㈠ 引导学生怎样探究“植树问题”的规律
“植树问题”是人教版四年级下册“数学广角”中例1的教学内容。
学生是数学学习的主人。新课程理念要求教师要遵循学生学习数学的心理及认知规律，强调数学教学要以学生的生活经验、已有的知识经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行应用的过程。在“植树问题”的教学中，我们本着对新课程理念的理解，着力引导学生探究“两端要栽”的植树问题，渗透植树问题的一些思想方法。通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生通过猜测、实验操作、验证，并利用线段图来发现栽树(两端要栽)的棵数、间隔数、间距、总长度之间的关系，从而让学生建构起植树问题的数学模型，然后再让学生用发现的规律来解决生活中的一些简单的实际问题，让他们在课堂教学中获得成长与发展的动力。
为此，我们在每个教学环节中，着力引导学生学会解决“植树问题”。
一、导入。问同学们是否参加过植树活动？然后指出植树活动中有很多的学问，蕴藏着有趣的数学知识，激起学生探究问题的兴趣。接着教学“间隔”、“间距”的含义。教师在黑板上先画出一条长10厘米的线段，问学生这条线段有几个端点？然后老师将这条线段平均分成两小段(师要画出线段)，提问：现在的“线段”上有几个点？每小段有多长？然后教师介绍什么是间隔(即间隔数)和什么是间距？最后，让学生列举生活中的“间隔”（着重引导学生从身边或教室、校园中找到“间隔”）。如：身上的一排纽扣之间有间隔；张开的左、右手有间隔；一个大组摆的8条课桌中有间隔；学校上课、下课的钟声，每两声之间停断的时间也可以看成一个“间隔”；……
教学中，我们将植树、线段、钟声、成排的课桌等这些看似毫不相关的事物联系在一起，拉近了数学课堂与现实生活的距离。同时，能让学生体会到，在不同的事物或现象之间，有可能存在着相同的数学意义，它们之间往往存在着数学上的本质联系，从而让学生体验到数学学习的价值与数学思维的乐趣，唤起学生创造的欲望。
二、动手实验，让学生系扣子
先让同学拿出课前准备好的一根20厘米长的细线，要求每隔5厘米系一个扣子(强调细线的两端也要系)。系之前让学生猜想：能系几个扣子？有几个间隔数？待学生操作后指名汇报自己系了几个扣子？扣子的个数与间隔数同你的猜想一样吗？它们之间有什么关系？通过操作，同学们就能知道：系的扣子个数比间隔数多1。然后，教师又让学生各自在本子上用线段图表示出来，并算一算间隔是几个、间距是多少？
教学中，教师以实验操作的形式指导学生验证了扣子的个数与间隔数的关系，增强了学生自主探究知识的欲望，让学生获得了直接经验，丰富了感性认识，也能让他们精神集中地投入到学习活动中，促使他们真正成为学习活动的主人。
三、建构植树问题的数学模型
教师将系扣子问题进行变式：两端都要栽上树，在学校20米长的围墙边栽5棵树，你知道有几个间隔？间距是多少？有什么规律吗？然后请学生画线段图表示出来。接着，教师着重引导、帮助学生建构植树问题的数学模型，把发现的规律进行汇总（板书）：(两端要栽)①棵数=间隔数+1；②总长度=间距×间隔数
教学中，我们引导学生通过画线段图、猜想、验证相关问题，是让学生从简单的情况入手，从中抽象出一般的数学规律，抽取出植树问题的数学模型，从而达到化繁为简、内化知识的目的。
四、运用模型解决问题，拓展提高。
（一）、让学生运用模型解决例1提出的问题。教师运用投影展示出四幅主题图的情景后，引导学生观察主题图并理解题意，让他们互相交流获取的信息和所要解决的问题。再指名回答解决问题的方法和思路，呈现出不同学生的不同解题思路和方法。
（二）、让学生尝试完成教材中的“做一做”。教师要求学生各自读题后同桌互相讨论，再列出算式，指名板演后叙述思路：根据(两端要栽)棵数比间隔数多1，可以先求出间隔数，再根据规律“间距×间隔数=总长度”就能解决问题了。
（三）、比较例1和“做一做”的解法和思路的不同，让学生经历双向可逆性思维的过程，引导、帮助学生加深对规律的理解，以能进一步提高学生灵活运用数学模型来解决实际问题的能力，促使学生达到数学学习的高境界——举一反三，灵活应用。例1是已知总长度和间距，求(两端要栽)栽树的棵数。因为棵数比间隔数多1，所以求出间隔数后再加1，即就可得出棵数。“做一做”中的问题是已知棵数和间距，求总长度。所以要先求出间隔数，用棵数减1即可得出间隔数，再用间隔数乘间距就能求得全长了。
（四）、拓展提高，让学生感受数学在实际生活中的应用。
[展示问题]：座落在永丰大道的粮贸大厦上的大钟5时敲响5下，8秒钟敲完。12时敲响12下，需要多长时间？
