等式的性質教學設計

『壹』 我想做份初中數學課題課教學設計，能幫助嗎

專題講座初中數學中函數課堂教學設計
函數是刻畫和研究現實世界變化規律的重要模型，也是初中數學里代數領域的重要內容，它在初中數學中具有較強的綜合性。在教學中，學生常常覺得函數抽象深奧，高不可攀，老師也覺得函數難講，講了學生也理解不了，理解了也不會解題。事實果真如此難教又難學嗎？本文就初中函數教學中三個常見問題，談談在教學設計方面一些方法和實踐。
一、函數教學中基於數學思想的教學方式的研究
數學知識的教學有兩條線：一條是明線，即數學知識；一條是暗線，即數學思想方法。單獨教授知識無益於課本的復讀，利用數學思想進行教學和學習，才能真正實現數學能力的提高。
數學思想方法是對數學的知識內容和所使用方法的本質的認識，它是形成數學意識和數學能力的橋梁，是靈活運用數學知識、數學技能和數學方法解決有關問題的靈魂。 日本數學教育家米山國藏在《數學的精神、思想和方法》一文中曾寫道：學生在初中、高中等所接受的數學知識，因畢業進入社會後幾乎沒有什麼機會應用這種作為知識的數學，所以，通常是出校門後不到一兩年便很快就忘掉了。然而不管他們從事什麼業務工作，唯有深深地銘刻於頭腦中的數學的精神，數學的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點等都隨時隨地發生作用，使他們受益終身。因此，在函數教學中，我們不僅要在教會函數知識上下功夫，而且還應該追求解決問題的「常規方法」——基本函數知識中所蘊含的思想方法，要從數學思想方法的高度進行函數教學。 在函數的教學中，應突出「類比」的思想和「數形結合」的思想。
1 ．注重「類比教學」
不同的事物往往具有一些相同或相似的屬性，人們正是利用相似事物具有的這種屬性，通過對一事物的認識來認識與它相似的另一事物，這種認識事物的思維方法就是類比法， 利用類比的思想進行教學設計實施教學 , 可稱為「類比教學」 .
在函數教學中我們期望的是通過對前面知識的學習方法的傳授，達到對後續知識的學習產生影響，使學生達到舉一反三，觸類旁通的目的，讓學生順利地由 「 學會 」 到 「 會學 」 ，真正實現 「 教是為了不教 」 的目的．
有經驗的老師都會發現，初中學習的正比例函數、一次函數、反比例函數、二次函數在概念的得來、圖象性質的研究、及基本解題方法上都有著本質上的相似。因此採用類比的教學方法不但省時、省力，還有助於學生的理解和應用。是一種既經濟又實效的教學方法。下面我就舉例說明如何採用類比的方法實現函數的教學。
首先是正比例函數，它是一次函數特例，也是初中數學中的一種簡單最基本的函數。但是，我們有些教師卻因為正比例函數過於簡單，而輕視。匆匆給出概念，然後應用。等到講到一次函數、反比例函數、二次函數又感到力不從心，學生接受起來概念模糊，性質混亂，解題方法不明確。造成這種困擾的原因是因為忽視正比例函數的基礎作用，我們應該藉助正比例函數這個最簡單的函數載體，把函數研究經典流程完整呈現，正所謂「麻雀雖小，五臟俱全」。再學習其他函數時，在此基礎上類比學習，循序漸進，螺旋上升。
《正比例函數》教學流程
（一）環節一：概念的建立
通過對問題的處理用函數 y=200x 來反映燕鷗的行程與時間的對應規律引入新課。學生自覺思考教師提問，共同得出每個問題的函數關系式。引導學生觀察以上函數關系式的特點得出正比例函數的描述定義及解析式特點。
（二）環節二 ：函數圖象
這個環節是教學的重點，由學生先動手按「列表——描點——連線」的過程畫函數 y=2x 和 y= － 2x 的圖象，相互交流比較然後教師利用多媒體展示畫函數圖象的過程並通過比較使學生正確掌握畫函數圖象的方法。
（三）環節三：探究函數性質
讓學生觀察函數圖象並引導學生通過比較來歸納正比例函數的性質，這個環節是本課的難點，教師要引導學生從圖象的形狀，從左往右的升降情況，經過的象限及自變數變化時函數值的變化規律。這幾個方面來歸納，最終得出正比例函數的性質。
（四）環節四：概念的歸納
將觀察、探究出的函數圖象的特徵、函數的性質等做出系統的歸納。
