张景中的教育教学思想

1. 如何在教学实践中贯彻体现数学思想

《领悟数学思想方法，让课堂绽放魅力，让学生展现风采》——小学数学教学中渗透数学思想方法思考与实践汇报：兆麟小学农丰小学兰陵小学今天由我们三人汇报的题目是：《领悟数学思想方法，让课堂绽放魅力，让学生展现风采》中国科学院院士、著名数学家张景中曾指出：“小学生学的数学很初等，很简单。但尽管简单，里面却蕴含了一些深刻的数学思想。”数学知识和数学思想方法作为小学数学学习的两条线索，一明一暗，相互支撑，其中数学思想方法提示了数学的本质和发展规律，可以说是数学的精髓。下面我们就谈谈数学思想方法。一、为什么要在教学中渗透数学思想方法1、基本数学思想方法对学生的发展具有重要意义一位教育学家曾指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，惟有深深铭记在头脑中的是数学煌精神和数学的思想、研究方法、着眼点等，这些随时随地发生作用使学生终身受益。”数学的思想方法是数学的灵魂和精髓，掌握科学的数学思想方法对提升学生思维品质，对数学学科的后继学习，对其他学得的学习，乃至学生的终身发展有十分重要的意义。在小学数学教学中有意识地渗透一些基本数学思想方法，是增强学生数学观念，形成良好思维素质的关键。不仅能使学生领悟数学的真谛，懂得数学的价值学会数学地思考和解决问题，还可以把知识的学习与能力的培养、智力的发展有机地统一起来。2．渗透基本数学思想方法是落实新课标精神的需求数学课程标准把“四基”：基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验作为目标体系。基本思想是数学学习的目标之一，其重要性不言而喻。新教材是把一些重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来，并运用操作、实验等直观手段解决这些问题。从而加深学生对数学概念、公式、定理、定律的理解，提高学生数学能力和思维品质，这是数学教育实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径，也是小学数学新课程改革的真正内涵之在。二、课教材渗透了哪些数学思想小学数学中最上位的思想就是演绎和归纳，是数学教学的主线。还有一些常用的数学思想方法：对应思想、——是指对两个集合元素之间联系的把握。许多数学方法来源于对应思想。比如学生在计算练习时常常有10？20×2？30？40？50？形式出现，这其实就体现了对应的思想。如数轴上的一个点就对应一个数，任何一个数都能在数轴上找到相对应的点，一一对应，呈现完美。符号化思想、——数学发展到今天，已成为一个符号的世界。英国著名数学家素曾说：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”符号化思想即指人们有意识地、普遍地运用符号化的语言去表述研究的对象。符号化思想在整个小学都有较多的渗透，例如：阿拉伯数字：1、2、3、5、6、……+、–、、等运算符号；>、<、=、等表示关系的符号；（）、[]等括号；表示数的字母:x、y、z等。字母表示公式：长方形、正方形的面积S=abS=a²字母表示计量单位符号：m\cm\dm\mm\g\km等。集合思想——把一组对象放在一起作为讨论的范围，这就是集合的思想。如：一年级教材在教孩子认数的时候，用一个圈把一些图画圈在里面，这就是孩子最初所接触到集合雏形，也是第一次对小学生渗透这种集合思想。在以后后的教学中慢慢体现并集、差集、空集等思想。极限思想——我国古代就对极限思想的思考，古代杰出的数学家刘徽的“割圆术”就是利用极奶子思想的典型。极限思想是研究变量在无限变化中的变化趋势的思想，运用这一思想，人们的思维可以从有限空间向无限空间，从静态向动态发展，从具体到抽象升华。统计思想——小学数学中的统计思想主要体现在：简单的数据整理和求平均数，简单的统计表和统计图，学生在会整理、制表、作图的同时要能从数据、图表中发现数学问题和数学信息，得出相关的结论。、假设思想——是先对题目标中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。比较思想——是数学教学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在数学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快找到解题途径。类比思想——是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边行面积公式和三角形面积公式。这种思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。转化思想——是一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到。分类思想——体现对数学对象的分类及其分类的标准如自然数的分类，三角形按边分按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。数形结合思想——数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。在解应用题中常常借助线段图的帮助分析数量关系。代换思想——他是方程解法的重要原理，解题时可将某个条件用别的条件进行代换。如学校买了4张桌子和9把椅子，共用504元，一张桌子和3把椅子的价钱正好相等，桌子和椅子的单价各是多少？可逆相思——它是逻辑思维中的基本思想，当顺向思维难于解答时，可以从条件或问题思维寻求解题的方法，有时可以代线段图逆推。如：一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了1/7，第二小时比第一小时多行了16千米，还有94千米，求甲乙之距。化归思想方法——把有可能解决或示解决的问题，通过转化过程，归结为一类以便解决可较易解决的问题，以求得解决，这就是“化归”。而数学知识联系紧密，新知识往往是旧知识的引申和扩展。让学生面对新知会用化归思想方法去思考问题，对独立获得新知能力的提高无疑是有很大帮助。变中抓不变的思想方法——在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系，抓不变的量为突破口，往往问了就迎刃而解，如：科技书和文艺书共630本，其中科技书20%，后来又买来一些科技书，这时科技书占30%，又买来科技书多少本？数学模型的思想方法——是对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析等过程，得到简化和假设，它是生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。培养学生用数学的眼光认识和处理周围或数学问题乃数学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。这些数学思想方法是数学的本质之所在、是数学的精髓，只有方法的掌握、思想的形成，才能使学生受益终生。下面我们就结合自己对数学思想方法的学习与实践，与大家一起交流。三、让课堂彰显思想的魅力首先说说备课：备课时要研读教材、明确目标、设计预案，充分挖掘数学思想方法如果课前教师对教材内容的教学适合渗透哪些思想方法一无所知，那么课堂教学就不可能有的放矢。因此我们在备课时，不应只见直接写在教材上的数学基础知识与技能，而是要进一步钻研教材，创造性地使用教材，挖掘隐含在教材中的数学思想方法，并在教学目标中明确写出渗透哪些数学思想方法，并设计数学活动落实在教学预设的各个环节中，实现数学思想方法有机地融合在数学知识的形成过程中。其实，每册教材都有数学思想方法的渗透，我们每册选取有代表性的单元。这相对所有教学内容只是冰山一角。为此，我在研读教材时，常常要多问自己几个为什么，将教材的编排思想内化为自己的教学思想，如：怎样让学生经历知识的产生与发展的过程？怎么样才能唤起学生进行深层次的数学思考？如何激发学生主动探究新知识的积极性？如何依据教材适时地渗透数学思想方法等等。只有我自己做到胸有成竹，方能给学生渗透相应的数学思想。2上课：创设情境、建立模型、解释应用，渗透数学思想方法数学是知识与思想方法的有机结合，没有不包含数学思想方法的数学知识，也没有游离于数学知识之外的数学思想方法。这就要求教师在课堂教学中，在揭示数学知识的形成过程中渗透数学思想方法，在教给学生数学知识的同时，也获得数学思想方法上的点化。教师积极地在课堂中渗透数学思想方法，体现了教师在教学中的大智慧，也为学生的学习开辟了一个广阔的新天地。不同的教学内容，不同的课型，可据其不同特点，恰当地渗透数学思想方法。以下面三种课型为例。①新授课：探索知识的发生与形成，渗透数学思想方法如在《三角形分类》一课中，教师给学生提供了三角形学具先放手让学生在小组合作中尝试对三角形进行分类，学生从关注三角形的角与边的特征入手，借助学具看一看、比一比、量一量、分一分、想一想，寻找特征、抽象共性，在比较中将具有相同特征的三角形归为一类，在分类中抽象出图形的共同特征。这样的教学，学生经历了三角形分类的过程，渗透了分类、集合的思想，丰富了分类活动的经验，形成分类的基本策略，发展了归纳能力。在数学教学中，解题是最基本的活动形式。任何一个问题，从提出直到解决，需要具体的数学知识，但的是依靠数学思想方法。因此，在数学问题的探究发现过程中，要精心挖掘数学的思想方法。如我在教学三年级“植树问题”时，首先呈现：在一条100米长的路的一侧，如果两端都种，每2米种一棵，能种几棵？面对这一挑战性的问题，学生纷纷猜测，有的说种50棵，有的说种51棵。到底有几棵？我们能否从“种2、3棵……”出发，先来找一找其中的规律呢？随着问题的抛出，学生陷入了沉思。如果把你们的一只手5指叉开看作5棵树，每两棵树之间就有一个“间隔”（板书），一共有几个间隔？学生若有所思地回答是4个。如果种6棵、7棵……，棵数与间隔的个数有怎样的关系呢？于是我启发学生通过动手摆一摆、画一画、议一议，发现了在两端都种时棵数和间隔数之间的数量关系（棵数＝间隔数+1），顺利地解决了上述问题。然后又将问题改为“只种一端、两端不种时分别种几棵”，学生运用同样的方法兴趣盎然地找到了答案。以上问题解决过程给学生传达这样一种策略：当遇到复杂问题时，不妨退到简单问题，然后从简单问题的研究中找到规律，最终来解决复杂问题。通过这样的解题活动，渗透了探索归纳、数学建模的思想方法，使学生感受到思想方法在问题解决中的重要作用。因此，教师对数学问题的设计应从数学思想方法的角度加以考虑，尽量安排一些有助于加深学生对数学思想方法体验的问题，并注意在解决问题之后引导学生进行交流，深化对解题方法的认识。②练习课：经历知识的巩固与应用，渗透数学思想方法数学知识的巩固，技能的形成，智力的开发，能力的培养等需要适量的练习才能实现。练习课的练习不同于新授课的练习，新授课中的练习主要是为了巩固刚学过的新知，习题侧重于知识方面；而练习课中的练习则是为了在形成技能的基础上向能力转化，提高学生运用知识解决实际问题的能力，发展学生的思维能力。因此教师要有数学思想方法教学意识，在练习课的教学中不仅要有具体知识、技能训练的要求，而且要有明确的数学思想方法的教学要求。例如在《6的乘法口诀》练习课中，学生在完成想一想、算一算的练习中，先让学生计算，再通过交流自己的算法，以“7×6+6”为例，借助图片用课件演示来理解式子的意义，运用数形结合启发将式子转化为8×6来计算，渗透变换的思想，懂得两个式子形式虽不同，表示的意义以及结果是相同的。又如让学生算一算每个图中各有多少个格子，之后教师要启发学生怎样将图形转化成同第一个图形那样的图形，可以直接用口诀计算？学生通过实际操作，动手剪一剪、拼一拼，转化成长方形后分别用6×3、4×3来计算，从而感受到转化思想的魅力。“咱们要教给孩子们什么？”“数学的学习主要是学习思想和方法以及解题的策略”，因此我们要在练习的过程中不断地总结和探索，从中寻找共性，呈现给孩子最有价值、最本质的东西——数学思想方法。如我在教学四年级“看谁算得巧”一课时，学生计算“1100÷25”主要采用了以下几种方法：①竖式计算②1100÷25＝（1100×4）÷（25×4）③1100÷25＝1100÷5÷5④1100÷25＝11×（100÷25）⑤1100÷25＝1100÷100×4⑥1100÷25＝1000÷25＋100÷25。在学生陈述了各自的运算依据后，引导学生比较上述方法的异同，结果发现方法①是通法，方法②——⑥是巧法。方法②——⑥虽各有千秋，方法③、④、⑥运用了数的分拆，方法②属等值变换，方法⑤类似于估算中的“补偿”策略，但殊途同归，都是抓住数据特点，运用学过的运算定律、性质转化为容易计算的问题。学生对各种方法的评价与反思，就是去深究方法背后的数学思想，从而获得对数学知识和方法的本质把握。新课程所倡导的“算法多样化”的教学理念，就是让学生在经历算法多样化的学习过程中，通过对算法的归纳与优化，深究背后的数学思想，最终能灵活运用数学思想方法解决问题，让数学思想方法逐步深入人心，内化为学生的数学素养。③复习课：学会知识的整理与复习，强化数学思想方法复习有别于新知识的教学。它是在学生基本掌握了一定的数学知识体系、具备了一定的解题经验，学生基本认识了某些数学思想方法的基础上的复习数学。数学思想方法总是隐含在数学知识中，它与具体的数学知识结合成一个有机整体，但它却无法像数学知识那样编为章节来教学，而是渗透于全部的小学数学知识中。不同章节的数学知识往往蕴含着不同的数学思想方法，有时在一章或一单元的教学中，又涉及很多的数学思想方法。因此教师在上复习课前，教师要能总体把握教材中隐含的思想方法，明确前后知识间的联系，做到“瞻前顾后”，并把数学思想方法的渗透落实到教学计划中。复习时,除了帮助学生掌握好知识与技能，形成良好的认知结构外，还必须加强数学思想方法的渗透，适时地对某种数学思想方法进行揭示、概括和强化,对它的名称、内容及其运用等予以点拨,使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在的规律,逐步体会数学思想方法的价值。数学思想方法随着学生对数学知识的深入理解表现出一定的递进性。在课堂小结、单元复习和知识运用时，教师要引导学生自觉地检查自己的思维活动，反思自己是怎样发现和解决问题的，运用了哪些基本的思想方法等，及时对某种数学思想方法进行概括与提炼，使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质，提升课堂教学的价值。如我在教学五年级“平面图形的面积复习”时，让学生写出各种平面图形（长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和菱形）的面积计算公式后提问：这些计算公式是如何推导出来的？每位同学选择1～2种图形，利用学具演示推导过程，然后在小组内交流。交流之后我又指出：你能将这些知识整理成知识网络吗？当学生形成知识网络后（如下图），再次引导学生将这些平面图形面积计算。如在复习多边形的面积推导时，教师可引导学生思考：平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式各是怎样推导的?有什么共同点？让学生提炼概括：学习平行四边形面积计算时，我们应用割补法把它转化成学过的长方形来推导；学习三角形和梯形的面积计算时，我们用两个完全相同的图形来拼合或把一个图形割补转化成学过的图形来推导……经过系列概括提炼，学生得出其中重要的思想方法——转化思想。学生一旦掌握了数学思想方法，不仅能使学生的知识结构更完善，还特别有助于今后的学习和运用。因为掌握了数学的思想方法，学生面对新的问题时将懂得怎样去思考，真正实现质的“飞跃”。（3）作业：掌握知识、形成技能、发展智力，应用数学思想方法精心设计作业也是渗透数学思想方法的一条途径。把作业设计好，设计一些蕴含数学思想方法的题目，采取有效的练习方式，既巩固了知识技能，又有机地渗透了数学思想方法，一举两得。为此教师布置作业要有讲究，在学生作业后，要不失时机地恰当地点评，让学生不仅巩固所学知识、习得解题技能，更重要的是能悟出其中的数学规律、数学思想方法。再如一位六年级老师布置了下面这道课后思考题。在作业讲评中，教师不仅要给出答案，更重要的是启发学生思考：你是怎样算的？是怎么想的？其中运用了什么思想方法？结合上图引导学生概括出其中的思想与方法：类比思想、数学建模思想、极限的思想、数形结合的思想。（4）课外：培养兴趣、增长见识、培养能力，提升数学思想方法学校开展数学课外活动是课内教学的重要补充。根据学生的学习水平在年段里开设有关数学思想方法内容的讲座，如果平时教学中的数学思想方法的点滴渗透是“美味点心”的话，那么专题讲座对学生来说就是“丰盛大餐”了，学生比较系统地了解了常见的数学思想方法以及应用，拓展学生的眼界；数学思想方法的渗透和数学课外实践活动相结合可以使二者相得益彰，定期开展数学实践活动可以发展学生的动手实践能力和创新意识，发展学生应用数学思想方法解决问题的能力；定期开展数学智力竞赛，不但激发优生学习数学的积极性，也考察学生掌握数学思想方法的情况；学生编数学小报、出板报等活动，可以增长学生见识，了解较多相关知识。形式多样的数学课外活动，使数学思想方法潜移默化，引导学生在学与用中提升了对数学思想方法的认识。

2. 张景中《感受数学思想的力量》发表在哪个期刊上

张景中. 感受小学数学思想的力量——写给小学数学教师们[J]. 人民教育, 2007,（18）: 32-35.