教师引导学生认真审题，并要求画线段图表示出大钟敲响5下的情况。然后让同学对照线段图思考：大钟敲响5下的时候，实际上中间有几个间隔？平均每个间隔之间的时间是多少？教师同时提示学生要注意：在植树问题中的“间距”、“总长度”不一定就是长度单位，也可以是时间单位等。
我们认为，数学问题来源于生活，而又运用于生活。建构数学模型不是数学教学的最终目的，通过教师的指导、帮助，让学生形成一种技能，建立数学思维方法，反过来再去解决问题，让他们理解并形成数学的思维能力，增强他们学好数学的信心，这才是数学教学的最终目的。
五、课堂总结
教师提问：这节课，我们学习了什么新知识？你是怎样学习这些知识的？学生叙述后师生再作总结。
课堂总结从学生指导和客观的目标等角度，让同学们回忆了本节课的学习历程和发现的规律，体现数学学习的“过程”，让学生的思维得以充分地发展，以达到“教是为了不用教”的效果。
㈡ 数学中的植树问题
植树问题 植树问题公式：直线植树： 距离/间隔 +1 = 棵数
四周植树： 距离/间隔 = 棵数
关于《植树问题》
《植树问题》这节课现在的案例很多，但因为这是一堂发展学生思维能力的课，所以怎样的教学目标定位才是适合学生的发展的，应该说是很难把握的。其次是第一节课要学生学到什么？是掌握其中一点（棵数=段数+1），还是在此基础上，让学生对这一问题有一个整体的把握，即既要理解+1的原因，又要理解—1的原因，和不加不减的原因。
宋晶晶老师结合多种版本的案例，给我们演绎了一堂精彩的数学课，我觉得她在了解学生的基础上，使相当一部分学生在原有的知识基础上，对植树问题的原因理解的更透彻了。
这节课的主要过程是通过生活中的例子，引导学生通过画图等，体验段数和棵数之间的关系，得出结论，再通过举例使学生联系生活，对生活中的例子进行辨析，在辨析中进一步理解+1的原因。最后通过闯关活动，激励学生去攻克一个又一个难关（3个变化题），使全体学生都能积极思考，从中进一步理解植树问题的内涵。在交流、反馈中，还引导学生应用一一对应的思想去思考验证，对中下学生的体验和理解帮助很大。
我觉得宋老师这堂课是成功的，是适合她的班级的，但换到其他班级，不一定适合，如果学生一点基础都没有，练习的难度要降低，才能取得理想的效果。
关于《植树问题》的两点思考：
不巧的很，仙桃市小学数学优秀青年骨干教师网络教研中心培训会暨重学新课标演讲会与仙桃市2007春季学期备考会重叠了。因此，虽然中途赶来，但还是没有完整地听完《植树问题》这节课，遗憾之余（事实上，寥寥几分钟，执教教师的机智、艺术还是给我留下了很深的印象），只能简短地谈谈自己对《植树问题》的几点思考。
说是对《植树问题》的几点思考，不如说对建立模型的几点思考更准确。
笔者以为，目前在模型的建立上面，有几点误区：
一、重形象直观，轻抽象概括。以《植树问题》为例，两端都栽树，很多老师喜欢以手为例。两个手指之间有几个间隔？三个手指呢？四个、五个呢？你能发现什么规律？这里，执教教师就仓促了一些。其实，这里教师还可进一步引导：6个手指有多少个间隔……100个手指呢？你是怎样知道的？这就逼着学生跳出“手”这一具体形象，依靠表象进行抽象概括，思维无疑进了一步。
二、重归纳发现，轻演绎推理。两端植树，树的棵数=间隔数+1。正如前面案例所描述的，这是一个典型的归纳发现的过程。那么，对于本节课的另一教学任务，《植树问题》的另一类型：两端都不植树的情况，是否也依然要用归纳发现的方法呢？这当然仁者见仁，智者见智。不过，我认为以下教法很重要。因为，在我看来，“两端植树”和“两端都不植树”二者实质是一样的，两端植树，树的棵数=间隔数+1，把两端的树去掉，树的棵数就减少了2，也就是“间隔数+1－2”，加上一个1再减上一个2，间隔数总的来说少了1，用模型表示就是“间隔数－1”。
笔者以为，以上教法不仅是沟通二者之间联系的需要，更重要的是，这是渗透数学思维的需要：即学生数学思维的发展不仅需要归纳发现的能力，同时也需要演绎推理的能力。
事实上，这正是现在模型教学所匿乏的。
书本上的知识：
植树问题是在一定的线路上，根据总路程、间隔长和棵数进行植树的问题。
为使其更直观，用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。
专题分析：
一、在线段上的植树问题可以分为以下三种情形。
1、如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数=段数+1。
2、如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数=段数。