（五） 環節五： 概念的應用
這個環節主要加深學生對知識點的理解，突出待定系數法的解題方法。
從這五個環節的設定上，大家不難看出，我們在研究一次函數、反比例函數、二次函數的過程也是經歷這樣的六個環節，所以用類比的教學方式是在降低學生的學習難度，卻能提高學習質量，而且程度比較好的學生可以嘗試自主學習一次函數、反比例函數、二次函數。
歸納：函數探究的內容與方法
研究的對象 ------ 函數的圖象與性質
研究的方法 ------- 畫圖象、分析圖象、探究坐標變化規律、歸納函數性質
關注的問題 ------- 圖象的位置、發展趨勢、與坐標軸的交點、函數的增減性 ……
類比進行反比例函數的教學
例如 17.1.2 反比例函數的圖象和性質教學
具體教學過程如下：
T ：正比例函數 y=6x 的圖象是什麼形狀？
S1 ：通過原點的直線（為將要學習的反比例函數圖象作鋪墊）
T ：那麼反比例函數 的圖象會是什麼形狀呢？我們採用什麼辦法畫呢
S2 ：描點法。
（問題一） T ：我們學習過的一次函數用幾點法描畫？
S3 ：兩點法。
（追問） T ：為什麼呢？
S4 ：根據兩點確定一條直線。
（追問） T ：你確定反比例函數的圖象是直線嗎？
S5 ：不能確定。
（追問） T ：因此我們需要描多少點？
S6 ：盡量多些。正負對稱 10 — 12 個點比較合適
（問題二） T ：描點法畫函數圖象的基本步驟？
S7 ：……
T ：對於 我們如何列表取點？
S8 ：……再次突出描點左右對稱取點的思維過程。
教師示範了 的圖象畫法，再讓同學們嘗試畫出 的圖象
（問題三） T ：你能比較出 和 的圖象有什麼共同特徵？
S9 ：兩只曲線，關於原點對稱（雙曲線）
（追問） T 結合你的圖象和列表 和 之間的不同點？
S10 ： 在一、三象限， 在二、四象限。
（追問） T ：你能猜想 的圖象規律嗎，注意類比正比例函數的圖象規律？
S11 ：當 k>0, 圖象過一三象限，當 K<0 ，圖象過二、四象限。
（追問） T 請再畫一組 的圖象，驗證你的猜想
（問題四） T ：通過以上的猜想和驗證，你能總結出反比例函數圖象的位置規律嗎？
S12 ：歸納 S13 ：糾錯 S14 ：改正
這是本課時的引入部分，教師通過問題串，把反比例函數圖象的定義、圖象規律與正比例函數圖象聯系在一起，教師的設計思路就是採用類比的數學思想，讓學生通過類比的數學思想，自主的學習反比例函數圖象的定義與性質，學得自然，輕松。
T ：能否把反比例函數圖象特徵總結一下？
類比正比例函數圖象的特徵：
反比例函數 正比例函數
圖象
位置
增減性
T ：你有什麼啟發？你發現了什麼？……
顯然是教師採用了類比教學思路的結果，開啟了學生思維的大門，找到了學習新知的有效方法與途徑。
對於類比推理的研究最具影響的是波利亞．波利亞在他的著作《怎樣解題》、《數學與猜想》、《數學的發現》中，通過對數學史上一些著名猜想的剖析，再現了一些重大發現產生的淵源及過程，認為歸納和類比是兩種最基本的猜測方法，並以此為據提出了合情推理的一般模式．認為類比就是某種類型的相似性．通過具體的例子論述了合情推理 ( 歸納、類比 ) 在數學發現和解題方面的作用．他還結合中學數學教學實際呼籲： 「 要教學生猜想，要教合情推理。
因此我也在此呼呼：初中函數要有整體設計的意識，就是上好《正比例函數》，類比學習《一次函數》、《反比例函數》、《一次函數》。
2. 注重「數學結合」的教學
數形結合的思想方法是初中數學中一種重要的思想方法。數學是研究現實世界數量關系和空間形式的科學。而數形結合就是通過數與形之間的對應和轉化來解決數學問題。它包含以形助數和以數解形兩個方面，利用它可使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，它兼有數的嚴謹與形的直觀之長。
函數的三種表示方法：解析法、列表法、圖象法本身就體現著函數的「數形結合」。函數圖象就是將變化抽象的函數「拍照」下來研究的有效工具，函數教學離不開函數圖象的研究。在藉助圖象研究函數的過程中，我們需要注意以下幾點原則：