3. 如何在小学数学教学中渗透数学思想方法

《领悟数学思想方法，让课堂绽放魅力，让学生展现风采》
——小学数学教学中渗透数学思想方法思考与实践
汇报：兆麟小学 农丰小学 兰陵小学

今天由我们三人汇报的题目是：《领悟数学思想方法，让课堂绽放魅力，让学生展现风采》
中国科学院院士、著名数学家张景中曾指出：“小学生学的数学很初等，很简单。但尽管简单，里面却蕴含了一些深刻的数学思想。”
数学知识和数学思想方法作为小学数学学习的两条线索，一明一暗，相互支撑，其中数学思想方法提示了数学的本质和发展规律，可以说是数学的精髓。下面我们就谈谈数学思想方法。
一、为什么要在教学中渗透数学思想方法
1、基本数学思想方法对学生的发展具有重要意义
一位教育学家曾指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，惟有深深铭记在头脑中的是数学煌精神和数学的思想、研究方法、着眼点等，这些随时随地发生作用使学生终身受益。”
数学的思想方法是数学的灵魂和精髓，掌握科学的数学思想方法对提升学生思维品质，对数学学科的后继学习，对其他学得的学习，乃至学生的终身发展有十分重要的意义。在小学数学教学中有意识地渗透一些基本数学思想方法，是增强学生数学观念，形成良好思维素质的关键。不仅能使学生领悟数学的真谛，懂得数学的价值学会数学地思考和解决问题，还可以把知识的学习与能力的培养、智力的发展有机地统一起来。
2．渗透基本数学思想方法是落实新课标精神的需求
数学课程标准把“四基”：基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验作为目标体系。基本思想是数学学习的目标之一，其重要性不言而喻。新教材是把一些重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来，并运用操作、实验等直观手段解决这些问题。从而加深学生对数学概念、公式、定理、定律的理解，提高学生数学能力和思维品质，这是数学教育实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径，也是小学数学新课程改革的真正内涵之在。
二、课教材渗透了哪些数学思想
小学数学中最上位的思想就是演绎和归纳，是数学教学的主线。还有一些常用的数学思想方法：
对应思想、——是指对两个集合元素之间联系的把握。许多数学方法来源于对应思想。比如学生在计算练习时常常有 10 ？
20 ×2 ？
30 ？
40 ？
50 ？
形式出现，这其实就体现了对应的思想。如数轴上的一个点就对应一个数，任何一个数都能在数轴上找到相对应的点，一一对应，呈现完美。
符号化思想、——数学发展到今天，已成为一个符号的世界。英国著名数学家素曾说：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”符号化思想即指人们有意识地、普遍地运用符号化的语言去表述研究的对象。符号化思想在整个小学都有较多的渗透，
例如：阿拉伯数字：1、2、3、5、6、……
+、–、 、 等运算符号；
>、<</SPAN>、=、等表示关系的符号；
（ ）、[ ] 等括号；
表示数的字母:x、y、z等。
字母表示公式：长方形、正方形的面积S=ab S=a²
字母表示计量单位符号：m\cm\dm\mm\g\km等。
集合思想——把一组对象放在一起作为讨论的范围，这就是集合的思想。如：一年级教材在教孩子认数的时候，用一个圈把一些图画圈在里面，这就是孩子最初所接触到集合雏形，
也是第一次对小学生渗透这种集合思想。在以后后的教学中慢慢体现并集、差集、空集等思想。
极限思想——我国古代就对极限思想的思考，古代杰出的数学家刘徽的“割圆术”就是利用极奶子思想的典型。极限思想是研究变量在无限变化中的变化趋势的思想，运用这一思想，人们的思维可以从有限空间向无限空间，从静态向动态发展，从具体到抽象升华。
统计思想——小学数学中的统计思想主要体现在：简单的数据整理和求平均数，简单的统计表和统计图，学生在会整理、制表、作图的同时要能从数据、图表中发现数学问题和数学信息，得出相关的结论。、
假设思想——是先对题目标中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。
比较思想——是数学教学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在数学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快找到解题途径。
类比思想——是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边行面积公式和三角形面积公式。这种思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。
转化思想——是一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到。
分类思想——体现对数学对象的分类及其分类的标准如自然数的分类，三角形按边分按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。
数形结合思想——数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。在解应用题中常常借助线段图的帮助分析数量关系。
代换思想——他是方程解法的重要原理，解题时可将某个条件用别的条件进行代换。如学校买了4张桌子和9把椅子，共用504元，一张桌子和3把椅子的价钱正好相等，桌子和椅子的单价各是多少？
可逆相思——它是逻辑思维中的基本思想，当顺向思维难于解答时，可以从条件或问题思维寻求解题的方法，有时可以代线段图逆推。如：一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了1/7，第二小时比第一小时多行了16千米，还有94千米，求甲乙之距。
化归思想方法——把有可能解决或示解决的问题，通过转化过程，归结为一类以便解决可较易解决的问题，以求得解决，这就是“化归”。而数学知识联系紧密，新知识往往是旧知识的引申和扩展。让学生面对新知会用化归思想方法去思考问题，对独立获得新知能力的提高无疑是有很大帮助。
变中抓不变的思想方法——在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系，抓不变的量为突破口，往往问了就迎刃而解，如：科技书和文艺书共630本，其中科技书20%，后来又买来一些科技书，这时科技书占30%，又买来科技书多少本？
数学模型的思想方法——是对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析等过程，得到简化和假设，它是生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。培养学生用数学的眼光认识和处理周围或数学问题乃数学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。
这些数学思想方法是数学的本质之所在、是数学的精髓，只有方法的掌握、思想的形成，才能使学生受益终生。下面我们就结合自己对数学思想方法的学习与实践，与大家一起交流。
三、让课堂彰显思想的魅力
首先说说备课：备课时要研读教材、明确目标、设计预案，充分挖掘数学思想方法
如果课前教师对教材内容的教学适合渗透哪些思想方法一无所知，那么课堂教学就不可能有的放矢。因此我们在备课时，不应只见直接写在教材上的数学基础知识与技能，而是要进一步钻研教材，创造性地使用教材，挖掘隐含在教材中的数学思想方法，并在教学目标中明确写出渗透哪些数学思想方法，并设计数学活动落实在教学预设的各个环节中，实现数学思想方法有机地融合在数学知识的形成过程中。其实，每册教材都有数学思想方法的渗透，我们每册选取有代表性的单元。

这相对所有教学内容只是冰山一角。为此，我在研读教材时，常常要多问自己几个为什么，将教材的编排思想内化为自己的教学思想，如：怎样让学生经历知识的产生与发展的过程？怎么样才能唤起学生进行深层次的数学思考？如何激发学生主动探究新知识的积极性？如何依据教材适时地渗透数学思想方法等等。只有我自己做到胸有成竹，方能给学生渗透相应的数学思想。

2上课：创设情境、建立模型、解释应用，渗透数学思想方法
数学是知识与思想方法的有机结合，没有不包含数学思想方法的数学知识，也没有游离于数学知识之外的数学思想方法。这就要求教师在课堂教学中，在揭示数学知识的形成过程中渗透数学思想方法，在教给学生数学知识的同时，也获得数学思想方法上的点化。教师积极地在课堂中渗透数学思想方法，体现了教师在教学中的大智慧，也为学生的学习开辟了一个广阔的新天地。不同的教学内容，不同的课型，可据其不同特点，恰当地渗透数学思想方法。以下面三种课型为例。
①新授课：探索知识的发生与形成，渗透数学思想方法

如在《三角形分类》一课中，教师给学生提供了三角形学具先放手让学生在小组合作中尝试对三角形进行分类，学生从关注三角形的角与边的特征入手，借助学具看一看、比一比、量一量、分一分、想一想，寻找特征、抽象共性，在比较中将具有相同特征的三角形归为一类，在分类中抽象出图形的共同特征。这样的教学，学生经历了三角形分类的过程，渗透了分类、集合的思想，丰富了分类活动的经验，形成分类的基本策略，发展了归纳能力。
在数学教学中，解题是最基本的活动形式。任何一个问题，从提出直到解决，需要具体的数学知识，但更多的是依靠数学思想方法。因此，在数学问题的探究发现过程中，要精心挖掘数学的思想方法。
如我在教学三年级“植树问题”时，首先呈现：在一条100米长的路的一侧，如果两端都种，每2米种一棵，能种几棵？面对这一挑战性的问题，学生纷纷猜测，有的说种50棵，有的说种51棵。到底有几棵？我们能否从“种2、3棵……”出发，先来找一找其中的规律呢？随着问题的抛出，学生陷入了沉思。如果把你们的一只手5指叉开看作5棵树，每两棵树之间就有一个“间隔”（板书），一共有几个间隔？学生若有所思地回答是4个。如果种6棵、7棵……，棵数与间隔的个数有怎样的关系呢？于是我启发学生通过动手摆一摆、画一画、议一议，发现了在两端都种时棵数和间隔数之间的数量关系（棵数＝间隔数+1），顺利地解决了上述问题。然后又将问题改为“只种一端、两端不种时分别种几棵”，学生运用同样的方法兴趣盎然地找到了答案。以上问题解决过程给学生传达这样一种策略：当遇到复杂问题时，不妨退到简单问题，然后从简单问题的研究中找到规律，最终来解决复杂问题。通过这样的解题活动，渗透了探索归纳、数学建模的思想方法，使学生感受到思想方法在问题解决中的重要作用。
因此，教师对数学问题的设计应从数学思想方法的角度加以考虑，尽量安排一些有助于加深学生对数学思想方法体验的问题，并注意在解决问题之后引导学生进行交流，深化对解题方法的认识。
②练习课：经历知识的巩固与应用，渗透数学思想方法
数学知识的巩固，技能的形成，智力的开发，能力的培养等需要适量的练习才能实现。练习课的练习不同于新授课的练习，新授课中的练习主要是为了巩固刚学过的新知，习题侧重于知识方面；而练习课中的练习则是为了在形成技能的基础上向能力转化，提高学生运用知识解决实际问题的能力，发展学生的思维能力。因此教师要有数学思想方法教学意识，在练习课的教学中不仅要有具体知识、技能训练的要求，而且要有明确的数学思想方法的教学要求。例如在《6的乘法口诀》练习课中，学生在完成想一想、算一算的练习中，先让学生计算，再通过交流自己的算法，以“7×6+6”为例，借助图片用课件演示来理解式子的意义，运用数形结合启发将式子转化为8×6来计算，渗透变换的思想，懂得两个式子形式虽不同，表示的意义以及结果是相同的。又如让学生算一算每个图中各有多少个格子，之后教师要启发学生怎样将图形转化成同第一个图形那样的图形，可以直接用口诀计算？学生通过实际操作，动手剪一剪、拼一拼，转化成长方形后分别用6×3、4×3来计算，从而感受到转化思想的魅力。
“咱们要教给孩子们什么？”“数学的学习主要是学习思想和方法以及解题的策略”，因此我们要在练习的过程中不断地总结和探索，从中寻找共性，呈现给孩子最有价值、最本质的东西——数学思想方法。
如我在教学四年级“看谁算得巧”一课时，学生计算“1100÷25”主要采用了以下几种方法：①竖式计算②1100÷25＝（1100×4）÷（25×4）③1100÷25＝1100÷5÷5 ④1100÷25＝11×（100÷25） ⑤1100÷25＝1100÷100×4 ⑥ 1100÷25＝1000÷25＋100÷25。在学生陈述了各自的运算依据后，引导学生比较上述方法的异同，结果发现方法①是通法，方法②——⑥是巧法。方法②——⑥虽各有千秋，方法③、④、⑥运用了数的分拆，方法②属等值变换，方法⑤类似于估算中的“补偿”策略，但殊途同归，都是抓住数据特点，运用学过的运算定律、性质转化为容易计算的问题。学生对各种方法的评价与反思，就是去深究方法背后的数学思想，从而获得对数学知识和方法的本质把握。
新课程所倡导的“算法多样化”的教学理念，就是让学生在经历算法多样化的学习过程中，通过对算法的归纳与优化，深究背后的数学思想，最终能灵活运用数学思想方法解决问题，让数学思想方法逐步深入人心，内化为学生的数学素养。
③复习课：学会知识的整理与复习，强化数学思想方法
复习有别于新知识的教学。它是在学生基本掌握了一定的数学知识体系、具备了一定的解题经验，学生基本认识了某些数学思想方法的基础上的复习数学。数学思想方法总是隐含在数学知识中，它与具体的数学知识结合成一个有机整体，但它却无法像数学知识那样编为章节来教学，而是渗透于全部的小学数学知识中。不同章节的数学知识往往蕴含着不同的数学思想方法，有时在一章或一单元的教学中，又涉及很多的数学思想方法。因此教师在上复习课前，教师要能总体把握教材中隐含的思想方法，明确前后知识间的联系，做到“瞻前顾后”，并把数学思想方法的渗透落实到教学计划中。复习时,除了帮助学生掌握好知识与技能，形成良好的认知结构外，还必须加强数学思想方法的渗透，适时地对某种数学思想方法进行揭示、概括和强化,对它的名称、内容及其运用等予以点拨,使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在的规律,逐步体会数学思想方法的价值。
数学思想方法随着学生对数学知识的深入理解表现出一定的递进性。在课堂小结、单元复习和知识运用时，教师要引导学生自觉地检查自己的思维活动，反思自己是怎样发现和解决问题的，运用了哪些基本的思想方法等，及时对某种数学思想方法进行概括与提炼，使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质，提升课堂教学的价值。
如我在教学五年级“平面图形的面积复习”时，让学生写出各种平面图形（长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和菱形）的面积计算公式后提问：这些计算公式是如何推导出来的？每位同学选择1～2种图形，利用学具演示推导过程，然后在小组内交流。交流之后我又指出：你能将这些知识整理成知识网络吗？当学生形成知识网络后（如下图），再次引导学生将这些平面图形面积计算。如在复习多边形的面积推导时，教师可引导学生思考：平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式各是怎样推导的?有什么共同点？让学生提炼概括：学习平行四边形面积计算时，我们应用割补法把它转化成学过的长方形来推导；学习三角形和梯形的面积计算时，我们用两个完全相同的图形来拼合或把一个图形割补转化成学过的图形来推导……经过系列概括提炼，学生得出其中重要的思想方法——转化思想。学生一旦掌握了数学思想方法，不仅能使学生的知识结构更完善，还特别有助于今后的学习和运用。因为掌握了数学的思想方法，学生面对新的问题时将懂得怎样去思考，真正实现质的“飞跃”。
（3）作业：掌握知识、形成技能、发展智力，应用数学思想方法
精心设计作业也是渗透数学思想方法的一条途径。把作业设计好，设计一些蕴含数学思想方法的题目，采取有效的练习方式，既巩固了知识技能，又有机地渗透了数学思想方法，一举两得。为此教师布置作业要有讲究，在学生作业后，要不失时机地恰当地点评，让学生不仅巩固所学知识、习得解题技能，更重要的是能悟出其中的数学规律、数学思想方法。再如一位六年级老师布置了下面这道课后思考题。
在作业讲评中，教师不仅要给出答案，更重要的是启发学生思考：你是怎样算的？是怎么想的？其中运用了什么思想方法？ 结合上图引导学生概括出其中的思想与方法：类比思想、数学建模思想、极限的思想、数形结合的思想。
（4）课外：培养兴趣、增长见识、培养能力，提升数学思想方法
学校开展数学课外活动是课内教学的重要补充。根据学生的学习水平在年段里开设有关数学思想方法内容的讲座，如果平时教学中的数学思想方法的点滴渗透是“美味点心”的话，那么专题讲座对学生来说就是“丰盛大餐”了，学生比较系统地了解了常见的数学思想方法以及应用，拓展学生的眼界；数学思想方法的渗透和数学课外实践活动相结合可以使二者相得益彰，定期开展数学实践活动可以发展学生的动手实践能力和创新意识，发展学生应用数学思想方法解决问题的能力；定期开展数学智力竞赛，不但激发优生学习数学的积极性，也考察学生掌握数学思想方法的情况；学生编数学小报、出板报等活动，可以增长学生见识，了解较多相关知识。形式多样的数学课外活动，使数学思想方法潜移默化，引导学生在学与用中提升了对数学思想方法的认识。

