Ⅰ 华应龙教案找次品教案实录
一、谈话引入
1．实话实说——请吃糖
【为了活跃气氛，拉近与学生的感情，更主要地为了引入“次品”的概念，课前与学生这样谈话】
师：同学们仔细看看老师，能用几句简短的话描述一下老师的特点吗？
生1：老师中等身材，头发很平。
生2：老师脸很方，眼睛很小。
……
（老师用鼓励的目光激励学生发言，随便学生怎么说，说的越奇怪越好。不管学生说什么，老师都大肆表扬同时表示感谢，以激起其他学生想说话的欲望。待三四个学生发言后，老师话锋一转，提出第二个问题。）
师：同学们非常善于观察，这么短的时间就发现了老师这么多的特点。既然如此聪明，请允许我请教第二个问题，你们必须实话实说，说实话的本老师奖励吃糖。
（拿出一瓶真的木糖醇，此时学生都好奇地等着老师会出什么问题或者看着老师手里的木糖醇，老师故意矜持一会才说出问题。）
老师的问题是：你觉得我和你们原来的数学老师相比，谁更像一位优秀的数学老师？
（听课老师有的发出了笑声，学生们也都面面相觑，微笑着不知如何作答）
生1：老师您更优秀。
师：（笑着说）瞎说！你还没听过老师上课呢。
生2：（笑着说）两个都像。
师：（笑着说）不许都选，只能选一个。
生2：（有点无奈的）那就选我们原来的老师吧。
师：说得对！咱们今天表现的如此优秀，一定是原来老师的功劳。请吃糖！
（从木糖醇瓶中倒出一粒放入该学生手中，继续面向其他同学）谁还想吃糖，请实话数说。
生3：是我们原来的老师，因为他辛辛苦苦教了我们好几年。
师：（紧紧握着该学生的手）真是一个懂得感恩的孩子，说得对，请吃糖！
（从木糖醇瓶中再倒出一粒放入该学生手中）
【对学生而言，这是一个两难的问题。有说原老师的，有说现在的老师的，也会有两边讨好的。老师对两个都选的同学一定要逼其选其一，同时给选自己原来老师的两个学生每人一粒糖吃。】
师：（笑着说）同学们不用说了，老师已经知道结果了，应该是你们原来的老师更优秀。（话锋一转）当某个人或某项事物不足够好时，我们可以称之为——（拖长音，表示疑问）
生：次品
师：对，次品。（随机板书）
师：（很认真地说）在今天在座的这么多优秀教师中找出我这样的次品老师是很容易的，可有些时候，找次品就不那么容易了。刚才谁吃我糖了，请给我站起来！（假装生气）
【吃糖的学生刚才还美滋滋的呢，现在被迫站起来。】
师：（继续假装生气）谁让你们吃糖的？（学生苦笑）瞧瞧你们惹麻烦了吧。老师刚刚买了3瓶一样的木糖醇，其中一瓶就被你们“偷吃了”两粒，（老师出示3瓶一样的木糖醇），吃掉两粒的那一瓶重量自然就变得轻一些。重量变轻了我们就可以称之为——（拖长音，表示疑问。）
生：次品（很快接上）
师：对。怎样很快地知道哪一瓶是次品呢？（示意吃糖的学生坐下）如果用天平称来称，至少几次才能保证找到呢？请独立思考。
（学生独立思考约30秒钟）
2．初步建立基本思维模型。
师：谁来说说至少要几次才能保证找到？
（此时学生基本有两种意见：部分或大部分人认为需要2次，部分思维好的同学会认为1次足矣。老师请认为1次的同学上台展示）
师：你见过天平吗？
生：见过。
师：天平长什么样子？（学生茫然。老师走过去示意学生把双手向左右两边伸平，笑曰：这就是一架美丽的天平。该生不自然地笑了，全体同学则会心地一笑。）
师：别人都认为要2次，你说1次就行了。别瞎说！怎么称的？称给我们瞧瞧！
（该生演示：任意拿两瓶放在天平左右两边，两手伸平）
生：如果是这种情况，剩下的那一瓶就是次品。
师：如果天平左右两边不平呢？
（该生再演示：天平左高右低的情况。）
生：如果是这种情况，左边高的那一瓶就是次品。
师：还有一种情况呢？
（该生马上反应过来，立刻演示：天平左低右高的情况。）
