A. 二面角的平面角的三个主要特征
教学目标
1.使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念，并能初步运用它解决实
际问题；
2.引导学生探索和研究“二面角的平面角”应该如何定义，在概念形成的过程中，发展学生
的思维能力.
教学重点和难点
本课的重点是“二面角”和?“二面角的平面角”的概念；
本课的难点是“二面角的平面角”概念形成的过程.
教学设计过程
教师:在平面几何中“角”是怎样定义的?
学生:从平面内一点出发的两条射线所组成的图形叫做角.
教师:在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的?
它们有什么共同的特征?
学生:直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′‖a,b′‖b,我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
它们的共同特征是都是将三维空间的角转化为二维空间的角.
教师:请同学们观察下面的几个问题.
(当教师说完上述话后，利用多媒体技术，让学生通过计算机看两个例子)
例子之一:
镜头一:淡蓝色的地球.(图片)
镜头二:火箭发射人造地球卫星.(录相)
镜头三:人造地球卫星绕地球旋转，最后画出卫星的轨道平面和地球赤道平面.
让学生观察这两个平面相交成一定的角度.
例子之二:
镜头一:人走在坡度不太大的桥上.(录相)
镜头二:人在爬山.(录相)
镜头三:攀岩运动.(录相)
镜头四:演示下面动态图象.(让水平面静止不动，坡面在不断变化，目的是让学生看到，
在生活实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形)
(注意:四个镜头要连续编排在一起进行演示，时间一分钟)
教师:如何给二面角下定义呢?下面我们用类比的办法，与角的概念对比，探讨二面角的定义.
这一段教学采用计算机辅助手段，每一个问题分三步完成，首先给出平面角的问题，然后请
学生思考并回答二面角的问题，最后计算机显示正确结果.这部分共有四个问题，全部研究
完毕后，将整个过程列成一个总表，显示在屏幕上.
教师:请看角的图形，思考二面角的图形.
学生可以将自己画的图展示给大家.
计算机显示:二面角的图形.
教师:(给出平面角的定义)请同学们给二面角下定义.
显示:从平面内一点出发的两条射线所组成的图形.
学生:(口答)
计算机显示:从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形.
教师:平面角由射线—点—射线构成.二面角呢?
学生:二面角由半平面—线—半平面构成.
教师:平面角表示法:∠AOB.
二面角表示法 α-α-β或α-AB-β.
最后计算机显示整个过程.
教师:经过上面的研究我们已经看到，平面上的角，可以看作是一条射线绕其端点旋转形成
的图形；类似地，一个半平面绕其界线旋转到一定位置所得到的图形，就是二面角.
教师:二面角与平面内的角一样，是可以比较大小的，其比较方法，与平面内的角的大小的
比较方法类似.
(教师让学生打开书本)
打开书本的过程，给我们一种二面角的大小连续变化的形象.(前面看到的爬山问题也是如此)
教师:用量角器可以量出平面内的角的大小，能否也能用量角器直接去量出二面角的大小呢.
比如，这里有一个对顶量角器和一个三角木块(直三棱柱)模型，你们能用我们自制的对顶量
角器来量出三角木块模型的某两面角的大小吗?比如平面α与β的夹角?
教师:一般地说，量角器只能测量“平面角”(指两条相交直线所成的角.相应地，我们把
异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，均称为空间角)那么，如何去度量二面
角的大小呢?我们以往是如何度量某些角的?
学生:分别通过“取点、平移(相交)”(对异面直线所成的角)与“斜线的射影(相交)”(对
斜线与平面所成的角)去度量的.
教师:这些做法的共同点是什么?
学生:都是将空间角化为平面角.
教师:对!再回到刚才的量角操作，你是怎样用对顶量角器去量二面角α-l-β的大小呢?
学生:将对顶量角器的一个角的两边靠紧二面角的两个面，角的顶点则在二面角的棱上.
教师:大家注意，实际上同学们量的是一个平面内的角:∠ABC.这个角的顶点在二面角的
棱上，它的两边分别在二面角的两个面内且与棱垂直.而且对于确定的二面角，这样的角的
大小是唯一的，确定的，我们把它叫做二面角的平面角.
(对于训练有素，肯于思考的学生可能会提出下面的问题)
学生:若以棱a上任意一点O为端点，在两个面内作与棱成等角θ′(0°＜θ′＜90°)的两
条射线OA′，OB′，由空间等角定理知，∠A′OB′也是存在且唯一的，为什么不用这样的
角定义二面角的平面角?
教师:记∠AOB=θ，∠A′OB′=j.当OA′，OB′在平面AOB同侧时θ＞j；当OA′，OB′
在平面AOB异侧时θ＜j.请看图6:
设 A′P′=a,A′P=b，A′B′=x
由余弦定理，得:
cos j=2(1-cos j)，
cos θ=2(1-cos θ)，
所以
在RtΔA′pp′中:sinθ′=，
所以 sin2θ′=.(*)
当OA′，OB在平面AOB的同侧时，若用∠A′OB′=表示二面角的大小，由(*)知，与θ
之间会有常数关系，这将给表示，尤其是计算、应用带来诸多不便；另外，若用∠A′OB′=
表示二面角的大小，当平面α⊥平面β时；≠90°，当半平面α与半平面β在同一平面
时，=2θ′≠180°，都与已有知识和经验不符，不能直观反映出空间两个相交平面的相
对位置关系.