（ 1 ）讓學生經歷繪制函數圖象的具體過程。首先，對於函數圖象的意義，只有學生在親身經歷了列表、描點、連線等繪制函數圖象的具體過程，才能知道函數圖象的由來，才能了解圖象上點的橫、縱坐標與自變數值、函數值的對應關系，為學生利用函數圖象數形結合研究函數性質打好基礎。其次，對於具體的一次函數、反比例函數、二次函數的圖象的認識，學生通過親身畫圖，自己發現函數圖象的形狀、變化趨勢，感悟不同函數圖象之間的關系，為發現函數圖象間的規律，探索函數的性質做好准備。
（ 2 ）切莫急於呈現畫函數圖象的簡單畫法。首先，在探索具體函數形狀時，不能取得點太少，否則學生無法發現點分布的規律，從而猜想出圖象的形狀；其次，教師過早強調圖象的簡單畫法，追求方法的「最優化」，縮短了學生知識探索的經歷過程。所以，在教新知識時，教師要允許學生從最簡單甚至最笨拙的方法做起，漸漸過渡到最佳方法的掌握，達到認識上的最佳狀態。
（ 3 ）注意讓學生體會研究具體函數圖象規律的方法。初中階段一般採用兩種方法研究函數圖象：一是有特殊到一般的歸納法，二是控制參數法。
下面我就具體函數教學過程中如何體現數形結合思想舉例說明：
《一次函數的圖象》教學設計片斷
①猜想一次函數的圖象會是什麼形狀？
②驗證：在同一平面直角坐標系中畫出下列函數的圖象 .
y=3x,y=3x-3,y=-2x,y=-2x-3
③歸納（不完全歸納法）：一次函數的圖象是一條直線，當 k>0 時，直線從左到右呈「起飛」狀，即呈上升趨勢，經過一、三象限；當 k<0 時，直線從左到又呈「降落」狀，即呈下降趨勢，經過二、四象限 .
④思考：不同的一次函數，他們圖象的形狀是相同的，但位置卻各不相同，那麼一次函數的圖象的位置與什麼有關呢？
⑤確定研究方法。通過學生的觀察、思考、交流以及教師的點撥，學生最終得出：一次函數圖象的位置與解析式中的待定參數 k 與 b 的取值有關。教師進一步指出：在研究含有兩個參數的問題時，要先固定一個，進而能明晰地研究出另一個參數在「數」上的變化，導致「形」上的差異。
⑥進一步觀察剛才畫的四個一次函數圖象，思考： k 相同， b 不同的一次函數圖象之間有何關系？ k 不同， b 相同的一次函數圖象之間有何關系？
⑦歸納： k 相同， b 不同的一次函數圖象相互平行，將直線 y=kx 向上或向下平移 ∣ b ∣個單位可得直線 y=kx+b;k 不同， b 相同的一次函數圖象相交於點（ 0 ， b ） .
在這個教學設計中，由於學生明確了函數圖象的研究方法，參與了研究過程，因而對於知識的理解是深刻的、牢固的、靈活的，更重要的是學生體驗到了一種研究函數圖象的一般方法，提高了學生的自主學習能力和思維水平。
二、函數教學過程中幾個難點的處理：
作為初中數學中的難點，函數抽象而富於變化，在一線教學中老師普遍認為有以下幾個問題是教學中的難點，老師不好講，學生不好學。下面我具體舉一些教學設計給各位老師參考看是如何突破我們教學中的難點的：
1 ．反比例函數的增減性問題。
在反比例函數教學時，反比例函數的增減性是個難點。不僅 k 的正負上反比例函數的增減性和正比例函數的增減性相反，而且自變數的取值范圍上有斷點。下面我們看看這個教學設計是如何突破難點的？
《反比例函數的性質》教學設計片斷
（ 1 ）回顧反比例函數圖象特徵
（ 2 ）畫出反比例函數 圖象，並結合圖象，思考下列問題 :
（問題一） T ：①當圖象上的一個點，沿著第一象限的圖象從左向右運動時，點的坐標怎樣變化 ? 這說明在第一象限內，當自變數增大時，函數值是怎樣變化的？（課件演示點的運動及坐標的變化）
（追問） T ：②當圖象上的一個點，沿著第三象限的圖象從左向右運動時，點的坐標怎樣變化？這說明在第三象限內，當自變數增大時，函數值是怎樣變化的？（課件演示點的運動及坐標的變化）
（追問） T: ③當點 A （ x1,y1）在第一象限圖象上，點 B( x2,y2) 在第三象限的圖象上， x1與 x2的大小關系如何？ y1與 y2呢？此時①②中的結論還成立嗎 ?