生：如果是这种情况，右边高的那一瓶就是次品。
（面向全体同学）
师：大家看明白了吗？刚才这位同学任意从3瓶中拿出2瓶放在天平的左右两边，如果平衡了，次品在哪？
众生：剩下的那一瓶。
师：如果天平有一边翘起呢？
众生：翘起的那一瓶。
师：不管是哪一种情况，几次就可以找到次品了呀？
众生：1次。
师：1次果然就可以找到次品是哪一瓶了，表扬给我们带来这样思考的那位同学。
（掌声想起）
师：谁还能像刚才那位同学一样给我们演示一下怎么1次就能找到次品了呢？
【3瓶中有1瓶次品，用天平称来称，至少1次就可以找到。是找次品问题最基本的思维模型，一定要让每个学生都清晰。所以，一位同学演示后，再请一位同学上台演示，以加深每个同学的印象。】
（生再次演示，老师适时强调）
师：开始认为需要2次的同学，现在清楚了吗？3瓶当中有1瓶次品，用天平称称，至少几次就可以保证找到？
众生响亮回答：1次。
3．拓展延伸，引导猜想。
师：3瓶当中有1瓶次品，用天平称称，至少1次就可以保证找到。如果不是3瓶，假如今天来听课的老师每人1瓶，大概有两千多瓶吧。我们暂且估计有2187瓶。（随机板书）如果2187瓶中也有1瓶次品（轻），用天平称称，至少几次才能保证找到呢？请你猜一猜！
（停顿约20秒，找两三个同学回答）
生1：2186次。
生2：2185次。
生3：一千多次。
生4：729次。
师：2187瓶中有1瓶次品，用天平称称，怎么也要好两千多次、一千多次或好几百次，都是这么认为吗？
众生点头：是。
师：如果你们都是这么认为，今天这节课就非常有研究的必要。我们今天这节课就来研究，如果真有2187瓶木糖醇，其中1瓶是次品（轻），用天平称称，究竟至少几次才能保证找到，好吗？
众生：好！
二、组织探究
1.体会化繁为简
师：要解决这个问题，大家觉得2187这个数据是不是有点大呀？
众生：是。
师：解决问题时，面对一些比较庞大的数据，我们往往可以采取一种策略，谁知道是什么？
生1：简化
生2：化简
师：对！解决问题时，面对一些比较庞大的数据，我们往往可以采取一种策略——化繁为简（随机板书），也就是把数据转化地小一些，就是两位同学说的化简。简到什么程度呢？3瓶刚才我们研究过了，现在我们研究几瓶好呢？
生1：4瓶。
生2：5瓶。
师：5瓶和我们书上的例1刚好一模一样，我们就先来研究如果5瓶当中有1瓶次品，用天平称称，至少几次保证找到？好吗？
众生：好！
2.第一次探究
师：请先独立思考。可以拿出5枚硬币动手试一试。
（约1分钟后）
师：同桌同学可以小声交流交流。
（约1分钟后）
师：谁来说一说至少几次保证能找到？
生1：1次。
生2：2次。
生3：3次。
… …
师：你是怎么称的？请描述称的过程？
生1：我在天平左右两边各放1瓶，如果有翘起，就找到了。
师：这种情况是有可能的，但能保证吗？如果天平平衡了怎么办？你先请坐！
（生1意识到自己考虑问题的不足，带着思考坐下！）
生2：我也在天平左右两边各放1瓶，如果平衡了，说明这两瓶中没有次品；就从剩下的3瓶中再任意选两瓶放在天平的左右两边，如果平衡了，剩下的那瓶就是次品，如果有一边翘起，翘起的那端就是次品。一共称了2次。
师：他的方法可行吗？
众生:可行。
师：刚才这位同学的称法，开始时，把5瓶分成了怎样的3份呀？
生：（1、1、3）
师：真聪明！1和1要称一次，剩下的3瓶中再找1瓶次品，就像我们课刚刚开始的问题一样，当然也要1次，一共就是2次。这种称法如果用数学符号简单地记录下来，可以写成这样，用“ ”表示称一次（板书）：
5→（1、1、3）→（1、1、1）〓 2次
可以吗？
众生:可以。
师：有没有也是2次，但称法不一样的？