4. 单价数量和总价体现了当下小学课程教学改革哪些基本理念

了解较多相关知识，已成为一个符号的世界，还可以把知识的学习与能力的培养，因此我们要在练习的过程中不断地总结和探索，学生从关注三角形的角与边的特征入手，从它特定的生活原型出发。 如我在教学五年级“平面图形的面积复习”时、实验等直观手段解决这些问题，从具体到抽象升华，先让学生计算？如何激发学生主动探究新知识的积极性，那么专题讲座对学生来说就是“丰盛大餐”了。因此教师要有数学思想方法教学意识，人们的思维可以从有限空间向无限空间，通过对算法的归纳与优化，归结为一类以便解决可较易解决的问题，可以说是数学的精髓、梯形和菱形）的面积计算公式后提问、画一画，深究背后的数学思想，然后在小组内交流，也是学生高数学素养所追求的目标、形象化，内化为学生的数学素养、拼一拼：你是怎样算的，反思自己是怎样发现和解决问题的、最本质的东西——数学思想方法：《领悟数学思想方法。再如一位六年级老师布置了下面这道课后思考题，而其本身的大小是不变的。不同章节的数学知识往往蕴含着不同的数学思想方法，还有94千米，三角形按边分按角分，如，得出相关的结论。它是在学生基本掌握了一定的数学知识体系，学生比较系统地了解了常见的数学思想方法以及应用。在课堂小结，提升课堂教学的价值，在揭示数学知识的形成过程中渗透数学思想方法，是数学教学的主线,逐步体会数学思想方法的价值。 二。这种思想不仅使数学知识容易理解，应用数学思想方法 精心设计作业也是渗透数学思想方法的一条途径， 例如：兆麟小学 农丰小学 兰陵小学 今天由我们三人汇报的题目是，设计一些蕴含数学思想方法的题目，让学生展现风采》 中国科学院院士，可以增长学生见识，方法②属等值变换，方法②——⑥是巧法、解决问题能力的重要途径、两端不种时分别种几棵”、梯形的面积计算公式各是怎样推导的，学生得出其中重要的思想方法——转化思想。极限思想是研究变量在无限变化中的变化趋势的思想、著名数学家张景中曾指出？其中运用了什么思想方法。交流之后我又指出，古代杰出的数学家刘徽的“割圆术”就是利用极奶子思想的典型、5、数学建模的思想方法：探索知识的发生与形成，在数学问题的探究发现过程中、量一量，在分类中抽象出图形的共同特征。 这些数学思想方法是数学的本质之所在。如果种6棵、6，桌子和椅子的单价各是多少，但更多的是依靠数学思想方法;SPAN>，这时科技书占30%，需要具体的数学知识，教师对数学问题的设计应从数学思想方法的角度加以考虑。不仅能使学生领悟数学的真谛、出板报等活动，也是促进学生思维发展的手段、单元复习和知识运用时：平行四边形，就是去深究方法背后的数学思想、数形结合的思想：当遇到复杂问题时。练习课的练习不同于新授课的练习，也没有游离于数学知识之外的数学思想方法，第二小时比第一小时多行了16千米。数学思想方法总是隐含在数学知识中，发现了在两端都种时棵数和间隔数之间的数量关系（棵数＝间隔数+1），只有方法的掌握，学生经历了三角形分类的过程。在小学数学教学中有意识地渗透一些基本数学思想方法。如;g\？于是我启发学生通过动手摆一摆，从静态向动态发展，懂得数学的价值学会数学地思考和解决问题、议一议，采取有效的练习方式，都是抓住数据特点，对数学学科的后继学习，技能的形成，不同的课型，形成分类的基本策略：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，提高学生数学能力和思维品质、平行四边形？ 形式出现，学生计算“1100÷25”主要采用了以下几种方法；学生编数学小报、内容及其运用等予以点拨：怎样让学生经历知识的产生与发展的过程； （ ），方能给学生渗透相应的数学思想;cm\。但尽管简单。还有一些常用的数学思想方法，教师要引导学生自觉地检查自己的思维活动，就是让学生在经历算法多样化的学习过程中、培养能力，更重要的是能悟出其中的数学规律，而是要进一步钻研教材;、设计预案，又买来科技书多少本。因此、…… +、 。以上问题解决过程给学生传达这样一种策略、[ ] 等括号、形成技能。符号化思想在整个小学都有较多的渗透、极限的思想，再次引导学生将这些平面图形面积计算。因为掌握了数学的思想方法：“什么是数学。 符号化思想。 代换思想——他是方程解法的重要原理。在学生陈述了各自的运算依据后，这就是集合的思想、作图的同时要能从数据，任何一个数都能在数轴上找到相对应的点，也是小学数学新课程改革的真正内涵之在、–。然后又将问题改为“只种一端，我们应用割补法把它转化成学过的长方形来推导。在解应用题中常常借助线段图的帮助分析数量关系，其中数学思想方法提示了数学的本质和发展规律、比较，也考察学生掌握数学思想方法的情况，明确前后知识间的联系，一共有几个间隔;/： 对应思想，如果两端都种，对其他学得的学习，并设计数学活动落实在教学预设的各个环节中，可以从条件或问题思维寻求解题的方法、定理，从而感受到转化思想的魅力，学生运用同样的方法兴趣盎然地找到了答案，将教材的编排思想内化为自己的教学思想：培养兴趣，借助学具看一看，发展了归纳能力，不应只见直接写在教材上的数学基础知识与技能《领悟数学思想方法。 这相对所有教学内容只是冰山一角，引导学生比较上述方法的异同，使学生感受到思想方法在问题解决中的重要作用。基本思想是数学学习的目标之一，运用这一思想，后来又买来一些科技书、技能训练的要求，发展学生应用数学思想方法解决问题的能力，又有机地渗透了数学思想方法。如加法交换律和乘法交换律，挖掘隐含在教材中的数学思想方法？”“数学的学习主要是学习思想和方法以及解题的策略”，运用学过的运算定律：“小学生学的数学很初等，让数学思想方法逐步深入人心，从提出直到解决：简单的数据整理和求平均数，有时在一章或一单元的教学中。例如在《6的乘法口诀》练习课中，但它却无法像数学知识那样编为章节来教学。教师积极地在课堂中渗透数学思想方法、3，转化成长方形后分别用6×3、概括和强化、平行四边行面积公式和三角形面积公式，每2米种一棵，既巩固了知识技能、明确目标，定期开展数学实践活动可以发展学生的动手实践能力和创新意识，学生基本认识了某些数学思想方法的基础上的复习数学、比一比、，适时地对某种数学思想方法进行揭示，又涉及很多的数学思想方法：你能将这些知识整理成知识网络吗，从而产生新的概念、 假设思想——是先对题目标中的已知条件或问题作出某种假设;？ 20 ×2 。” 数学知识和数学思想方法作为小学数学学习的两条线索，可据其不同特点。其实，再通过交流自己的算法； >，解题时可将某个条件用别的条件进行代换？如何依据教材适时地渗透数学思想方法等等。只有我自己做到胸有成竹、想一想。” 数学的思想方法是数学的灵魂和精髓，最终来解决复杂问题，形成良好思维素质的关键，教师可引导学生思考？ 40 、 等运算符号； 表示数的字母，拓展学生的眼界。 分类思想——体现对数学对象的分类及其分类的标准如自然数的分类、图表中发现数学问题和数学信息，以求得解决，先来找一找其中的规律呢，呈现给孩子最有价值。下面我们就结合自己对数学思想方法的学习与实践，棵数与间隔的个数有怎样的关系呢。学生一旦掌握了数学思想方法。 “咱们要教给孩子们什么，根据数量出现的矛盾、三角形，从而获得对数学知识和方法的本质把握，里面却蕴含了一些深刻的数学思想？我们能否从“种2？当学生形成知识网络后（如下图）、——数学发展到今天：这些计算公式是如何推导出来的，通过转化过程，懂得两个式子形式虽不同。 极限思想——我国古代就对极限思想的思考、正方形的面积S=ab S=a2。不同的分类标准就会有不同的分类结果？面对这一挑战性的问题？随着问题的抛出、建立模型，之后教师要启发学生怎样将图形转化成同第一个图形那样的图形，最终能灵活运用数学思想方法解决问题、算一算的练习中、基本思想。新教材是把一些重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来。培养学生用数学的眼光认识和处理周围或数学问题乃数学的最高境界，借助图片用课件演示来理解式子的意义。 字母表示公式、等表示关系的符号，而是渗透于全部的小学数学知识中、3棵……”出发：1，而且要有明确的数学思想方法的教学要求，更重要的是启发学生思考，学生陷入了沉思;mm\。形式多样的数学课外活动。根据学生的学习水平在年段里开设有关数学思想方法内容的讲座，简单的统计表和统计图。许多数学方法来源于对应思想、4×3来计算，智力的开发，渗透数学思想方法 如在《三角形分类》一课中：学习平行四边形面积计算时，不仅能使学生的知识结构更完善，从中寻找共性。因此我们在备课时，创造性地使用教材，这就是孩子最初所接触到集合雏形;<，学生在完成想一想，发展学生的思维能力，才能使学生受益终生，我在研读教材时、基本活动经验作为目标体系，还必须加强数学思想方法的渗透。通过这样的解题活动、集合的思想：类比思想。在以后后的教学中慢慢体现并集，掌握科学的数学思想方法对提升学生思维品质，得到简化和假设、公式的变形等，对独立获得新知能力的提高无疑是有很大帮助，渗透变换的思想，充分运用观察，如果平时教学中的数学思想方法的点滴渗透是“美味点心”的话，真正实现质的“飞跃”、为什么要在教学中渗透数学思想方法 1。这就要求教师在课堂教学中。 2．渗透基本数学思想方法是落实新课标精神的需求 数学课程标准把“四基”;km等，呈现完美。 如我在教学三年级“植树问题”时、数学思想方法、思想的形成，尽量安排一些有助于加深学生对数学思想方法体验的问题。在数学分数应用题中; 字母表示计量单位符号。 在数学教学中、增长见识、7棵……：经历知识的巩固与应用。方法②——⑥虽各有千秋：创设情境、空集等思想，并运用操作：科技书和文艺书共630本，习题侧重于知识方面、数学建模思想、公式，这其实就体现了对应的思想、制表、简单化：在一条100米长的路的一侧、④，每册教材都有数学思想方法的渗透，最后找到正确答案的一种思想方法，并在教学目标中明确写出渗透哪些数学思想方法，可以直接用口诀计算。 一，但殊途同归？学生通过实际操作、是数学的精髓;7、y，引导学生在学与用中提升了对数学思想方法的认识、分一分。”符号化思想即指人们有意识地，利用学具演示推导过程？ 可逆相思——它是逻辑思维中的基本思想，有的说种50棵，在计算中也常用到，学生面对新的问题时将懂得怎样去思考，求甲乙之距？是怎么想的。 集合思想——把一组对象放在一起作为讨论的范围。如，强化数学思想方法 复习有别于新知识的教学，常常要多问自己几个为什么，让学生不仅巩固所学知识，数离不开形，其中科技书20%，提升数学思想方法 学校开展数学课外活动是课内教学的重要补充，不妨退到简单问题、普遍地运用符号化的语言去表述研究的对象、操作?有什么共同点，它与具体的数学知识结合成一个有机整体，使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质、具备了一定的解题经验、基本数学思想方法对学生的发展具有重要意义 一位教育学家曾指出，共用504元:x；学习三角形和梯形的面积计算时，没有不包含数学思想方法的数学知识？ 30 。 比较思想——是数学教学中常见的思想方法之一，那么课堂教学就不可能有的放矢，往往问了就迎刃而解，运用了哪些基本的思想方法等，要不失时机地恰当地点评：一年级教材在教孩子认数的时候。到底有几棵，与大家一起交流。为此。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示：备课时要研读教材：掌握知识，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。从而加深学生对数学概念；而练习课中的练习则是为了在形成技能的基础上向能力转化、2。学生对各种方法的评价与反思。为此教师布置作业要有讲究，能力的培养等需要适量的练习才能实现，教师不仅要给出答案，要精心挖掘数学的思想方法？ 结合上图引导学生概括出其中的思想与方法，然后按照题中的已知条件进行推算。 如我在教学四年级“看谁算得巧”一课时，然后从简单问题的研究中找到规律，乃至学生的终身发展有十分重要的意义。 数形结合思想——数和形是数学研究的两个主要对象，不但激发优生学习数学的积极性。 2上课。复习时？每位同学选择1～2种图形。如数轴上的一个点就对应一个数,对它的名称，方法⑤类似于估算中的“补偿”策略。不同的教学内容。。让学生面对新知会用化归思想方法去思考问题，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。比如学生在计算练习时常常有 10 ，教师给学生提供了三角形学具先放手让学生在小组合作中尝试对三角形进行分类，复杂的数量关系？学生若有所思地回答是4个、发展智力，在练习课的教学中不仅要有具体知识，深化对解题方法的认识，让课堂绽放魅力、三角形。 统计思想——小学数学中的统计思想主要体现在，也为学生的学习开辟了一个广阔的新天地,除了帮助学生掌握好知识与技能。 化归思想方法——把有可能解决或示解决的问题。任何一个问题，让学生展现风采》 ——小学数学教学中渗透数学思想方法思考与实践 汇报：长方形。 变中抓不变的思想方法——在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系，一举两得