（問題二） T ：⑶一般的，反比例函數 ，當 k>0 時，隨著 x 的增大， y 的值怎樣變化呢 ?
（追問） T: ⑷如何用符號語言描述呢？
（追問） T: ⑸你能從解析式出發給出證明嗎？
（問題三） T:(6) 你能從 的圖象中 y 隨 x 的變化是如何增減的嗎？
（問題四） T: （ 7 ）畫出反比例函數 圖象，並結合圖象，思考下列問題……
在上面的教學設計中，教師藉助幾何畫板課件，幫助學生形象直觀的理解了反比例函數圖象的變化規律，發現變化過程中的特殊點的，自然的歸納出反比例函數增減性的性質及自變數的取值范圍，並且通過結合符號語言和解析式全方位詮釋增減性的意義。學生不但理解而且記憶，而且途徑全面，更好的感受到函數的三種表示方法的整體一致性。
2 ．用函數來求解方程（組）、不等式問題
用函數來求解方程（組）、不等式問題比較難教，因為學生會覺得，用函數的方法求方程（組）與不等式解的方法一點也不簡單，比以前的方法復雜、繁瑣多了，那為什麼還要學習呢？如果學生意識不到所學數學知識的價值與意義，勢必影響學習效率。
教材安排用函數的觀點看方程（組）、不等式，一方面是為了加強數學知識間的橫縱聯系，體現函數在初中代數中的統領作用；另一方面從函數的角度，由「數」到「形」的對方程（組）、不等式加深認識，從而站在更高的角度上，提高了學生對舊認識的深度。在教學設計中要注意以下幾點：
（ 1 ）從「數」與「形」兩方面體現函數與方程（組）、不等式的聯系
從「數」來看，就是從函數值看，求方程的解，可轉化為當函數值為零時，求相應自變數的值；求不等式的解集，就是當函數值大於零（或小於零）時，求對應的自變數的取值范圍；求方程組的解，就是當兩個函數的函數值相等時，求對應的自變數和函數值 .
從「形」來看，就是從函數圖象看，求方程的解，可轉化為求函數圖象與 x 軸交點的橫坐標；求不等式的解集，可轉化為求在 x 軸上方（或下方）的圖象對應的自變數取值范圍（或一個函數圖象在另一個函數圖象的上方或下方的部分對應的自變數取值范圍）；求方程組的解集，可轉化為求兩個函數圖象交點的橫縱坐標。
（ 2 ）抓住數與形的轉換點理解函數與方程（組）、不等式的聯系
眾所周知，函數圖象就是點的集合，函數圖象上的每一個點的坐標，就是一組自變數與函數值的對應值，因此數與形的轉換點就是圖象上的點及其坐標。教學中抓住這一轉換點，能有效的促進對函數與方程（組）、不等式的關系的理解。
《一次函數與一元一次不等式》教學設計片斷
（一）如何解決下面兩個問題，並思考這兩個問題之間有何關系？
①解不等式： 5x+6>3x+10 ；
②當自變數為 x 何值時，函數 y=2x-4 的值大於 0 ？
歸納：這兩個問題實際上是同一個問題，問題①可以轉化為問題②求解
（二）你能從函數 y=2x-4 的圖象中，發現問題①的解集嗎？
為了促進學生的理解，教師可從以下幾個方面點撥 :
ⅰ函數值與函數圖象上的點的什麼是對應的？函數 y=2x-4 的圖象上，符合函數值大於 0 的點在哪一部分？
ⅱ這部分點的什麼，就是使函數 y=2x-4 的值大於 0 的自變數 x 的取值范圍？
歸納：函數 y=2x-4 圖象在 x 軸上方的部分所對應的橫坐標的取值范圍，就是問題①得解集
（三）函數 y=2x-4 圖象在 x 軸下方的部分所對應的橫坐標的取值范圍，是哪個不等式的解集？
（四）你能進一步得到「解不等式 ax+b>0 與「求自變數 x 在什麼范圍內，一次函數函數 y=ax+b 的值大於 0 」 有什麼關系嗎？ 在上面的教學設計中，教師通過引導學生按照「函數值大於 0 →圖象上點的縱坐標大於 0 →位於 x 軸上方的點→橫坐標的取值范圍→自變數的取值范圍」的思維脈絡，緊扣數與形的結合點，不僅讓學生真正理解了函數與不等式的關系，更重要的是使學生真正做到了用數形結合的方法分析問題。