生：我在天平左右两边各放2瓶，如果平衡了，说明这两瓶中没有次品，剩下的那瓶就是次品，但这不能保证。如果有一边翘起，说明次品在翘起的那一端里，然后再把翘起那一端的2个放在天平左右两边，再称一次，一定可以找到。一共称了2次。
师：真了不起！同样也是称2次，称法还真的不同。这位同学的称法如果也用数学符号简单地记录下来，可以写成这样：（板书）
5→（2、2、1）→（1、1、）〓 2次
行吗？
众生:行！
师：比较两位同学的称法，过程不同，但结果一致！除了结果相同外，还有没有发现别的共同点？
（学生略作思考，老师随机点出）
师：老师发现刚才的两种称法，不管开始时如何分组，在每一次称的时候，天平左右两边始终保持瓶数一样，这是为什么呀？为什么不天平一边放2瓶，一边放3瓶呢？
生：瓶数不一样，比较不出来。
师：由于正品和次品的差距往往很小，所以当瓶数不等时，用天平称量时是无法判断的。找次品自然要追求次数越少越好，所以这种“浪费”的称法我们当然不提倡。
师：（笑着对说要3次的同学说话）3次当然能称的出来，但并不是至少的方案，明白了吗？
生点头示意明白。
3.第二次探究
师：5瓶我们研究过了，离2187瓶还差的远呢。再靠近点，接下来我们研究多少瓶呢？
生1：8瓶。
生2：9瓶。
生3：10瓶。
师：同学们说的都可以，但我们上课时间有限，在一位数中9最大，我们来研究9瓶好不好？（其实例2就是9瓶）
众生：好！
师：谁再来明确一下问题？
生：9瓶木糖醇中有1瓶是次品（轻），用天平称称，至少几次保证找到？
师：问题已经很明确，请先独立思考。可以拿9枚硬币分组试一试，也可以像老师一样用数学符号画一画。
（师静静地巡视约1分钟）
师：请前后桌4位同学一组，讨论交流你们认为至少几次才能找到次品？
（师参与讨论约2分钟）
师：老师刚才在下面听到有的同学说要4次，有的说要3次，还有的说2次就行。到底至少要几次呢？看来需要交流交流。先从多的来，谁刚才说要4次的？请说说你是怎样称的？
生：我天平左右两边各放1个，每次称2个，这样4次就一定可以找到。
（师随着学生的表述相机板书）
9→（1、1、1、1、1、1、1、1、1）〓 4次
师：他的称法可行吗？
生：可行但不是次数最少的。
师：好！让我们一起来听听次数再少一些的称法。3次该怎样称？
生：我把9分成4、4、1三组，先称两个4，如果天平平衡了，剩下的1瓶就是次品，但这是很幸运的。如果不平，把翘起的那4瓶再2个对2个称，如果平……（老师礼貌地打断学生的话）
师：这时会出现平衡吗？（提醒：次品就在这4瓶里，天平左右两边各放2瓶）
生：（明白后立刻改口）一定会有一边翘起，然后再把翘起的2瓶天平两边各放1个，再称1次，共3次就可以找到次品是哪一瓶。
（师随着学生的表述相机板书）
9→（4、4、1）→（2、2）→（1、1）〓 3次
师：他的称法可行吗？
生：可行。我也是3次，但称法与他不一样。
师：真的吗？同样是3次，称法还可以不一样？赶快说给我们听听。
生：我把9分成2、2、2、2、1五组，先称两个2，如果有一边翘起，再称1次就可以了，但这是幸运的；如果天平平衡了，再称剩下的两个2，如果天平还是平衡了，剩下的1瓶就是次品，但这也是很幸运的。如果不平衡，再把翘起的2个分开，天平左右两边各1个，再称1次就一定找到次品了。这样也是3次保证找到了次品。
（师随着学生的表述相机板书）
9→（2、2、2、2、1）→（2、2、2、2、1 ）→（1、1）〓 3次
师：还真不错！同样是3次保证找到，称法还真不一样。
师：刚才好像还有人说2次就够了，不太可能吧？是谁说的？
（说2次的学生起立）