教师板书二面角的平面角的定义.
定义 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射
线所成的角叫做二面角的平面角.
教师:“二面角的平面角”的定义三个主要特征是什么?
学生:过棱上任意一点(0∈a)，分别在两个面内作射线(OAα，OBβ)，射线垂直于棱(O
A⊥a，OB⊥a).
教师:经过上面的研究我们看到，二面角的大小，可以用它的平面角来度量，二面角的平面
角是几度，就说这个二面角是几度.
教师:许多立体几何问题，若能正确地作出图形，则问题就便于解决.若能正确地作出二面
角的平面角乃是解决这类问题的关键步骤.下面我们总结一下作二面角平面角的几种基本方
法.如何利用定义作二面角的平面角呢?
学生:在二面角的棱a上任意取一点O为端点，在面α，β内分别引垂直于棱a的两条射线OA
，OB，则∠AOB为该二面角的平面角.
教师:如何利用三垂线定理作二面角的平面角呢?
学生:在二面角α-a-β的面α上任取一点A，过A分别作棱a和另一面β的垂线AO和AB(O，
B分别是垂足)，连BO；或者过A作面β的垂线AB，又过垂足B引棱a的垂线BO，连AO；则∠AOB
为该二面角的平面角.
教师:能否用作垂面的办法作二面角的平面角呢?
学生:过二面角的棱a上任一点O，作平面γ与该棱垂直(作棱的垂面)，平面γ与α，β分别
交于OA，OB，则可用∠AOB来度量二面角α-a-β的大小.
教师:下面我们研究一道例题.
题目:如图11，山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是60°，山坡上有一条直道
CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100米后升高多少米?
(投影打出下图)
(此例是一个实际应用问题，难度较低，一般不易引起人们的注意，但教师应深入思考，讲
清下面几点)
分析:
1.建模过程 此例的求解首先要对实际图形作出想象理解，然后在教学中抽象出数学模型.
虽然建模过程难度较低，但教学中应主要向学生渗透建模的思想和增强学生对立体几何中一
些基本图形的认识与理解.
设过AB的水平面为α，坡面DAB所在的平面为β，CD=100m.
本题要求“升高了多少米”?即是求点D到水平面α的距离DH.这自然会想到解直角三角形DH
C，但该直角三角形不可解，故必须另寻途径.(如图，利用计算机显示在屏幕上)
再看看给出的条件，已知二面角α-AB-β是60°，如何作出它的平面角呢?过D在平面β内
作DG⊥AB，G是垂足，再连结HG，则根据三垂线定理，可得HG⊥AB，则∠DGH就是该二面角的
平面角，即∠DGH=60°.再根据∠DCH=30°及直角三角形DGH和DCG的边角关系，就可以求出DH.
2.提炼方法 此例的求解是应用三垂线定理作二面角的平面角的典型例子，也是立体几何的
一个基本方法.为了强化此法，应在本节练习中配套出相应的题目.这表明在教学中加强对
基本方法的提炼、理解是很有必要的，也是加强通法教学的具体表现.
练习:
①在30°二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是a，求它到棱的距离.
②把边长为a的正方形ABCD以BD为轴折叠，使二面角A-BD-C成60°的二面角，求A、C两点
的距离.
3.导出等式 在图12中，不妨从一般性出发，记∠DCH=θ1，∠DCG=θ2，∠HCG=θ3，∠DHG=θ.引导学生从例题图形中推导出等式:
① sin1=sin2sin
②cos2=cos1cos.
这样的练习既锻炼了学生的动手能力，还揭示了例题的引申功能，使例题的作用突出，导向
明确，极有利于学生对知识串联、累积、加工，从而达到举一反三的作用.
推导①:因为sinθ1=,sinθ2=,sinθ=，所以sinθ1=sinθ2sinθ.
推导②:因为 cosθ2=,cosθ1=,cosθ3=,所以cosθ2=cosθ1cisθ3.
4.挖掘引申 教师在学生导出等式①，②后，把课堂教学进一步引向深入，对等式①，②作
出说明与解释.
由等式①可得sinθ1≤sinθ，即θ1≤θ，说明沿山坡直道CD上山时与水平面所成的角θ1
不大于山坡的倾斜度，这使例题的实际性增强，又使学生在教学过程中对数学知识与实际生
活进行比较、联系、评价，突出了数学应用的广泛性，进一步强化了学生的应用意识，从而
有利于学生数学素养的提高.
小结
1.空间的“二面角”，是平面几何中角的概念在空间中的拓广.处理问题的思想方法是将“
空间的角”转化为“平面的角”来处理.定义的原则是:这个“平面角”的大小必须是由空
间的角完全确定而且是唯一的.