（ 3 ）使學生明確學習函數與方程（組）、不等式的意義。有些學生可能覺得，用函數的方法求方程（組）與不等式解的方法一點也不簡單，比以前的方法復雜、繁瑣多了，那為什麼還要學習呢？如果學生意識不到所學數學知識的價值與意義，勢必影響學習效率。因此，在教學中首先應使學生體會到以下兩點：
①解方程（組）與解不等式的問題，都可以化歸為函數問題，所以函數統率著方程、不等式；
②從函數的角度分析問題的研究方法，對於後續學習有重要作用。
3．自變數的取值范圍
自變數的取值范圍，是解函數問題的難點和考點。正確求出自變數取值范圍，正確理解問題，並化歸為解不等式或不等式組。這需要學生掌握函數的思想，不等式的實際應用，全面考慮取值的實際意義。 容易講的枯燥無趣，最後變成公式化記憶，但學生總是此題會，彼題又錯，效果往往不好。我們看這個教學設計，生動活潑而且理解深刻。
八年級 7.2 認識函數（ 2 ）
例 1 等腰三角形 ABC 的周長為 80 ，底邊 BC 長為 y ，腰 AB 長為 x ，
求：（ 1 ） y 關於 x 的函數解析式
學生嘗試做題
S1 ： y=80-2x
S2 ： x=(80-y)/2
T ：題目是 y 關於 x ，其中關於相當於等於，所以應該寫成 y=80-2x
T ：把你的學號作為三角形的腰長，請計算相應的底邊 y 值
學生快速的計算
教師在黑板上列出相關的值：
x=0 （教師的學號為 0 ） y=80
x=10 y=60
x=20 y=40
x=30 y=20
x=40 y=0
x=50 y= -20
x=51 y= -22
（問題一） T ： x 表示三角形的腰， y 表示三角形的底邊，你看到這組數據有什麼話要說么？
S1 ：不能是負與 0 ，所以最後三個不行。
（追問 1 ） T ：能分享你結論的理由么？
S1 ： y 是底邊，需要大於 0
T ：自變數的取值需要符合函數的實際意義
這時下面有個同學在悄悄的說，第一個也不行。
（追問 2 ） T ：能說說你的理由么？
S2 ：因為 x 是等腰三角形的腰長，也是大於 0 的。
T ：自變數的取值必須滿足自變數的實際意義
這時，課堂中學生都在用質疑的眼神重新觀察題目，重新思考，這時教師讓學生進行討論。經過一段時間的討論，有學生舉手了。
S3 ：第 2 、 3 個也不行
（追問 3 ） T ：為什麼？
S2 ：不能構成三角形
（問題二） T ：那麼 x 能不能任意取呢？
S ：不能
（問題三） T ：那應該從哪幾個方面求 x 的取值范圍呢？
S1 ： 20<x<40
T ：你解釋一下你是怎麼想到的？
S1 ：三角形任意兩邊之和大於第三邊
T ：我們一起來梳理此題求 x 的取值范圍的方法
教師板書：
求 x 的取值范圍
（ 1 ）自變數 x 的實際意義 x>0
T ：剛才同學們考慮到了函數 y 的取值范圍，而 y=80-2x ，所以還要考慮與 x 相關的量的意義
板書（ 2 ）與 x 相關的量的意義 y>0
（問題四） T ：除了這兩個量還要考慮到什麼呢？
S ：三角形任何兩邊之和大於第三邊
板書（ 3 ）在實際情境中滿足限制的條件
T ：等腰三角形只要考慮 x+x>y

實際問題——解析式——求函數值——沖突——反思——探究——歸納。