师：别人都是4次、3次的，你说2次就行，还坚持吗？
（学生坚持）
师：好！我们大家刚才辛苦了老半天才弄明白至少要3次才能保证找到次品，他竟然坚持说2次就够了，难道我们……请认真听听他是怎么称的！如果他说错了，我们要罚他唱首歌。
（故意这样说，以引起学生都来关注他的2次是怎样称的）
生：我把9分成三组，每组3个。先称两个3，如果天平有一边翘起，次品就在翘起的那3瓶里；如果天平平衡了，次品就在剩下的3瓶里。不管怎样，接下来就只要研究3瓶就可以了。前面刚学过，从3瓶里找1瓶次品，称1次就够了。这样2次就保证找到了次品。
（师随着学生的表述相机板书）
9→（3、3、3）→（1、1、1 ）〓 2次
师：听得懂他的称法吗？
（有部分学生不敢大声回答，请刚才的学生再重复一遍）
师：现在都听懂了吧！这个同学的称法完全可行，称2次就解决了问题。为什么我们别的称法次数就比他多呢？我们的问题出在哪儿？这个同学的高明又在哪呢？请仔细观察黑板上的四种称法，看谁能最快发现其中的奥秘？
9→（1、1、1、1、1、1、1、1、1）〓 4次
9→（4、4、1）→（2、2）→（1、1）〓 3次
9→（2、2、2、2、1）→（2、2、2、2、1 ）→（1、1）〓 3次
9→（3、3、3）→（1、1、1 ）〓 2次
（学生观察思考约1分钟，老师给予适当暗示）
生：2次的称法一开始把9瓶分成了3组，每组3个。这样称1次，就可以断定次品在哪一组里。
师：说得好！把9瓶分成了3组，每组3个，也就是把物品总数均分3份，这样称1次，就可以淘汰2份6瓶，从而让剩下的瓶数变得最少，自然总的次数就会少下来。而4次的称法，称1次后，最多只能淘汰2瓶；3次的两种称法，称第一次后，也最多只能淘汰4瓶，所以最终的次数就会相对多起来。
4．第三次探究
师：刚才9瓶中找1瓶次品（轻），那位同学一开始把9瓶平均分成3份来称，最后的次数最少。是不是所有的可以均分成3份的物品总数，一开始都平均分成3份来称，最后的次数也是最少呢？刚才那位同学是否偶然呢？我们还需要怎么办？
生：继续验证。
师：（握着同学的手）说得好！仅仅一个例子不足以推广，我们还需要进一步验证。验证多少呢？比9大一些，可以均分3份的？
（有学生立刻回答）
生：12.
师:好的！我们就来研究12。如果12瓶中有1瓶是次品（轻），用天平称称，至少几次保证找到？请先用刚才那位同学的思路，均分3份来操作。看看至少要几次？
生说师板书：
12→（4、4、4）→（2、2）→（1、1）〓 3次
师：按照刚才那位同学的思维模式推理，至少要3次才能保证找到。3次是否真的就是最少的次数吗？有没有比3次还少的呢？如果有，说明刚才的那位同学纯属偶然。请2人一小组，拼凑12枚硬币操作操作，或者用笔画一画，看看有没有更少的可能？
（学生思考讨论，老师巡视参与，约1～2分钟后交流）
生1：我是均分2份做的，也是3次。
（师随着学生的表述相机板书）
12→（6、6）→（3、3）→（1、1）〓 3次
师：有没有比刚才的3次少？
生1：没有。
师：谁找到比3次还少的称法了？
生2：我没找到，但我一开始均分4分来做的，最后也是3次。
（师随着学生的表述相机板书）
12→（3、3、3、3）→（3、3、3、3）→（1、1、1）〓 3次
师：两位同学真不错，再次给我们展示了最终结果一样时，中间过程的丰富多彩。但我们都没有找到比3次还少的方案。如果再研究下去，我们会发现次数只会越来越多。比如：
12→（2、2、2、2、2、2）→（2、2、2、2、2、2）→（2、2、2、2、2、2、）→（1、1）〓 4次。其实刚才那位同学的思维模式并非偶然，真的具有一定的规律性。时间关系，我们不再继续验证。