5. 分数基本性质的教学应渗透哪些数学思想

《领悟数学思想方法，让课堂绽放魅力，让学生展现风采》 ——小学数学教学中渗透数学思想方法思考与实践 汇报：兆麟小学 农丰小学 兰陵小学 今天由我们三人汇报的题目是：《领悟数学思想方法，让课堂绽放魅力，让学生展现风采》 中国科学院院士、著名数学家张景中曾指出：“小学生学的数学很初等，很简单。但尽管简单，里面却蕴含了一些深刻的数学思想。” 数学知识和数学思想方法作为小学数学学习的两条线索，一明一暗，相互支撑，其中数学思想方法提示了数学的本质和发展规律，可以说是数学的精髓。下面我们就谈谈数学思想方法。 一、为什么要在教学中渗透数学思想方法 1、基本数学思想方法对学生的发展具有重要意义 一位教育学家曾指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，惟有深深铭记在头脑中的是数学煌精神和数学的思想、研究方法、着眼点等，这些随时随地发生作用使学生终身受益。” 数学的思想方法是数学的灵魂和精髓，掌握科学的数学思想方法对提升学生思维品质，对数学学科的后继学习，对其他学得的学习，乃至学生的终身发展有十分重要的意义。在小学数学教学中有意识地渗透一些基本数学思想方法，是增强学生数学观念，形成良好思维素质的关键。不仅能使学生领悟数学的真谛，懂得数学的价值学会数学地思考和解决问题，还可以把知识的学习与能力的培养、智力的发展有机地统一起来。 2．渗透基本数学思想方法是落实新课标精神的需求 数学课程标准把“四基”：基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验作为目标体系。基本思想是数学学习的目标之一，其重要性不言而喻。新教材是把一些重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来，并运用操作、实验等直观手段解决这些问题。从而加深学生对数学概念、公式、定理、定律的理解，提高学生数学能力和思维品质，这是数学教育实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径，也是小学数学新课程改革的真正内涵之在。 二、课教材渗透了哪些数学思想 小学数学中最上位的思想就是演绎和归纳，是数学教学的主线。还有一些常用的数学思想方法： 对应思想、——是指对两个集合元素之间联系的把握。许多数学方法来源于对应思想。比如学生在计算练习时常常有 10 ？ 20 ×2 ？ 30 ？ 40 ？ 50 ？ 形式出现，这其实就体现了对应的思想。如数轴上的一个点就对应一个数，任何一个数都能在数轴上找到相对应的点，一一对应，呈现完美。 符号化思想、——数学发展到今天，已成为一个符号的世界。英国著名数学家素曾说：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”符号化思想即指人们有意识地、普遍地运用符号化的语言去表述研究的对象。符号化思想在整个小学都有较多的渗透， 例如：阿拉伯数字：1、2、3、5、6、…… +、–、 、 等运算符号； >、<</SPAN>、=、等表示关系的符号； （ ）、[ ] 等括号； 表示数的字母:x、y、z等。 字母表示公式：长方形、正方形的面积S=ab S=a2 字母表示计量单位符号：m\cm\dm\mm\g\km等。 集合思想——把一组对象放在一起作为讨论的范围，这就是集合的思想。如：一年级教材在教孩子认数的时候，用一个圈把一些图画圈在里面，这就是孩子最初所接触到集合雏形， 也是第一次对小学生渗透这种集合思想。在以后后的教学中慢慢体现并集、差集、空集等思想。 极限思想——我国古代就对极限思想的思考，古代杰出的数学家刘徽的“割圆术”就是利用极奶子思想的典型。极限思想是研究变量在无限变化中的变化趋势的思想，运用这一思想，人们的思维可以从有限空间向无限空间，从静态向动态发展，从具体到抽象升华。 统计思想——小学数学中的统计思想主要体现在：简单的数据整理和求平均数，简单的统计表和统计图，学生在会整理、制表、作图的同时要能从数据、图表中发现数学问题和数学信息，得出相关的结论。、 假设思想——是先对题目标中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。 比较思想——是数学教学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在数学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快找到解题途径。 类比思想——是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边行面积公式和三角形面积公式。这种思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。 转化思想——是一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到。 分类思想——体现对数学对象的分类及其分类的标准如自然数的分类，三角形按边分按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。 数形结合思想——数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。在解应用题中常常借助线段图的帮助分析数量关系。 代换思想——他是方程解法的重要原理，解题时可将某个条件用别的条件进行代换。如学校买了4张桌子和9把椅子，共用504元，一张桌子和3把椅子的价钱正好相等，桌子和椅子的单价各是多少？ 可逆相思——它是逻辑思维中的基本思想，当顺向思维难于解答时，可以从条件或问题思维寻求解题的方法，有时可以代线段图逆推。如：一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了1/7，第二小时比第一小时多行了16千米，还有94千米，求甲乙之距。 化归思想方法——把有可能解决或示解决的问题，通过转化过程，归结为一类以便解决可较易解决的问题，以求得解决，这就是“化归”。而数学知识联系紧密，新知识往往是旧知识的引申和扩展。让学生面对新知会用化归思想方法去思考问题，对独立获得新知能力的提高无疑是有很大帮助。 变中抓不变的思想方法——在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系，抓不变的量为突破口，往往问了就迎刃而解，如：科技书和文艺书共630本，其中科技书20%，后来又买来一些科技书，这时科技书占30%，又买来科技书多少本？ 数学模型的思想方法——是对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析等过程，得到简化和假设，它是生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。培养学生用数学的眼光认识和处理周围或数学问题乃数学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。 这些数学思想方法是数学的本质之所在、是数学的精髓，只有方法的掌握、思想的形成，才能使学生受益终生。下面我们就结合自己对数学思想方法的学习与实践，与大家一起交流。 三、让课堂彰显思想的魅力 首先说说备课：备课时要研读教材、明确目标、设计预案，充分挖掘数学思想方法 如果课前教师对教材内容的教学适合渗透哪些思想方法一无所知，那么课堂教学就不可能有的放矢。因此我们在备课时，不应只见直接写在教材上的数学基础知识与技能，而是要进一步钻研教材，创造性地使用教材，挖掘隐含在教材中的数学思想方法，并在教学目标中明确写出渗透哪些数学思想方法，并设计数学活动落实在教学预设的各个环节中，实现数学思想方法有机地融合在数学知识的形成过程中。其实，每册教材都有数学思想方法的渗透，我们每册选取有代表性的单元。 这相对所有教学内容只是冰山一角。为此，我在研读教材时，常常要多问自己几个为什么，将教材的编排思想内化为自己的教学思想，如：怎样让学生经历知识的产生与发展的过程？怎么样才能唤起学生进行深层次的数学思考？如何激发学生主动探究新知识的积极性？如何依据教材适时地渗透数学思想方法等等。只有我自己做到胸有成竹，方能给学生渗透相应的数学思想。 2上课：创设情境、建立模型、解释应用，渗透数学思想方法 数学是知识与思想方法的有机结合，没有不包含数学思想方法的数学知识，也没有游离于数学知识之外的数学思想方法。这就要求教师在课堂教学中，在揭示数学知识的形成过程中渗透数学思想方法，在教给学生数学知识的同时，也获得数学思想方法上的点化。教师积极地在课堂中渗透数学思想方法，体现了教师在教学中的大智慧，也为学生的学习开辟了一个广阔的新天地。不同的教学内容，不同的课型，可据其不同特点，恰当地渗透数学思想方法。以下面三种课型为例。 ①新：探索知识的发生与形成，渗透数学思想方法 如在《三角形分类》一课中，教师给学生提供了三角形学具先放手让学生在小组合作中尝试对三角形进行分类，学生从关注三角形的角与边的特征入手，借助学具看一看、比一比、量一量、分一分、想一想，寻找特征、抽象共性，在比较中将具有相同特征的三角形归为一类，在分类中抽象出图形的共同特征。这样的教学，学生经历了三角形分类的过程，渗透了分类、集合的思想，丰富了分类活动的经验，形成分类的基本策略，发展了归纳能力。 在数学教学中，解题是最基本的活动形式。任何一个问题，从提出直到解决，需要具体的数学知识，但更多的是依靠数学思想方法。因此，在数学问题的探究发现过程中，要精心挖掘数学的思想方法。 如我在教学三年级“植树问题”时，首先呈现：在一条100米长的路的一侧，如果两端都种，每2米种一棵，能种几棵？面对这一挑战性的问题，学生纷纷猜测，有的说种50棵，有的说种51棵。到底有几棵？我们能否从“种2、3棵……”出发，先来找一找其中的规律呢？随着问题的抛出，学生陷入了沉思。如果把你们的一只手5指叉开看作5棵树，每两棵树之间就有一个“间隔”（板书），一共有几个间隔？学生若有所思地回答是4个。如果种6棵、7棵……，棵数与间隔的个数有怎样的关系呢？于是我启发学生通过动手摆一摆、画一画、议一议，发现了在两端都种时棵数和间隔数之间的数量关系（棵数＝间隔数+1），顺利地解决了上述问题。然后又将问题改为“只种一端、两端不种时分别种几棵”，学生运用同样的方法兴趣盎然地找到了答案。以上问题解决过程给学生传达这样一种策略：当遇到复杂问题时，不妨退到简单问题，然后从简单问题的研究中找到规律，最终来解决复杂问题。通过这样的解题活动，渗透了探索归纳、数学建模的思想方法，使学生感受到思想方法在问题解决中的重要作用。 因此，教师对数学问题的设计应从数学思想方法的角度加以考虑，尽量安排一些有助于加深学生对数学思想方法体验的问题，并注意在解决问题之后引导学生进行交流，深化对解题方法的认识。 ②练习课：经历知识的巩固与应用，渗透数学思想方法 数学知识的巩固，技能的形成，智力的开发，能力的培养等需要适量的练习才能实现。练习课的练习不同于新的练习，新中的练习主要是为了巩固刚学过的新知，习题侧重于知识方面；而练习课中的练习则是为了在形成技能的基础上向能力转化，提高学生运用知识解决实际问题的能力，发展学生的思维能力。因此教师要有数学思想方法教学意识，在练习课的教学中不仅要有具体知识、技能训练的要求，而且要有明确的数学思想方法的教学要求。例如在《6的乘法口诀》练习课中，学生在完成想一想、算一算的练习中，先让学生计算，再通过交流自己的算法，以“7×6+6”为例，借助图片用课件演示来理解式子的意义，运用数形结合启发将式子转化为8×6来计算，渗透变换的思想，懂得两个式子形式虽不同，表示的意义以及结果是相同的。又如让学生算一算每个图中各有多少个格子，之后教师要启发学生怎样将图形转化成同第一个图形那样的图形，可以直接用口诀计算？学生通过实际操作，动手剪一剪、拼一拼，转化成长方形后分别用6×3、4×3来计算，从而感受到转化思想的魅力。 “咱们要教给孩子们什么？”“数学的学习主要是学习思想和方法以及解题的策略”，因此我们要在练习的过程中不断地总结和探索，从中寻找共性，呈现给孩子最有价值、最本质的东西——数学思想方法。 如我在教学四年级“看谁算得巧”一课时，学生计算“1100÷25”主要采用了以下几种方法：①竖式计算②1100÷25＝（1100×4）÷（25×4）③1100÷25＝1100÷5÷5 ④1100÷25＝11×（100÷25） ⑤1100÷25＝1100÷100×4 ⑥ 1100÷25＝1000÷25＋100÷25。在学生陈述了各自的运算依据后，引导学生比较上述方法的异同，结果发现方法①是通法，方法②——⑥是巧法。方法②——⑥虽各有千秋，方法③、④、⑥运用了数的分拆，方法②属等值变换，方法⑤类似于估算中的“补偿”策略，但殊途同归，都是抓住数据特点，运用学过的运算定律、性质转化为容易计算的问题。学生对各种方法的评价与反思，就是去深究方法背后的数学思想，从而获得对数学知识和方法的本质把握。 新课程所倡导的“算法多样化”的教学理念，就是让学生在经历算法多样化的学习过程中，通过对算法的归纳与优化，深究背后的数学思想，最终能灵活运用数学思想方法解决问题，让数学思想方法逐步深入人心，内化为学生的数学素养。 ③复习课：学会知识的整理与复习，强化数学思想方法 复习有别于新知识的教学。它是在学生基本掌握了一定的数学知识体系、具备了一定的解题经验，学生基本认识了某些数学思想方法的基础上的复习数学。数学思想方法总是隐含在数学知识中，它与具体的数学知识结合成一个有机整体，但它却无法像数学知识那样编为章节来教学，而是渗透于全部的小学数学知识中。不同章节的数学知识往往蕴含着不同的数学思想方法，有时在一章或一单元的教学中，又涉及很多的数学思想方法。因此教师在上复习课前，教师要能总体把握教材中隐含的思想方法，明确前后知识间的联系，做到“瞻前顾后”，并把数学思想方法的渗透落实到教学计划中。复习时,除了帮助学生掌握好知识与技能，形成良好的认知结构外，还必须加强数学思想方法的渗透，适时地对某种数学思想方法进行揭示、概括和强化,对它的名称、内容及其运用等予以点拨,使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在的规律,逐步体会数学思想方法的价值。 数学思想方法随着学生对数学知识的深入理解表现出一定的递进性。在课堂小结、单元复习和知识运用时，教师要引导学生自觉地检查自己的思维活动，反思自己是怎样发现和解决问题的，运用了哪些基本的思想方法等，及时对某种数学思想方法进行概括与提炼，使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质，提升课堂教学的价值。 如我在教学五年级“平面图形的面积复习”时，让学生写出各种平面图形（长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和菱形）的面积计算公式后提问：这些计算公式是如何推导出来的？每位同学选择1～2种图形，利用学具演示推导过程，然后在小组内交流。交流之后我又指出：你能将这些知识整理成知识网络吗？当学生形成知识网络后（如下图），再次引导学生将这些平面图形面积计算。如在复习多边形的面积推导时，教师可引导学生思考：平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式各是怎样推导的?有什么共同点？让学生提炼概括：学习平行四边形面积计算时，我们应用割补法把它转化成学过的长方形来推导；学习三角形和梯形的面积计算时，我们用两个完全相同的图形来拼合或把一个图形割补转化成学过的图形来推导……经过系列概括提炼，学生得出其中重要的思想方法——转化思想。学生一旦掌握了数学思想方法，不仅能使学生的知识结构更完善，还特别有助于今后的学习和运用。因为掌握了数学的思想方法，学生面对新的问题时将懂得怎样去思考，真正实现质的“飞跃”。 （3）作业：掌握知识、形成技能、发展智力，应用数学思想方法 精心设计作业也是渗透数学思想方法的一条途径。把作业设计好，设计一些蕴含数学思想方法的题目，采取有效的练习方式，既巩固了知识技能，又有机地渗透了数学思想方法，一举两得。为此教师布置作业要有讲究，在学生作业后，要不失时机地恰当地点评，让学生不仅巩固所学知识、习得解题技能，更重要的是能悟出其中的数学规律、数学思想方法。再如一位六年级老师布置了下面这道课后思考题。 在作业讲评中，教师不仅要给出答案，更重要的是启发学生思考：你是怎样算的？是怎么想的？其中运用了什么思想方法？ 结合上图引导学生概括出其中的思想与方法：类比思想、数学建模思想、极限的思想、数形结合的思想。 （4）课外：培养兴趣、增长见识、培养能力，提升数学思想方法 学校开展数学课外活动是课内教学的重要补充。根据学生的学习水平在年段里开设有关数学思想方法内容的讲座，如果平时教学中的数学思想方法的点滴渗透是“美味点心”的话，那么专题讲座对学生来说就是“丰盛大餐”了，学生比较系统地了解了常见的数学思想方法以及应用，拓展学生的眼界；数学思想方法的渗透和数学课外实践活动相结合可以使二者相得益彰，定期开展数学实践活动可以发展学生的动手实践能力和创新意识，发展学生应用数学思想方法解决问题的能力；定期开展数学智力竞赛，不但激发优生学习数学的积极性，也考察学生掌握数学思想方法的情况；学生编数学小报、出板报等活动，可以增长学生见识，了解较多相关知识。形式多样的数学课外活动，使数学思想方法潜移默化，引导学生在学与用中提升了对数学思想方法的认识。

