解題觀點和思維層次。這就要求我們平時注重反思知識點，反思知識交匯點，通過反思形成知識鏈直至形成思維鏈。
2．2．1反思不同知識交匯點
例3．已知橢圓長軸|A1A2|=6，焦距|F1F2|=4 ，過橢圓左焦點F1，作一直線交橢圓於兩點M、N，設∠F2F1M= ，（0 ≤ < ），當取何值，|MN|等於橢圓短軸長。（1983高考理科試題）
解法1：建立以為X軸，原點為中心直角坐標系，得橢圓方程為=1，設MN所在直線方程為y=k(x+2 ),利用弦長公式|MN|= |x1-x2|= ,得k2= ,從而得 = 或 =
解法2：（略解）以左焦點F1為極點，長軸所在直線為極軸，建立極坐標方程 = ，|F1M|= 1= , |F2M|= 2= 得到|MN|= 1+ 2= =2得， = 或 =
解法3（略解）設MN所在直線參數方程為 （t為參數）代入橢圓方程|MN|=|t.1-t2|= = =2得， = 或 = .
解法4：由橢圓定義，設|F1N|= d1 ，|F1M|= d2 ，連結NF2，NF1，得|NF2|=6-d1 ,|NF2|=6- d2 ,由餘弦定理(6-d1) 2= d12+32+8 d1cos ， (6-d1) 2= d22+32+8 d2cos , 解得d1= , d2= ,(以下略) .
反思本題各種解法，本題關鍵是表達出|MN|。利用不同知識點的交匯，產生不同解題思路。
解法1在直接利用兩點之間距離公式求解，過程繁瑣，想到可用韋達定理可簡化。
解法2、解法3想到表達距離也可用參數方程或極坐標方程。解法4求出|F1N| F1M|利用方程思想方法，直接求煩，考慮到直線過焦點，利用橢圓定義和餘弦定理。通過反思不同知識交匯點，溝通了各方面知識，培養聯系、轉化辯證思維。使思維趨向多元化，伸向不同方向層次，提高了學生解決問題能力和思維廣闊性。
2．2．2反思不同層次數學思想
K．鄧克爾把解題思維過程分成三個層次：一般性解決、功能性解決、特殊性解決。這三個層次的實施都少不了數學思想的指導。反思不同層次的數學思想，可以使經驗升華產生認識上的飛躍，促成了不同的解題思維。
例5．若方程 =x+b無解，求實數b的取值范圍。
解法1（數形結合思想）把方程轉化為兩函數圖象位置關系。設y= ,y=x+b,要使方程無解，只須直線與雙曲線（上半部分）無交點即可，由圖顯見b的取值范圍（-∞，-1）∪[0，1)
解法2（分類討論思想）分類討論根據題目要求確定適當分類標准，然後對劃分後的每一類別求解，如有必要，再加以分類，最後進行綜合得出結果。要求分類時，做到不重復不遺漏（解略）
例6已知f(x-3)=x2+2x+3, 求f(x)。
解法1：利用變數代換法 x=x+3-3 用x+3代x
解法2：利用代定系數法 設f(x)=ax2+bx+c 求得f(x-3) ，比較同類項系數。
解法3：配方法，f(x-3)=x2+2x+3=(x-3) 2+8(x-3)+18
在教學中誘導學生解題後善於從不同層次對數學思想進行提煉、反思，對強化數學思想，提高解決問題能力十分有益。
3． 3反思解題表述過程
解題表述是計劃的落實。反思解題表述主要反思運算是否正確，推理是否嚴密。反思多走了哪些思維迴路，是否可通過刪除合並來體現簡潔美，同時也培養了學生思維的嚴謹性、批判性。
例7若(z-x) 2-4(x-y)(y-z)=0,求證x、y、z成等差數列。
觀察等式發現類似一元二次方程式判別式 ＝b2-4ac=0，所以構造方程(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0 且此方程有等根。 由各項系數這和為0，得有兩等根為1，由韋達定理t1t2= =1 即2y=x+z ∴ x、y、z成等差數列。
反思上述解法，推理存在不夠嚴密之處。1、b2-4ac=0 (*) 與方程ax2+bx+c=0不是一一對應，如x2+bx+ac=0, 2ax2+bx+ =0 它們的判別式都是（*）， 2、所構造方程是否為二次方程，[
❼ 二次函數應用
由題意得 BQ=CR=x
所以 BP=3-x
由餘弦定理得 PQ=根號（ap＾2＋BQ＾2－2BQ＊PB＊cos60）
PQ＝根號（3x＾2－9x＋9）
s＝1／2＊PQ＾2sin60
＝ 1／2＊（3x＾2－9x＋9）＊根號3／2
根號3／4（3x＾2－9x＋9）
當 x＝3／2時 ，s有最小值 7／4