师：刚才那位同学的思维模式是什么？
众生：物品总数如果能均分3份，就把物品尽量平均分成3份来操作。
师：为什么呢？
生：把物品总数平均分成3份来操作，这样称1次就可以断定次品在哪一份里，每一次都最大限度地淘汰，最后的次数自然就会少下来。
三、强化训练
师：通过刚才的探究，我们已经找到了内在的思维规律，现在老师想考验一下咱们班同学的数学感觉如何，看看谁的反应快？如果不是12瓶，而是27瓶中有1瓶次品（轻），用天平称称，至少几次保证找到？
（提醒运用刚才发现的思维模式，马上有学生举手）
生：3次。
师：（故作惊讶！）别乱说，不可能吧？27瓶呀蛮多的，3次怎么可以保证找到？
生：我把27瓶平均分成3份，每份9瓶；称1次就可以推断次品在哪个9瓶里。然后9瓶就像刚才那位同学那样再均分3份来称，2次就够了。我这里只增加了1次，所以3次就找到了。
（师随着学生的表述相机板书）
27→（9、9、9）→（3、3、3）→（1、1、1）〓 3次
师：真聪明！把27瓶平均分成3份，每份的9瓶，也可以假设看成一个超大瓶。这样，27瓶就转化为了3个超大瓶，称1次，自然就可以断定次品在哪个超大瓶里，也就是哪个9里。然后把9再平均分成3份，以此类推，每称1次，都淘汰两份，剩下一份。最后的次数一定就是至少的。
师：如果不是27瓶，而是81瓶呢？
（有学生脱口说要9次，可能是想到了九九八十一）
师：（不动声色）嗯！有可能。是至少吗？
（马上有学生反应过来）
生：4次就够了。
师：（微笑着）请问怎么称？
生：把81瓶平均分成3份，每份27瓶，称1次就可以知道次品在哪个超大大瓶27里。27瓶刚才是3次，所以81瓶中有1瓶次品，用天平称称，4次就够了。
师：真了不起！他也学会转化了。如果不是81瓶，而是243瓶呢？
（立刻有学生举手）
生：5次。跟上面一样，把243均分3份，只比81瓶多称了1次。所以是5次。
师：反应真快！有没有哪位同学猜到老师接下来会出哪个数？
生：729。
师：（握着学生举的手表扬他）真是英雄所见略同！老师真的要出729，如果真有729瓶，其中1瓶是次品（轻），用天平称称，至少几次保证找到？
众生：6次。
师：接下来就到哪个数了？
众生：2187。
师：现在大声地告诉老师，如果真有2187瓶，其中1瓶是次品，用天平称称，至少几次保证找到？
众生：7次。
师：课刚开始时猜需要2186次的是那位同学，请问此时此刻有什么想说的吗？
（该生起立，笑着无言以对）
师：是什么让这位同学无言以对？从两千多瓶中找一瓶次品，起初我们本能地感觉怎么也要两千多、一千多或好几百次，其实7次足矣。前后相差之大，远远超出了我们的想像。这就是数学思考的魅力。也正是这种无穷的魅力，才让我们这位同学感觉无言以对。其实不止是这位同学，刚开始时，我们都没有想到啊！
（轻轻摸摸该生的头，示意他坐下）
四、全课总结
1.全课小结
师：（指着板书上的“次品”俩字）请问我们今天上的什么课？
全体学生：（自然地答道）次品课。
师：（故作生气状）瞎说！你才上次品课呢。
（顺手在“次品”前写上一个大大的“找”字，全体听课老师则会心地哈哈大笑）
2.提出问题
今天我们找次品的物品总数不管是9、12，还是27、81、243……，都是3的倍数，也就是可以直接均分三份来操作，如果物品总数不是3的倍数，又该怎样操作呢？这个问题，需要我们下节课来继续研究。
Ⅱ 怎样找次品