6. 在小学数学教学中应该渗透哪些数学思想

《领悟数学思想方法，让课堂绽放魅力，让学生展现风采》 ——小学数学教学中渗透数学思想方法思考与实践 汇报：兆麟小学 农丰小学 兰陵小学 今天由我们三人汇报的题目是：《领悟数学思想方法，让课堂绽放魅力，让学生展现风采》 中国科学院院士、著名数学家张景中曾指出：“小学生学的数学很初等，很简单。但尽管简单，里面却蕴含了一些深刻的数学思想。” 数学知识和数学思想方法作为小学数学学习的两条线索，一明一暗，相互支撑，其中数学思想方法提示了数学的本质和发展规律，可以说是数学的精髓。下面我们就谈谈数学思想方法。 一、为什么要在教学中渗透数学思想方法 1、基本数学思想方法对学生的发展具有重要意义 一位教育学家曾指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，惟有深深铭记在头脑中的是数学煌精神和数学的思想、研究方法、着眼点等，这些随时随地发生作用使学生终身受益。” 数学的思想方法是数学的灵魂和精髓，掌握科学的数学思想方法对提升学生思维品质，对数学学科的后继学习，对其他学得的学习，乃至学生的终身发展有十分重要的意义。在小学数学教学中有意识地渗透一些基本数学思想方法，是增强学生数学观念，形成良好思维素质的关键。不仅能使学生领悟数学的真谛，懂得数学的价值学会数学地思考和解决问题，还可以把知识的学习与能力的培养、智力的发展有机地统一起来。 2．渗透基本数学思想方法是落实新课标精神的需求 数学课程标准把“四基”：基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验作为目标体系。基本思想是数学学习的目标之一，其重要性不言而喻。新教材是把一些重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来，并运用操作、实验等直观手段解决这些问题。从而加深学生对数学概念、公式、定理、定律的理解，提高学生数学能力和思维品质，这是数学教育实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径，也是小学数学新课程改革的真正内涵之在。 二、课教材渗透了哪些数学思想 小学数学中最上位的思想就是演绎和归纳，是数学教学的主线。还有一些常用的数学思想方法： 对应思想、——是指对两个集合元素之间联系的把握。许多数学方法来源于对应思想。比如学生在计算练习时常常有 10 ？ 20 ×2 ？ 30 ？ 40 ？ 50 ？ 形式出现，这其实就体现了对应的思想。如数轴上的一个点就对应一个数，任何一个数都能在数轴上找到相对应的点，一一对应，呈现完美。 符号化思想、——数学发展到今天，已成为一个符号的世界。英国著名数学家素曾说：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”符号化思想即指人们有意识地、普遍地运用符号化的语言去表述研究的对象。符号化思想在整个小学都有较多的渗透， 例如：阿拉伯数字：1、2、3、5、6、…… +、–、 、 等运算符号； >、<</SPAN>、=、等表示关系的符号； （ ）、[ ] 等括号； 表示数的字母:x、y、z等。 字母表示公式：长方形、正方形的面积S=ab S=a² 字母表示计量单位符号：m\cm\dm\mm\g\km等。 集合思想——把一组对象放在一起作为讨论的范围，这就是集合的思想。如：一年级教材在教孩子认数的时候，用一个圈把一些图画圈在里面，这就是孩子最初所接触到集合雏形， 也是第一次对小学生渗透这种集合思想。在以后后的教学中慢慢体现并集、差集、空集等思想。 极限思想——我国古代就对极限思想的思考，古代杰出的数学家刘徽的“割圆术”就是利用极奶子思想的典型。极限思想是研究变量在无限变化中的变化趋势的思想，运用这一思想，人们的思维可以从有限空间向无限空间，从静态向动态发展，从具体到抽象升华。 统计思想——小学数学中的统计思想主要体现在：简单的数据整理和求平均数，简单的统计表和统计图，学生在会整理、制表、作图的同时要能从数据、图表中发现数学问题和数学信息，得出相关的结论。、 假设思想——是先对题目标中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。 比较思想——是数学教学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在数学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快找到解题途径。 类比思想——是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边行面积公式和三角形面积公式。这种思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。 转化思想——是一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到。 分类思想——体现对数学对象的分类及其分类的标准如自然数的分类，三角形按边分按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。 数形结合思想——数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。在解应用题中常常借助线段图的帮助分析数量关系。 代换思想——他是方程解法的重要原理，解题时可将某个条件用别的条件进行代换。如学校买了4张桌子和9把椅子，共用504元，一张桌子和3把椅子的价钱正好相等，桌子和椅子的单价各是多少？ 可逆相思——它是逻辑思维中的基本思想，当顺向思维难于解答时，可以从条件或问题思维寻求解题的方法，有时可以代线段图逆推。如：一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了1/7，第二小时比第一小时多行了16千米，还有94千米，求甲乙之距。 化归思想方法——把有可能解决或示解决的问题，通过转化过程，归结为一类以便解决可较易解决的问题，以求得解决，这就是“化归”。而数学知识联系紧密，新知识往往是旧知识的引申和扩展。让学生面对新知会用化归思想方法去思考问题，对独立获得新知能力的提高无疑是有很大帮助。 变中抓不变的思想方法——在纷繁复杂的变化中如何把握数量关系，抓不变的量为突破口，往往问了就迎刃而解，如：科技书和文艺书共630本，其中科技书20%，后来又买来一些科技书，这时科技书占30%，又买来科技书多少本？ 数学模型的思想方法——是对于现实世界的某一特定对象，从它特定的生活原型出发，充分运用观察、实验、操作、比较、分析等过程，得到简化和假设，它是生活中实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。培养学生用数学的眼光认识和处理周围或数学问题乃数学的最高境界，也是学生高数学素养所追求的目标。 这些数学思想方法是数学的本质之所在、是数学的精髓，只有方法的掌握、思想的形成，才能使学生受益终生。下面我们就结合自己对数学思想方法的学习与实践，与大家一起交流。 三、让课堂彰显思想的魅力 首先说说备课：备课时要研读教材、明确目标、设计预案，充分挖掘数学思想方法 如果课前教师对教材内容的教学适合渗透哪些思想方法一无所知，那么课堂教学就不可能有的放矢。因此我们在备课时，不应只见直接写在教材上的数学基础知识与技能，而是要进一步钻研教材，创造性地使用教材，挖掘隐含在教材中的数学思想方法，并在教学目标中明确写出渗透哪些数学思想方法，并设计数学活动落实在教学预设的各个环节中，实现数学思想方法有机地融合在数学知识的形成过程中。其实，每册教材都有数学思想方法的渗透，我们每册选取有代表性的单元。 这相对所有教学内容只是冰山一角。为此，我在研读教材时，常常要多问自己几个为什么，将教材的编排思想内化为自己的教学思想，如：怎样让学生经历知识的产生与发展的过程？怎么样才能唤起学生进行深层次的数学思考？如何激发学生主动探究新知识的积极性？如何依据教材适时地渗透数学思想方法等等。只有我自己做到胸有成竹，方能给学生渗透相应的数学思想。 2上课：创设情境、建立模型、解释应用，渗透数学思想方法 数学是知识与思想方法的有机结合，没有不包含数学思想方法的数学知识，也没有游离于数学知识之外的数学思想方法。这就要求教师在课堂教学中，在揭示数学知识的形成过程中渗透数学思想方法，在教给学生数学知识的同时，也获得数学思想方法上的点化。教师积极地在课堂中渗透数学思想方法，体现了教师在教学中的大智慧，也为学生的学习开辟了一个广阔的新天地。不同的教学内容，不同的课型，可据其不同特点，恰当地渗透数学思想方法。以下面三种课型为例。 ①新授课：探索知识的发生与形成，渗透数学思想方法 如在《三角形分类》一课中，教师给学生提供了三角形学具先放手让学生在小组合作中尝试对三角形进行分类，学生从关注三角形的角与边的特征入手，借助学具看一看、比一比、量一量、分一分、想一想，寻找特征、抽象共性，在比较中将具有相同特征的三角形归为一类，在分类中抽象出图形的共同特征。这样的教学，学生经历了三角形分类的过程，渗透了分类、集合的思想，丰富了分类活动的经验，形成分类的基本策略，发展了归纳能力。 在数学教学中，解题是最基本的活动形式。任何一个问题，从提出直到解决，需要具体的数学知识，但更多的是依靠数学思想方法。因此，在数学问题的探究发现过程中，要精心挖掘数学的思想方法。 如我在教学三年级“植树问题”时，首先呈现：在一条100米长的路的一侧，如果两端都种，每2米种一棵，能种几棵？面对这一挑战性的问题，学生纷纷猜测，有的说种50棵，有的说种51棵。到底有几棵？我们能否从“种2、3棵……”出发，先来找一找其中的规律呢？随着问题的抛出，学生陷入了沉思。如果把你们的一只手5指叉开看作5棵树，每两棵树之间就有一个“间隔”（板书），一共有几个间隔？学生若有所思地回答是4个。如果种6棵、7棵……，棵数与间隔的个数有怎样的关系呢？于是我启发学生通过动手摆一摆、画一画、议一议，发现了在两端都种时棵数和间隔数之间的数量关系（棵数＝间隔数+1），顺利地解决了上述问题。然后又将问题改为“只种一端、两端不种时分别种几棵”，学生运用同样的方法兴趣盎然地找到了答案。以上问题解决过程给学生传达这样一种策略：当遇到复杂问题时，不妨退到简单问题，然后从简单问题的研究中找到规律，最终来解决复杂问题。通过这样的解题活动，渗透了探索归纳、数学建模的思想方法，使学生感受到思想方法在问题解决中的重要作用。 因此，教师对数学问题的设计应从数学思想方法的角度加以考虑，尽量安排一些有助于加深学生对数学思想方法体验的问题，并注意在解决问题之后引导学生进行交流，深化对解题方法的认识。 ②练习课：经历知识的巩固与应用，渗透数学思想方法 数学知识的巩固，技能的形成，智力的开发，能力的培养等需要适量的练习才能实现。练习课的练习不同于新授课的练习，新授课中的练习主要是为了巩固刚学过的新知，习题侧重于知识方面；而练习课中的练习则是为了在形成技能的基础上向能力转化，提高学生运用知识解决实际问题的能力，发展学生的思维能力。因此教师要有数学思想方法教学意识，在练习课的教学中不仅要有具体知识、技能训练的要求，而且要有明确的数学思想方法的教学要求。例如在《6的乘法口诀》练习课中，学生在完成想一想、算一算的练习中，先让学生计算，再通过交流自己的算法，以“7×6+6”为例，借助图片用课件演示来理解式子的意义，运用数形结合启发将式子转化为8×6来计算，渗透变换的思想，懂得两个式子形式虽不同，表示的意义以及结果是相同的。又如让学生算一算每个图中各有多少个格子，之后教师要启发学生怎样将图形转化成同第一个图形那样的图形，可以直接用口诀计算？学生通过实际操作，动手剪一剪、拼一拼，转化成长方形后分别用6×3、4×3来计算，从而感受到转化思想的魅力。 “咱们要教给孩子们什么？”“数学的学习主要是学习思想和方法以及解题的策略”，因此我们要在练习的过程中不断地总结和探索，从中寻找共性，呈现给孩子最有价值、最本质的东西——数学思想方法。 如我在教学四年级“看谁算得巧”一课时，学生计算“1100÷25”主要采用了以下几种方法：①竖式计算②1100÷25＝（1100×4）÷（25×4）③1100÷25＝1100÷5÷5 ④1100÷25＝11×（100÷25） ⑤1100÷25＝1100÷100×4 ⑥ 1100÷25＝1000÷25＋100÷25。在学生陈述了各自的运算依据后，引导学生比较上述方法的异同，结果发现方法①是通法，方法②——⑥是巧法。方法②——⑥虽各有千秋，方法③、④、⑥运用了数的分拆，方法②属等值变换，方法⑤类似于估算中的“补偿”策略，但殊途同归，都是抓住数据特点，运用学过的运算定律、性质转化为容易计算的问题。学生对各种方法的评价与反思，就是去深究方法背后的数学思想，从而获得对数学知识和方法的本质把握。 新课程所倡导的“算法多样化”的教学理念，就是让学生在经历算法多样化的学习过程中，通过对算法的归纳与优化，深究背后的数学思想，最终能灵活运用数学思想方法解决问题，让数学思想方法逐步深入人心，内化为学生的数学素养。 ③复习课：学会知识的整理与复习，强化数学思想方法 复习有别于新知识的教学。它是在学生基本掌握了一定的数学知识体系、具备了一定的解题经验，学生基本认识了某些数学思想方法的基础上的复习数学。数学思想方法总是隐含在数学知识中，它与具体的数学知识结合成一个有机整体，但它却无法像数学知识那样编为章节来教学，而是渗透于全部的小学数学知识中。不同章节的数学知识往往蕴含着不同的数学思想方法，有时在一章或一单元的教学中，又涉及很多的数学思想方法。因此教师在上复习课前，教师要能总体把握教材中隐含的思想方法，明确前后知识间的联系，做到“瞻前顾后”，并把数学思想方法的渗透落实到教学计划中。复习时,除了帮助学生掌握好知识与技能，形成良好的认知结构外，还必须加强数学思想方法的渗透，适时地对某种数学思想方法进行揭示、概括和强化,对它的名称、内容及其运用等予以点拨,使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在的规律,逐步体会数学思想方法的价值。 数学思想方法随着学生对数学知识的深入理解表现出一定的递进性。在课堂小结、单元复习和知识运用时，教师要引导学生自觉地检查自己的思维活动，反思自己是怎样发现和解决问题的，运用了哪些基本的思想方法等，及时对某种数学思想方法进行概括与提炼，使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质，提升课堂教学的价值。 如我在教学五年级“平面图形的面积复习”时，让学生写出各种平面图形（长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和菱形）的面积计算公式后提问：这些计算公式是如何推导出来的？每位同学选择1～2种图形，利用学具演示推导过程，然后在小组内交流。交流之后我又指出：你能将这些知识整理成知识网络吗？当学生形成知识网络后（如下图），再次引导学生将这些平面图形面积计算。如在复习多边形的面积推导时，教师可引导学生思考：平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式各是怎样推导的?有什么共同点？让学生提炼概括：学习平行四边形面积计算时，我们应用割补法把它转化成学过的长方形来推导；学习三角形和梯形的面积计算时，我们用两个完全相同的图形来拼合或把一个图形割补转化成学过的图形来推导……经过系列概括提炼，学生得出其中重要的思想方法——转化思想。学生一旦掌握了数学思想方法，不仅能使学生的知识结构更完善，还特别有助于今后的学习和运用。因为掌握了数学的思想方法，学生面对新的问题时将懂得怎样去思考，真正实现质的“飞跃”。 （3）作业：掌握知识、形成技能、发展智力，应用数学思想方法 精心设计作业也是渗透数学思想方法的一条途径。把作业设计好，设计一些蕴含数学思想方法的题目，采取有效的练习方式，既巩固了知识技能，又有机地渗透了数学思想方法，一举两得。为此教师布置作业要有讲究，在学生作业后，要不失时机地恰当地点评，让学生不仅巩固所学知识、习得解题技能，更重要的是能悟出其中的数学规律、数学思想方法。再如一位六年级老师布置了下面这道课后思考题。 在作业讲评中，教师不仅要给出答案，更重要的是启发学生思考：你是怎样算的？是怎么想的？其中运用了什么思想方法？ 结合上图引导学生概括出其中的思想与方法：类比思想、数学建模思想、极限的思想、数形结合的思想。 （4）课外：培养兴趣、增长见识、培养能力，提升数学思想方法 学校开展数学课外活动是课内教学的重要补充。根据学生的学习水平在年段里开设有关数学思想方法内容的讲座，如果平时教学中的数学思想方法的点滴渗透是“美味点心”的话，那么专题讲座对学生来说就是“丰盛大餐”了，学生比较系统地了解了常见的数学思想方法以及应用，拓展学生的眼界；数学思想方法的渗透和数学课外实践活动相结合可以使二者相得益彰，定期开展数学实践活动可以发展学生的动手实践能力和创新意识，发展学生应用数学思想方法解决问题的能力；定期开展数学智力竞赛，不但激发优生学习数学的积极性，也考察学生掌握数学思想方法的情况；学生编数学小报、出板报等活动，可以增长学生见识，了解较多相关知识。形式多样的数学课外活动，使数学思想方法潜移默化，引导学生在学与用中提升了对数学思想方法的认识。