3、如果植树线路的两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数=段数－1。
二、在封闭线路上植树，棵数与段数相等，即：棵数=段数。
三、在方形线路上植树，如果每个顶点都要植树。则棵数=（每边的棵数－1）×边数。
例题：
例子1，长方形场地：一个长84米，宽54米的长方形苹果园中，苹果树的株距是2米，行距是3米．这个苹果园共种苹果树多少棵？
解：
解法一：
①一行能种多少棵？84÷2=42(棵)．|
②这块地能种苹果树多少行？54÷3=18(行)．
③这块地共种苹果树多少棵？42×18=756(棵)．
如果株距、行距的方向互换，结果相同：
(84÷3)×(54÷2)=28×27=756(棵)．
解法二：
①这块地的面积是多少平方米？
84×54=4536(平方米)．
②一棵苹果树占地多少平方米？
2×3=6(平方米)．
③这块地能种苹果树多少棵？
4536÷6=756(棵)．
当长方形土地的长、宽分别能被株距、行距整除时，可用上述两种方法中的任意一种来解；当长方形土地的长、宽不能被株距、行距整除时，就只能用第二种解法来解．
但有些问题从表面上看，并没有出现“植树”二字，但题目实质上是反映封闭线段或不封闭线段长度、分隔点、每段长度三者之间的关系。锯木头问题就是典型的不封闭线段上，两头不植树问题。所锯的段数总比锯的次数多一。上楼梯问题，就是把每上一层楼梯所需的时间看成一个时间间隔，那么： 上楼所需总时间 =（终点层—起始层）×每层所需时间。而方阵队列问题，看似与植树问题毫不相干，实质上都是植树问题。
例子2，直线场地：在一条马路的两旁植树，每隔3米植一棵，植到头还剩3棵；每隔2.5米植一棵，植到头还缺少37棵，求这条马路的长度。
解：
设一共有A棵树
【（A-3）/2-1】X3=【（A+37）/2-1】X2.5
A=205
马路长:【（205-3）/2-1】X3=300
得:马路长度为300米
例子3，圆形场地（难题）：有一个圆形花坛，绕它走一圈是120米。如果在花坛周围每隔6米栽一株丁香花，再在每相邻的两株丁香花之间等距离地栽2株月季花。可栽丁香花多少株？可栽月季花多少株？每2株紧相邻的月季花相距多少米
解：
解：根据棵数=全长÷间隔可求出栽丁香花的株数：
120÷6=20（株）
由于是在每相邻的2株丁香花之间栽2株月季花，丁香花的株数与丁香花之间的间隔数相等，因此，可栽月季花：
2×20=40（株）
由于2株丁香花之间的2株月季花是紧相邻的，而2株丁香花之间的距离被2株月季花分为3等份，因此紧相邻2株月季花之间距离为：
6÷3=2（米）
答：可栽丁香花20株，可栽月季花40株，2株紧相邻月季花之间相距2米。
例5 在圆形水池边植树，把树植在距离岸边均为3米的圆周上，按弧长计算，每隔2米植一棵树，共植了314棵。水池的周长是多少米？（适于六年级程度）
解：先求出植树线路的长。植树线路是一个圆的周长，这个圆的周长是：
2×314=628（米）
这个圆的直径是：
628÷3.14=200（米）
由于树是植在距离岸边均为3米的圆周上，所以圆形水池的直径是：
200-3×2=194（米）
圆形水池的周长是：
194×3.14=609.16（米）
综合算式：
（2×314÷3.14-3×2）×3.14
=（200-6）×3.14
=194×3.14
=609.16（米）
㈢ 植树问题的植树问题公式
植树问题公式：
（两端都植） ：距离÷间隔长 +1=棵数。版
（只植一端） ：距离÷间隔长=棵数。
（两端都不植权） ：距离÷间隔长－1=棵数。
在线段上的植树问题可以分为以下三种情形。
1、如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比要分的段数多1，即：棵数=间隔数+1。
2、如果植树的线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数=间隔数。
3、如果植树的线路两端都不植树，那么植树的棵数比要分的段数少1，即：棵数=间隔数－1。
(3)植树问题的教学反思扩展阅读：
实数的加法法则：
（1）同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。
（2）异号两数相加，取绝对值最大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
（3）任何数加0仍得原数。
整数加减法的运算法则：
（1）相同数位对齐；
（2）从个位算起；
（3）加法中满几十就向高一位进几；减法中不够减时，就从高一位退1当10和本数位相加后再减。