在這里，是第一次求自變數的取值范圍，而學生對自變數的取值范圍的求解還沒有形成一種常規的思路，所以，老師通過實際的操作（ 80cm 長的紅絲線），讓學生在動手實踐中了解腰、底邊、底角、頂角、面積等之間的變化情況，然後列出底邊與腰長之間的函數解析式，再給定一個自變數（學生學號作為腰長）求出相應的函數值，一方面復習了函數的有關概念——變數、常量、函數，另一方面也讓學生學習了列簡單問題中的函數解析式，根據函數解析式，已知自變數的值，求相應的函數值，更重要的是通過學號作為三角形的腰長，計算相應的底邊 y 值，教師通過遞進式提問，讓學生在具體的、特殊的數值中發現矛盾，產生沖突，引起進一步探索的求知慾，提問、追問、反問，學生的解釋、說理，由特殊到一般，最後總結出求自變數的取值范圍的通性通法，有一種水到渠成、一氣呵成的氣勢。
4 ． 實際應用問題
學習函數的主要目的之一就是在復雜的實際生活中建立有效的函數模型，利用函數的知識解決問題。這也是新課標所倡導的學習，因此新教材大力倡導函 數與實際的應用。
對於學生來說，實際應用是個難點。在實際應用問題的教學中注意把握以下
幾點：
（ 1 ）切實體現教材設計意圖。教材安排有關應用函數解決實際問題的教學活動，其目的
主要有三 : ①進一步訓練學生的建模能力；②進一步提高學生數形結合分析問題、解決問題的能力；③使學生體會函數是解決生活實際問題的有效模型，進一步提高學生解決實際問題的能力。在教學設計中要體現以上意圖。
（ 2 ）要根據學生實際。對於學生而言，函數已經覺得很難，再用函數解決實際問題，他們會覺得難上加難，因此在教學中要根據學生實際水平，對於難度較大、綜合性較強的
問題要通過有效的設計，分步引導，將復雜問題分解為若干個簡單問題，步步深入，有易到難的尋求答案。
例 4 A 地有肥料 200 噸， B 地有肥料 300 噸，現要把這些肥料全部運往 C 、 D 兩地。如果從 A 地往 C 、 D 兩地運送肥料的費用為每噸 20 元和 25 元；從 B 地往 C 、 D 兩地運送肥料的費用為每噸 15 元和 24 元 . 現 C 鄉需要肥料 240 噸， D 鄉需要肥料 260 噸 , 怎樣調運總費用最少？最少費用是多少？
分析：本題的難點有三處：難點一是如何讓學生想到可用函數解決這類問題；難點二是如何從復雜的數量關系中，列出函數解析式；難點三是如何分析出函數的最小值；難點四是將數學的解還原為實際問題的解決方案。為了突破難點，不妨採用如下的教學設計：
① 畫出示意圖，幫助學生理解題意
② 調運費用和哪些量有關？這些量有何關系？

這些量是變數還是常量？
（通過這個問題，啟發學生發現調用費用是一
個變數，並且與四個變數有關，這四個變數相
互聯系，其他變數都可以用另一個變數表示，既然
是和兩個變數有關的問題，符合函數特徵，利用函
數的圖形和性質可以確定最小值）
③ 設總運費為 y ， A 地運往 C 地的肥料量為 x ，填充下表：

y= ________+ ________+ ________+________
④ 怎樣利用函數解析式求最小運費呢？
（教師引導學生發現，求最小運費就是求解析式中函數 y 的最小值，
一方面從解析式中可以發現， y 隨 x 的增大而增大，所以求 y 的最
值需先求 x 的取值范圍；另一方面也可畫出函數圖象，讓學生通過
觀察圖象，發現 y 的最小值）
⑤當調運費用最少時，其他的調運量多少？請你確定出使運費最少的調用方案 .
歸納總結：
ⅰ為什麼本題可用函數的方法解決 ? 用函數解決實際問題的一般步驟是什麼？
ⅱ怎樣列出函數解析式？
ⅲ函數的最值可用哪些方法求出？
ⅳ在實際問題中，求自變數的取值范圍有何作用？
對研究其他函數圖象時，學生的自主分析能力的提高也很有好處。