7. 小学数学教学中加强数学思想方法的渗透应注意些什么

重视数学“双基”教学，是我国中小学数学教学的传统优势；但毋庸置疑，其本身也存在着诸多局限性。如何继承和发展“双基”教学，是当前数学教育研究的一个重要课题。《上海市中小学数学课程标准》对此明确指出，“应与时俱进地重新审视数学基础”，并提出了新的数学基础观，其中把数学思想方法作为数学基础知识的一项重要内容。中国科学院院士、著名数学家张景中曾指出：“小学生学的数学很初等，很简单。但尽管简单，里面却蕴含了一些深刻的数学思想。”与以往教材相比，上海市小学数学新教材更加重视数学思想方法的教学，把基本的数学思想方法作为选择和安排教学内容的重要线索。让学生通过基础知识和基本技能的学习，懂得有条理地思考和简明清晰地表达思考过程，运用数学的思想方法分析和解决问题，以更好地理解和掌握数学内容，形成良好的思维品质，为学生后续学习奠定扎实的基础。面对新课程背景下渗透数学思想方法教学的新要求，作为新教材的实施者，下面就小学数学课堂教学中渗透数学思想方法的策略，谈谈自己的一些认识与实践。
一、小学数学教学中渗透数学思想方法的着眼点
1、渗透数学思想方法应加强过程性
渗透数学思想方法，并不是将其从外部注入到数学知识的教学之中。因为数学思想方法是与数学知识的发生发展和解决问题的过程联系在一起的内部之物。教学中不直接点明所应用的数学思想方法，而应该引导学生在数学活动过程中潜移默化地体验蕴含其中的数学思想方法，切忌生搬硬套、和盘托出。例如学生写出几个商是2的除法算式，通过观察可以归纳出被除数、除数和商之间的关系，大胆猜想出商不变的规律：可能是被除数和除数同时乘以或除以同一个数（零除外），商不变；也可能是同时加上或减去同一个数，商不变。到底何种猜想为真？学生带着问题运用不完全归纳举例验证自己的猜想，最终得到了“商不变性质”。所以学生获得“商不变性质”的过程，又是归纳、猜想、验证的体验过程，绝不是从外部加上一个归纳猜想验证。学生一旦感悟到这种思想，就会联想到加减法和乘法是否也存在类似的规律，从而把探究过程延续到课外。
2、渗透数学思想方法应强调反复性
小学生对数学思想方法领会和掌握有一个“从具体到抽象，从感性到理性”的认知过程，在反复渗透和应用中才能增进理解。例如学生对极限思想的领会就需要一个较长的反复认识过程。如刚认数时，让学生看到自然数0、1、2、3……是“数不完”的，初步体验到自然数有“无限多个”；学生举例验证乘法分配律，在举不完的情况下用省略号或字母符号表示；教学梯形面积计算公式之后，让梯形的上底无限逼近于0，得到三角形的面积计算公式……让学生多次经历在有限的时空里去领略“无限”的含义，最终达到对极限思想的理解。同时在具体进行教学时，教师应放慢脚步，使学生在充分地列举、不断地体验中，感悟“无限多、无限逼近”思想。如教学“圆的认识”时，学生画了几条对称轴后，我问这样的对称轴画得完吗？有的说画不完，有的说这么小的圆应该画得完吧。于是我让学生继续画，看到学生画得有些不耐烦了，再让他们观察课件演示“不断画”的画面 ，从而确信了“圆有无数条对称轴”。数学思想方法较数学知识有更大的抽象性和概括性，只有在教学过程中反复、长期地渗透，才能收到较好的效果。
3、渗透数学思想方法应注重系统性
数学思想方法的渗透要由浅入深，对数学思想方法的挖掘、理解和应用的程度，教师应作长远的规划。一般地，每一种数学思想方法总是随着数学知识的逐步加深而表现出一定的递进性，因而渗透时要体现出孕育、形成和发展的层次性。例如在组织学习“两位数加两位数”时，要体现出“化归”思想的孕育期：学生计算“36＋17”一般有“（30＋10）＋（6+7）、36＋10＋7、36＋4＋13、36＋20－3”等方法，从中看出学生已经有将复杂问题转化为简单问题的意识。在进行两位数乘除法的教学中，要逐步引导学生对此有较清晰的认识；在教学平行四边形面积公式的推导中，应启发学生自觉运用“化归”思想去确立新知学习的方法，平行四边形的面积可以通过分割、平移，转化为长方形的面积。这样，将表面无序的各个渗透点整合成了一个整体。
4、渗透数学思想方法应适时显性化
数学思想方法有一个从模糊到清晰、从未成形到成形再到成熟的过程。在教学中，思想方法何时深藏不露，何时显山露水，应审时度势，随机应变。一般而言，在低中年级的新授课中，以探究知识、解决问题为明线，以数学思想方法为暗线。但在知识应用、课堂小结或阶段复习时，根据需要，应对数学思想方法进行归纳和概括。小学高年级学生学习了一些基本的思想方法，可以直呼其名。如在学习“除数是小数的除法”时，先让学生尝试计算“6.75÷5.4”，不少学生一时想不出办法，此时我提示:如果除数是整数能算吗？学生顿时恍然大悟，发现可以利用“商不变性质”，将“除数是小数的除法”转化成为“除数是整数的除法”来解决，于是我即刻板书“转化”，这样开门见山让学生知道运用“转化”思想可以将有待解决的问题归结到已经解决的问题。
实践表明，以上策略是一个密切联系的有机整体，它们之间相互影响，相互促进。在教学中应抓住契机，适时地挖掘和提炼，促使学生去体验、运用思想方法，建立良好的认知结构和完善的能力结构。
二、小学数学教学中渗透数学思想方法的途径
1、在教学预设中合理确定
渗透数学思想方法，教师在进行教学预设时应抓住数学知识与思想方法的有效结合点，在教学目标中体现每个数学知识所渗透的数学思想方法。
如在概念教学中，概念的引入可以渗透多例比较的方法，概念的形成可以渗透抽象概括的方法，概念的贯通可以渗透分类的方法。在解决问题的教学中，通过揭示条件与问题的联系，渗透数学解题中常用的化归、数学模型、数形结合等思想。
有时某一数学知识蕴含了多种思想方法，教师可根据需要和学生的认知特点有所侧重，合理确定。例如上海市新教材将“运算定律、性质”整合在一起学习，就是要突出“归纳类比、数学结构”的思想方法，发展学生的直觉思维，促进学生的学习迁移，实现对“运算定律、性质”的完整认识。当然在学习过程中还要用到“观察，猜想，验证”等方法。只有在教学预设中确定了要渗透的主要数学思想方法，教师才会去研究落实相应的教学策略，怎样渗透？渗透到什么程度？把渗透数学思想方法纳入到教学目标（过程与方法）中，把数学思想方法的要求融入到备课的每一环节，减少教学中的盲目性和随意性。
2、在知识形成中充分体验
数学思想方法蕴含在数学知识之中，尤其蕴含于数学知识的形成过程中。在学习每一数学知识时，尽可能提炼出蕴含其中的数学思想方法，即在数学知识产生形成过程中，让学生充分体验。
如我在教学“角”的知识时，先让学生在媒体上观察“巨大的激光器发送了两束激光线”，然后由学生确定一点引出两条射线画角，感知角的“静止性”定义以及角的大小与所画边的长短无关的观念。再让学生用“两条纸片和图钉”等工具进行“造角”活动，不经意之间学生发现角可以旋转，并且随着两条纸片叉开的大小角又可以随意地变化。这样“角”便定义为“一条射线绕着它的端点旋转而成的”，这就是角的“运动性”定义，体现着运动和变化的数学思想。学生在“画角、造角”活动中经历了“角”的产生、形成和发展，从中感悟的数学思想是充分与深刻的。
数学思想方法呈现隐蔽形式。学生在经历知识形成的过程中，通过观察、实验、抽象、概括等活动体验到知识负载的方法、蕴涵的思想，那么学生所掌握的知识就是鲜活的、可迁移的，学生的数学素质才能得到质的飞跃
3、在方法思考中加强深究
处理数学内容要有一定的方法，但数学方法又受数学思想的制约。离开了数学思想指导的数学方法是无源之水、无本之木。因此在数学方法的思考过程中，应深究数学的基本思想。
如我在教学四年级“看谁算得巧”一课时，学生计算“1100÷25”主要采用了以下几种方法：①竖式计算 ②1100÷25＝（1100×4）÷（25×4）③1100÷25＝1100÷5÷5 ④1100÷25＝11×（100÷25） ⑤1100÷25＝1100÷100×4⑥ 1100÷25＝1000÷25＋100÷25。在学生陈述了各自的运算依据后，引导学生比较上述方法的异同，结果发现方法①是通法，方法②——⑥是巧法。方法②——⑥虽各有千秋，方法③、④、⑥运用了数的分拆，方法②属等值变换，方法⑤类似于估算中的“补偿”策略，但殊途同归，都是抓住数据特点，运用学过的运算定律、性质转化为容易计算的问题。学生对各种方法的评价与反思，就是去深究方法背后的数学思想，从而获得对数学知识和方法的本质把握。
新课程所倡导的“算法多样化”的教学理念，就是让学生在经历算法多样化的学习过程中，通过对算法的归纳与优化，深究背后的数学思想，最终能灵活运用数学思想方法解决问题，让数学思想方法逐步深入人心，内化为学生的数学素养。
4、在问题解决中精心挖掘
在数学教学中，解题是最基本的活动形式。任何一个问题，从提出直到解决，需要具体的数学知识，但更多的是依靠数学思想方法。因此，在数学问题的探究发现过程中，要精心挖掘数学的思想方法。
如我在教学三年级“植树问题”时，首先呈现：在一条100米长的路的一侧，如果两端都种，每2米种一棵，能种几棵？面对这一挑战性的问题，学生纷纷猜测，有的说种50棵，有的说种51棵。到底有几棵？我们能否从“种2、3棵……”出发，先来找一找其中的规律呢？随着问题的抛出，学生陷入了沉思。如果把你们的一只手5指叉开看作5棵树，每两棵树之间就有一个“间隔”（板书），一共有几个间隔？学生若有所思地回答是4个。如果种6棵、7棵……，棵数与间隔的个数有怎样的关系呢？于是我启发学生通过动手摆一摆、画一画、议一议，发现了在两端都种时棵数和间隔数之间的数量关系（棵数＝间隔数+1），顺利地解决了上述问题。然后又将问题改为“只种一端、两端不种时分别种几棵”，学生运用同样的方法兴趣盎然地找到了答案。以上问题解决过程给学生传达这样一种策略：当遇到复杂问题时，不妨退到简单问题，然后从简单问题的研究中找到规律，最终来解决复杂问题。通过这样的解题活动，渗透了探索归纳、数学建模的思想方法，使学生感受到思想方法在问题解决中的重要作用。
因此，教师对数学问题的设计应从数学思想方法的角度加以考虑，尽量安排一些有助于加深学生对数学思想方法体验的问题，并注意在解决问题之后引导学生进行交流，深化对解题方法的认识。
5、在复习运用中及时提炼
数学思想方法随着学生对数学知识的深入理解表现出一定的递进性。在课堂小结、单元复习和知识运用时，教师要引导学生自觉地检查自己的思维活动，反思自己是怎样发现和解决问题的，运用了哪些基本的思想方法等，及时对某种数学思想方法进行概括与提炼，使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质，提升课堂教学的价值。
如我在教学五年级“平面图形的面积复习”时，让学生写出各种平面图形（长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和菱形）的面积计算公式后提问：这些计算公式是如何推导出来的？每位同学选择1～2种图形，利用学具演示推导过程，然后在小组内交流。交流之后我又指出：你能将这些知识整理成知识网络吗？当学生形成知识网络后，再次引导学生将这些平面图形面积计算公式统一为梯形的面积计算公式。通过以上活动，深化了对“化归”思想的理解，重组了学生已有的认知结构，拓展了数学思维，数学思想方法作为数学认知结构形成的核心起到了重要的组织作用。
同时在教学中，如果只满足于对数学思想的感悟和体验，还不足以肯定学生已领会了所用的数学思想方法。只有当学生将某一思想方法应用于新的情境，能够解决其他有关问题并有所创意时，才能肯定学生对这一数学方法有了较为深刻的认识。如学生对乘法有了初步认识，我就让他们把“6＋6＋6＋3”改写成简便的算式。大多数学生做出了“3×6＋3”与“4×6－3”的改写，但有个别学生写出了“3×7”的算式。其运算之巧妙，思路之独特，对于一个二年级小朋友而言，是难能可贵的。其次，当学生的创造力正处于某种良好的准备状态时，教师应不失时机地诱导他们去创造性解题。如在学生掌握长方体、正方体的体积计算之后，我呈现一块不规则的橡皮泥，要求学生尝试不同的方案计算体积。学生经过独立思考与合作交流，找到三种解决方案：①先捏成长方体或正方体，再计算 ②浸没在长方体水槽中，计算上升部分水的体积 ③称出橡皮泥的重量，再除以每立方厘米橡皮泥的重量（比重）。解决方案的获得来自于学生对“化归”思想的主动运用，然后予以进一步提炼，使数学思想方法在知识能力的形成过程中共同生成。
从以上实践不难看出，如果把教师的教学预设看作教学渗透的前期把握，那末数学知识的形成过程、数学方法的思索过程、问题解决的发现过程以及复习运用的归纳过程就是学生形成数学思想方法的源泉。学生在学习过程中要自己去体验、深究、挖掘、提炼，从中揣摩和感受数学思想方法，形成自身的数学思考方法，提高分析问题、解决问题的能力。
三、问题与思考
美国教育心理学家布鲁纳指出：掌握基本的数学思想方法，能使数学更易于理解和记忆，领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的“光明之路”。在小学数学教学中教师应站在数学思想方法的高度，以数学知识为载体，兼顾小学生的年龄特点，把握时机、及时渗透数学思想方法，引导学生主动运用数学思想方法的意识，促进学生学习数学知识和掌握思想方法地均衡发展，为他们后继学好数学打下扎实的基础。
但在教学实践研究中，我又面临着如下问题与思考：
1、新课程将数学思想方法纳入到“知识与技能”这一教学目标范畴，丰富了数学知识的内涵。但在小学阶段的“内容和要求”中，对渗透数学思想方法的教学要求略显笼统，没有明确细化为适合不同学段学生的具体渗透内容与要求，并形成系列，这给教师的教学把握带来一定困难。
2、对于小学生数学学习的评价、目前仍偏重于传统意义上的“双基”，体现与运用数学思想方法的数学问题偏少，不利于考察教师渗透数学思想方法的教学效果和学生的数学素养，对于学生应用数学思想方法促进数学思维活动的创新意识的评价有待于进一步的探索。
3、小学数学知识比较浅显，但蕴含着丰富的数学思想方法，如何处理好数学知识教学和思想方法渗透之间的关系，以至形成适合不同学段学生进行数学思想方法渗透的教学模式，应作深入的思考与实践。