这次，我看到了草原。那里的天比别处的天更可爱，空气是那么清鲜，天空是那么明朗，使我总想高歌一曲，表示我的愉快。在天底下，一碧千里，而并不茫茫。四面都有小丘，平地是绿的，小丘也是绿的。羊群一会儿上了小丘，一会儿又下来，走在哪里都象给无边的绿毯绣上了白色的大花。那些小丘的线条是那么柔美，就像只用绿色渲染，不用墨线勾勒的中国画那样，到处翠色欲流，轻轻流入云际。这种境界，既使人惊叹，又叫人舒服，既愿久立四望，又想坐下低吟一首奇丽的小诗。在这境界里，连骏马与大牛都有时候静立不动，好象回味着草原的无限乐趣。
我们访问的是陈巴尔虎旗。汽车走了一百五十里，才到达目的地。一百五十里全是草原。再走一百五十里，也还是草原。草原上行车十分洒脱，只要方向不错，怎么走都可以。初入草原，听不见一点声音，也看不见什么东西，除了一些忽飞忽落的小鸟。走了许久，远远地望见了一条迂回的明如玻璃的带子—河！牛羊多起来，也看到了马群，隐隐有鞭子的轻响。快了，快到了。忽然，象被一阵风吹来的，远丘上出现了一群马，马上的男女老少穿着各色的衣裳，群马疾驰，襟飘带舞，象一条彩虹向我们飞过来。这是主人来到几十里外，欢迎远客。见到我们，主人们立刻拨转马头，欢呼着，飞驰着，在汽车左右与前面引路。静寂的草原，热闹起来：欢呼声；车声；马蹄声；响成一片。车跟着马飞过了小丘，看见了几座蒙古包。
蒙古包外，许多匹马，许多辆车。人很多，都是从几十里外乘马或坐车来看我们的。主人们下了马，我们下了车。也不知道是谁的手，总是热乎乎地握着，握住不散。大家的语言不同，心可是一样。握手再握手，笑了再笑。你说你的，我说我的，总的意思都是民族团结互助。
也不知怎的，就进了蒙古包。奶茶倒上了，奶豆腐摆上了，主客都盘腿坐下，谁都有礼貌，谁都又那么亲热，一点不拘束。不大会儿，好客的主人端进来大盘的手抓羊肉。干部向我们敬酒，七十岁的老翁向我们敬酒。我们回敬，主人再举杯，我们再回敬。这时候鄂温克姑娘们，戴着尖尖的帽儿，既大方，又稍有点羞涩，来给客人们唱民歌。我们同行的歌手也赶紧唱起来。歌声似乎比什么语言都更响亮，都更感人，不管唱的是什么，听者总会露出会心的微笑。
饭后，小伙子们表演套马，摔跤，姑娘们表演了民族舞蹈。客人们也舞的舞，唱的唱，并且要骑一骑蒙古马。太阳已经偏西，谁也不肯走。是呀！蒙汉情深何忍别，天涯碧草话斜阳！
车窗外是茫茫的大戈壁，没有山，没有水，也没有人烟。天和地的界限并不那么清晰，都是浑黄一体。
从哪儿看得出列车在前进呢？
那就是沿着铁路线的一行白杨树。每隔几秒钟，窗外就飞快地闪过一个高大挺秀的身影。
一位旅客正望着这些戈壁滩上的卫士出神。
“爸爸，”大孩子摇着他的腿，“你看那树多高！”爸爸并没有从沉思中回过头来，倒是旁边的妹妹插嘴了：
“不，那不是树，那是大伞。”
“哪有这么大的伞！”
“你看它多直！”妹妹分辩着。
“它是树，不是伞！”哥哥肯定地说。
小小的争论打断了爸爸的思路，他微笑着，慢慢地抚摸孩子们的头，说：
“这不是伞，是白杨树。”
哥哥还不满足：“为什么它这么直，长得这么大？”
爸爸的微笑消失了，脸色变得严肃起来。他想了一会儿，对儿子和小女儿说：“白杨树从来就这么直。哪儿需要它，它就在哪儿很快地生根发芽，长出粗壮的枝干。不管遇到干旱还是洪水，它总是那么直，那么坚强，不软弱，也不动摇。”
爸爸只是向孩子们介绍白杨树吗？不是的，他也在表白着自己的心。而这，孩子们现在还不能理解。
他们只知道爸爸在新疆工作，妈妈也在新疆工作。他们只知道爸爸这回到奶奶家来，接他们到新疆去念小学，将来再念中学。他们只知道新疆是个很远很远的地方，要坐几天火车，还要坐几天汽车。
现在呢，孩子们多了一点知识。在通向新疆的路上，有许许多多白杨树。这儿需要它们，它们就在这儿生根了。
爸爸搂着孩子，望着窗外闪过去的白杨树,又陷入沉思。突然，他的嘴角又浮起了一丝微笑，那是因为他看见火车前进方向的右面，在一棵高大的白杨树身边。几棵小树正迎着风沙成长起来。