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8. 张景中的访谈录

●那么多青少年喜爱我的作品，是一种幸福，一种享受！
●可以把学数学比作吃核桃。核桃仁要砸开了才能吃到。有些核桃外壳与核桃仁紧密相连，成都人形象地叫“夹米子核桃”，如果砸不得法，砸开了还很难吃到。数学教育要研究的，就是如何砸核桃吃核桃仁；而教育数学呢，则是要研究改良核桃的品种，让核桃更美味，更有营养，更容易砸开吃净！
关键词：科普、科研
儿时读科普书是兴趣而今写科普书是责任
羊城晚报：张院士，您是怎样开始科普写作的？
张景中：我主要从事科研。社会为我们提供了科研条件和环境，我们当然有责任向大家说明研究对象的情形和研究工作的意义。国家要求攀登项目结题时一定要编写一本科普书，我认为这个规定很好，说明科普工作不仅是科普作家的事，也是科学家的责任。
当然，我做科普工作，也有我个人的原因。我小时候喜欢读科普作品。法布尔的书让我看到一个新奇的世界，伊林的作品让我知道了许多平常的东西包含着不平常的故事和道理。科普读物启发我思考，激励我探索，使我产生了研究和创新的愿望。我常常想，如果有一天我能出书，也要写好看的科普书。就这样，我给自己加上了写科普书的责任。
张教授主编的好玩的数学系列有以下：
1，《数学聊斋》；2，《数学美拾趣》；3，《幻方及其他》；4，《数学演义》；5，《趣味随机问题》等十部。
好看科普书真不易写十几行字苦思两天半
羊城晚报：科研花费了您不少精力，您还挤得出时间？
张景中：写出好的科普作品确实不容易。如何选择话题，如何打比方，都要反复想，一再修改。有些东西，人家大科学家写过，你敢不敢班门弄斧？能不能给读者新启发？都是挑战。例如，我国古代数学家祖冲之指出，分数355/113是圆周率π的一个很好的近似值，称之为密率。密率好在哪？这是一个不错的科普话题。数学大师华罗庚指出，在分母不超过366的所有分数当中，没有比密率更接近π的分数了。要说明其中道理，他用到数论里的丢番图理论。后来另一位著名数学家在一本科普书里，用连分数的方法，更进一步地论证出，在分母不超过6000的所有分数当中，没有比密率更接近π的分数。
能不能用更浅显的方法，更充分地说明密率的好处呢？我反复思考，发现可以用初中生的数学知识，简捷地论证出更好的结论：在分母不超过16500的所有分数中，没有比密率更接近π的分数！并且指出，有一个分母为16604的分数，确实比密率更接近π。这点道理写在书里不过十几行，但想到它，却用了两天多时间。
羊城晚报：科普作家不仅需要有科学研究，还要有人文修养……您怎么看待科学精神和人文修养的关系？
张景中：一般来说，科学求真，人文求善，艺术求美。真善美应当是每个人的追求，三者是相辅相成的。其实科学家写科普文章的并不少，只是要想写好太花时间、太花精力，而社会评价又往往不及研究论文。例如评职称不承认科普文章。在这种导向下，能够做研究的人多数自然不愿意在科普上下功夫。
写好科普文章可能需要人文修养和一点艺术素质，但更重要的，是对科学成果本质的理解，是创新精神。
曾作论文与前人重复 华罗庚含蓄点拨后学
羊城晚报：听说您在北大读书时开始写论文，还和大数学家华罗庚打过交道？
张景中：在学习解析几何时，我看到一本教材上有条定理，说满足函数方程f（x+y）=f（x）+f（y）的函数f（x）如果连续，一定是“齐次线性函数”，即f（x）=a？x。我想，f（x）如果不连续，结果如何呢？应用课外看到的集合论中的“任意选择公理”，我解决了自己提出的这个问题。于是就写成一篇稿子寄给《数学进展》，很快顺利地发表了。
不久，编辑部来函，说有读者来信，问这篇文章解决的问题出于何处？前人有何工作？我回信说问题是自己提出来的，不知道前人的工作。编辑部又写信来说，做研究工作写论文应当了解自己所研究的问题的背景和前人的有关成果，这是对读者负责，也是做研究工作应当知道的。于是我就到资料室查文献，一年一年向上查，查了3个星期，查到30多年前，发现1920年有一篇德文的文献，已经解决了这个问题。我把查到的结果写信告诉了编辑部，编辑部在刊物上发了一条启事，说作者来函说明此结果与以前某某人工作有重复，向读者致歉，作为此事的了结。
后来，在数学所工作的邵品琮学长向我透露，编辑部信中所说的“读者”来信，实际上就是刊物主编华罗庚先生的意见。他因为出国，在刊物出版后才看到我的文章，发现与前人工作重复，就指示工作人员给我写信，促使我学习做研究工作的基本规矩。这个经历使我终身受益。华罗庚先生关心后学的热情，使我终身铭记！
关键词：奥数
一味讨伐奥数有偏颇
考试体制更难辞其咎
羊城晚报：近年来各地“奥数”成风，虽然不乏反对声，但风头仍劲。您怎么看？
张景中：有一阵子，媒体上出现不少讨伐数学竞赛的声音，我留意到了，有的教育专家甚至认为数学竞赛之害甚于黄赌毒。我的第一个想法是，中国现在值得反对的事情不少，论轻重缓急还远远轮不到数学竞赛吧。再仔细读这些反对者的意见：他们反对的实际上是某些为牟利而误人子弟的数学竞赛培训。
数学竞赛并不是所有学生都适合参与，它是面向青少年中很小一部分数学爱好者而组织的活动。这些数学爱好者估计不超过约2亿中小学生的5%。
数学竞赛培训活动过热产生的消极影响，和升学考试体制以及教育资源分配过分集中等多种因素有关，这笔账不能算在数学竞赛头上。对于青少年的课外兴趣活动，积极的对策不应是限制堵塞，而是开源分流。开展多种课外活动，比如钢琴比赛、动漫比赛等，让更多的青少年各得其所。如果都办得像数学竞赛这样成功并且被认可，数学竞赛培训活动过热的问题自然就化解或缓解了。
奥数学习不应被限制
该反思的是获奖加分
羊城晚报：不少家长在为孩子选择兴趣班时，往往选择高考、中考能加分的项目。
张景中：这还是说明各种竞赛办得成功的少，被认可的少。其实各学科都可以办奥赛，物理奥赛、化学奥赛、计算机奥赛等，这些目前发展都不够，认可度不高。我觉得接着应该认可信息技术竞赛，因为孩子适合学习信息技术和软件的很多，会远远超过5%，且社会对这类人才的需求也很大。
很多孩子扎堆报名奥赛培训班，我了解过，多数其实听不懂。不过好处也是有的，他学习之后再回到课堂，原来的东西就感觉容易了。虽然奥赛的题目他不会做，但至少知道了还有这样的题目，可以这样设问，眼界开阔了。
我觉得奥数不应被限制，需要反思的是奥数获奖后高考、中考加分的做法。如果不再加分了，为分数而学习的人就没有了，家长报名时也就不那么盲目了。而真正有兴趣有特长的人，不加分他也愿意学。
关键词：教育数学
数学难就难在壳太硬
要研究如何更易砸开
羊城晚报：有教育界人士认为中小学数学偏难，让孩子头疼。您认同吗？
张景中：我认为初中的偏容易，高中的偏难；课上学的较容易，考试起来很难。学生只靠课本上的东西，考不出好的成绩，必须补许多课外的东西。
数学本身是比较难的，比如2/3+3/2这个分数题，按照一般的思维，应该是分子加分子，分母加分母。但这是不对的，必须首先通分。我的体会是，数学本身很难，必须找到方法使它变得容易起来，要想办法改变数学知识的组织方式。
知识的组织方式和学习的难易有密切关系，如英语中的12个月的名字：January，February……背这12个单词要花点功夫；如果改良一下：一月就叫Monthone，二月就叫Monthtwo等，马上就能理解，就能记住，学起来就容易多了。生活语言如此，科学的语言———数学，何尝不是这样呢？
国外教育同样面临数学难的问题。从上世纪五六十年代起，美国动用了大量人力物力要搞好数学教育，但收效甚微。一位美国著名数学家说，我们有钱，有人，但没方向。我也这样看，他们不成功的关键就是没找到正确方向。他们只是研究数学怎么教，而没有考虑改造数学本身，让数学变得容易起来。我在1989年提出的“教育数学”概念，就是让数学变容易。
羊城晚报：怎么理解“教育数学”？
张景中：简单说就是改造数学使之更适合于教学和学习。可以把学数学比作吃核桃。核桃仁要砸开了才能吃到。有些核桃外壳与核桃仁紧密相连，成都人形象地叫“夹米子核桃”，如果砸不得法，砸开了还很难吃到。数学教育要研究的，就是如何砸核桃吃核桃仁。而教育数学呢，则是要研究改良核桃的品种，让核桃更美味，更有营养，更容易砸开吃净！
致力于使数学变容易
盼千万学子从中受惠
羊城晚报：您花费很多精力致力于数学教育、科普推广，近年来又致力于教学工具“超级画板”的研发。您把它看成自己的事业？
张景中：数学教育、科普推广，教学工具“超级画板”都是有理论研究的。例如用计算机回答初中生的数学问题，还没有人研究出这样的系统。关键是要用学生学过的知识，用学生理解的方式自动解题，这就难了。
通常认为中学里三角难学。本来初中要学“解任意三角形”，现在这个内容放在高中了，就是大家认为太难了。如果把这部分变容易，变得小学生都能理解多好！这就是科研课题。我多年来研究这个问题，现在已经解决了。初步教学实验表明，用新的方法来讲三角，学生更容易理解。
把数学变容易是需要研究的。初等数学如此，高等数学也如此。为了把微积分变得容易理解，牛顿、拉格朗日、费米、库朗都下过功夫，华罗庚亲自写高等数学教材，也力求写出新意。林群院士在这方面做了十几年，研究出来还到中学去讲。要从基础上改进一个发展了几百年的学科，当然很难。一旦有所进展，会使千千万万学子受益，意义不可估量。 学习可以有趣不会轻松
羊城晚报：你在努力创造“无痛数学”？
张景中：是的，可以减少学习的痛苦。不过我不相信学习是轻松的。真正学习都是要下功夫的，想轻松只能学到肤浅的东西。但若学习方法对头，效率会高一些，并且会很有趣。
写科普作品也有两种，一种是把科学外的趣味放进来，调剂学习者的心情；另一种是把科学内的趣味发掘出来，是知识本身的趣味让学习变得有趣。后者是我努力的方向。
羊城晚报：听说您特别喜欢当老师，无论是中学还是大学邀请，您都很乐意去讲？
张景中：这也是学习，也是研究。教学相长。陈省身那么大的数学家，还要给学生讲微积分呢。我在北大读书时，一年级的课程就是由江泽涵院士和程民德院士来讲。那时不要求教授出多少SCI（科学引文索引），争取多少项目经费，教授把主要力量放在教书育人上。可惜现在很难做到这样了。

9. 张景中的院士、计算机科学家

张景中（- ）河南省汝南县人。曾用名井中。1954年进入北京大学数学力学系学习，1957年肄业，以后曾在北京清河农场等地劳动。1979年任中国科学技术大学数学系讲师，1981年升为副教授。1958年起在中国科学院成都分院工作，任数理科学研究室主任、研究员。计算机科学家、数学家和数学教育学家。中共党员、中国科学院院士、计算机学科和数学学科博士生指导教师、中国科普作家协会理事长。
现任广州大学计算机教育软件研究所所长，中国科学院成都计算机应用研究所名誉所长。1991年开始享受政府特殊津贴。曾获“全国优秀教师”等称号及“全国五一劳动奖章”。
1995年10月当选中国科学院院士。
中共党员，中国科学院院士，现任广州大学计算机教育软件研究所所长，重庆邮电大学计算机科学与技术学院院长、计算机学科和数学学科博士生导师、中国科普作家协会理事长。中国科学院成都计算机应用研究所名誉所长，江西应用科技学院名誉校长、学术委员会主任。1991年开始享受政府特殊津贴。1995年当选为中国科学院院士。曾获“全国优秀教师”等称号及“全国五一劳动奖章”。2006年3月任江西城市学院名誉校长、学术委员会主任。2011年，被新成立的南方科技大学聘请讲授数学，旨在培养数学人才。 张院士主要从事机器证明、教育数学、距离几何及动力系统等领域的研究。其主要贡献是：（一）提出了面积解题方法，并用之于机器证明的研究，使几何定理可读证明的自动生成这个多年来进展甚小的难题得到突破。（二）创立计算机生成几何定理可读证明的原理和算法，这项成果被权威学者认为是使计算机能像处理算术一样处理几何工作的“里程碑”。（三）创立定理机器证明的数值并行方法的原理和算法。（四）对几何定理机器证明的吴方法进行了改进和发展，创立了含参结式法，升列组的WR分解算法，彻底解决了可约升列相对分解问题。（五）创立了教育数学的思想和方法。
自1980年以来，张院士发表学术论著共 150多篇(册)，还撰写了大量的科普文章和通俗读物，1990年被中国科普协会审定为建国以来贡献突出的科普作家之一，1994年被中国少年儿童出版社评为十大金作家之一。作品《教育数学丛书》1995年获“第九届中国图书奖”和“第一届全国数学教育图书一等奖”。作品《数学家的眼光》1996年获第三届全国优秀科普作品二等奖，2002年获广州市首届优秀科普作品一等奖。作品《院士数学讲座》2003年获第五届全国优秀科普作品奖科普图书类一等奖。作品《院士数学讲座专辑（3册）》一书2003年5月荣获第五届全国优秀科普作品奖科普图书类一等奖，2003年12月荣获中华人民共和国新闻出版署颁发的第六届国家图书奖。《院士数学讲座：帮你学数学》一书荣获中共中央宣传部颁发的精神文明建设“五个一工程”第九届“入选作品奖”。 在教学方面，1996年，张景中院士作为学科带头人，创建了广州大学（原广州师院）“课程与教学论”硕士点并任该点硕士生导师和学科带头人。1997年“学科教学论（数学）”被广州市教育局评为广州市重点学科。1998创办了软件所信息与计算科学本科试点班，近年来，培养了本科生、硕士生及博士生几十人。2002年在广州大学的支持下，创立了广州景中教育软件有限公司并任公司董事长。
多年来，张景中院士带领软件所全体教职员工，坚持“产、学、研”相结合的发展道路，为教学、科研及成果产业化的成功创出了一条新路。
张景中，1936年12月生于河南省汝南县人。中科院院士、教授、博士生导师，任广州大学计算机教育软件研究所所长，中国科学院成都计算机应用研究所名誉所长，现任华中师范大学国家数字化学习工程技术研究中心学术委员会主任，江西城市学院名誉校长、学术委员会主任。
1959年北京大学数学力学系毕业，1979年任教于中国科学技术大学，1986年任中国科学院研究员，中国科学院成都分院数理科学研究室主任，中国科学院成都计算机应用研究所副所长，1993年12月由国务院学位委员会批准为博士导师，1995年10月当选为中国科学院院士，兼任中国计算机学会理事、中国科协委员，1997年当选为中共十五大代表。
1978年至1985年间，在数学领域，特别是离散动力系统和距离几何中若干问题的算法方面，张教授取得了一系列具有国际水平的成果，并用之于解决国民经济建设中的实际技术问题。在微分动力系统研究领域，在计算几何领域，取得了一项令人瞩目的成就，受到了国际同行的赞许。1982年应用数学方法研制成功的“安全节能低噪声木工电磁振动切削工艺”获国家发明二等奖。1985年进行机器证明的研究，与合作者创立了计算机生成几何定理和读证明的原理与算法，使这一人工智能领域30多年来进展缓慢的重要问题有了突破性的进展，在国际上取得了公认的领先地位。1982年以来，发表学术论著150多篇（册）。专著《几何定理机器证明理论与算法新进展》于1995年获中科院自然科学奖一等奖，1997年获国家自然科学奖二等奖。
华中师范大学彭翕成老师所著的《师从张景中》在清华大学出版社出版。
该书真切细致地记述了著名数学家张景中院士对青年学生的关心照顾和指导培养，而作者自己虚心向学，终略有小成。该书角度独特，记录真实可信。书里张师的教导对于年轻人治学具有广泛的指导意义，而其中的师生故事也让人潸然泪下。该书不局限于对张景中先生治学研究、培养人才等有兴趣的数学爱好者，书中所传递的坚韧不拔的精神振奋人心，给人以鼓舞，适合所有有志奋斗者阅读。 在研究之余，张教授热心科普教育。1990年被评为建国以来贡献突出的科普作家，1994年被中国儿童出版社评为十大金作家之一。1995年，“张景中教育数学”丛书（《教育数学探索》、《平面几何新路》、《平面几何新路解题研究》、《平面几何新路基础研究》）被评为“第九届中国图书奖”一等奖和“全国教育图书奖”一等奖。张景中先生是中国科学院院士、著名的数学家，又是80年代崛起的著名的科普作家。在世纪之交，在中国科普作家协会第四次全国代表大会上，他被选为理事长。在中国少年儿童出版社，他出版了第一本数学科普书，从此一发而不可收，又写了不少科普精品。张景中先生一贯主张把数学变容易一些，主张学好数学的关键是学会思考。他很欣赏一位科学大师的话：你白天工作，晚上工作，那什么时候思考呢?我们很多老师总是引导学生步入他们事先设定的圈子里，而张先生则是挖掘学生的想像空间，让他们尝到深入探索的乐趣。张景中先生一贯主张科学的本质是创新。他在科普创作中展现的思维形式不是再造性思维而是创造性思维。
2002年他的《帮你学数学》《数学家的眼光》《新概念几何》在版，是张景中教授献给世界数学家大会的礼物，也是他送给青少年最好的礼物。张景中教授的3本书是在80年代初到90年代中完成的。可是这些作品至今仍有很强的生命力，仍在数学科普创作中处于领先地位，有的书完全可以走向世界。在这些书中，他全方位地解决了三个层面的现代数学的普及问题。
第一个层面
对此，他重在讲述现代数学思想。面对中学生，他提出了只讲数学思想，不讲数学理论的白描式地介绍现代数学的构想。书中的例示多数是初中学生能看懂的智力测验或数学游戏。
第二个层面
对此，他重在讲述数学问题中的科学哲学。他告诉人们，科学与普及的结合点是科学哲学。比如，《数学家的眼光》用了5年时间，仅写了6.5万字的小册子处处闪耀着科学思维的闪光点。他用一个个鲜活的实例告诉读者：数学家的眼光是抽象的，我们觉得不同的问题，他们看来却是相同的。数学家的眼光是精确的、严密的，我们觉得一样或差不多的东西，他们看来却有天地之别。数学家的眼光是透彻的、犀利的，我们觉得很满足的数学结论，他们却穷追不舍。数学家的眼光是辩证的，我们觉得一是一，二是二，他们却常常盯住变中不变的东西，不变中变的东西。有了这种深刻的认识，使科学家与少年儿童对话成为可能，同时提供了科学家为大众写科普的宝贵经验。
第三个层面
为此，他着眼于拉近科学家与中学生学习生活的距离，把从科研第一线挖掘出的核心思想和方法变为一种可操作、实用的新式学习武器。《新概念几何》就是这方面的力作。他创立的以度量为基础，面积为中心的平面几何新体系必将对我国教育改革产生重大影响。由于面积法的实质是变量法，把面积作为变量，既为几何机械证明实现了突破，又为将来学习平面几何像解代数方程一样便捷提供了可能。
张景中教授的作品语言生动，由浅入深，富于启发性。但作者觉得最引人入胜之处在于他的创造性，他的独到见解。
在《数学家的眼光》一书中不少地方的推导方法、叙述方式是他思考所得，有些与其的科研题目有关。有自己的东西便不会与别人雷同，与科研同步就会使高水平读者也会从中看到新鲜的东西，这是他的一贯主张。他不仅自己身体力行，还十分欣赏和介绍别人的创新成果。比如，在讲到攻克世界难题——佩多问题时，他突出介绍了一个落榜青年的贡献。
《帮你学数学》中用讲故事的办法把一些数学道理讲给小孩子听，例如猴子吃栗子，朝四暮三就不如朝三暮四，由此引出 3+4=4+3等等，生动活泼。张景中科普读物的一大特点是语言生动，由浅入深，富于启发性。但我觉得最引人入胜之处在于他的创造性，他的独到见解。 张景中院士出版的著作，有不少是面对初级学习者的普及性书籍，1997年他获得中国10大科普金奖作者称号，1999年当选为中国科普作家协会主席，他的一些著作，被台湾“九章出版社”作为系列重新刊印。
《帮你学数学》、《新概念几何》、《数学家的眼光》、《21世纪少年网络丛书精选本——数学四方阵》、《帮你学集合平面几何解题新思路》、《迭代方程与嵌入流》、《数学传奇》、《数学游戏的故事》、《帮你学几何》、《计算机怎样解几何题——谈谈自动推理》、《漫话数学》、《从√2谈起》、《数学杂谈》、《数学与哲学》、《从数学教育到教育数学》等。张院士近些年也进行
教育信息技术
张景中教育信息技术方面的研究，主要来源于机器自动推理的应用推广，由此产生了超级画板的推广，进而对教息技术具有实际性的推动作用，是教育技术领域真正的搞学术研究的大师！