2.凡是涉及到二面角的几何问题，都要根据题目的条件，在图形的恰当位置作出二面角的平
面角，主要方法有“定义法”，“应用三垂线定理”和“作垂面”的方法.我们将在下一课
做进一步的研究.
布置作业
1.阅读课本.
2.正四面体ABCD，求侧面与底面所成二面角的大小的余弦值.
3.如果两个二面角的两个面对应平行，那么这两个二面角相等或互补.
课堂教学设计说明
本节课属于新授课型.应主要把握下述几个方面.
1.要有良好的铺垫.数学教学的过程，实质上就是原有认知结构不断地同化或顺应的能动过
程.学生原有的认知结构，始终是关系迁移功能的一个关键的因素.为了有效迁移和建构，
就应认真寻找和了解学生的原认识，及时组织改造和唤起这些关键因素，为学习新的知识提
供基础.主要要做到三个方面的铺垫:(1)知识性铺垫.(2)技能性铺垫.(3)原理性铺垫.
2.抓着新知识的导入点.新课导入就是在新旧问题之间架起一座“认知桥梁”，从而顺利实
现迁移.导入时要寻求新旧问题的最短距离，要瞄准新旧关系的最佳方位，要把握新旧转换
的最精确表达.
3.新授课的重点是新授.新授是一堂课的重要环节，也是学生思维最活跃、最紧张、最有效
的认知高潮.因此，新授过程应确保在教学中的最佳时域进行.要让学生有观察、动手、表
达、思考、交流、表现等时机，让学生真正成为学习的主人，主动地和生动地进行认知建构.
4.做好课堂巩固.巩固的主要目的就是帮助学生建立起关于某道范例的思维模式，形成积极
有益的认知定势作为学习优势去解决实际问题.这样的巩固练习，不能单纯停留于对范例的
模仿上，而应恰当地变换形式或角度，集中突破教学难点和重点.
5.做好作业的选题、批改、订正、讲评，进一步提高学习质量.
B. 高中数学教案人教版
http://www.zhaojiaoan.com/soft/list.asp?classid=305
人教版高三数学教案选[高中数学教案]
教学章节：数学归纳法2教学章节：数学归纳法应用4教学章节：充要条件6教学章节：椭圆的定义11教学章节：椭圆及其标准方程14教学章节：椭圆及其标准方程17教学章节：椭圆的简单几何性质20教学章节：椭圆的几何性质23教学章节：椭圆及其标准方程27教学章节：椭圆及其标准方程30
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C. 高三数学第一轮复习教案
1、对称：
y=f（x）与y=f（-x）关于y轴对称，例如：
与（）关于y轴对称
y=f（x）与y= —f（x）关于x轴对称，例如：
与关于x轴对称
y=f（x）与y= —f（-x）关于原点对称，例如：
与关于原点对称
y=f（x）与y=f（x）关于y=x对称，例如：
y=10与y=lgx关于y=x对称
y=f（x）与y= —f（—x）关于y= —x对称，如：y=10与y= —lg（—x）关于y= —x对称
注：偶函数的图象本身就会关于y轴对称，而奇函数的图象本身就会关于原点对称，例如：
图象本身就会关于y轴对称，的图象本身就会关于原点对称。
y=f（x）与y=f（a—x）关于x=对称（）
注：求y=f（x）关于直线xyc=0（注意此时的系数要么是1要么是-1）对称的方程，只需由xy+c=0解出x、y再代入y=f（x）即可，例如：求y=2x+1关于直线x-y-1=0对称的方程，可先由x-y-1=0解出x=y+1，y=x-1，代入y=2x+1得：x-1=2（y+1）整理即得：x-2y-3=0
2、平移：
y=f（x）y= f（x+）先向左（>0）或向右（<0）平移||个单位，再保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为原来的倍（若y= f（x+） y=f（x）则先保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为原来的倍，再将整个图象向右（>0）或向左（<0）平移||个单位，即与原先顺序相反）
y=f（x）y= f先保持纵坐标不变，横坐标压缩或伸长为原来的||倍，然后再将整个图象向左（>0）或向右（<0）平移||个单位，（反之亦然）。
3、必须掌握的几种常见函数的图象
二次函数y=a+bx+c（a）（懂得利用定义域及对称轴判断函数的最值）
指数函数（）（理解并掌握该函数的单调性与底数a的关系）
幂函数（）（理解并掌握该函数的单调性与幂指数a的关系）
对数函数y=logx（）（理解并掌握该函数的单调性与底数a的关系）
y=（a为正的常数）（懂得判断该函数的四个单调区间）
三角函数y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=cotx（能根据图象判断这些函数的单调区间）
注：三角中的几个恒等关系
sinx+ cosx=1 1+tanx=secx 1+cotx=cscx tanx=1
利用函数图象解题典例
已知分别是方程x +10 =3及x+lgx=3的根，求：
分析：x +10 =3可化为10=3—x，x+lgx=3可化为lgx=3—x，故此可认为是曲线
y=10、y= lgx与直线y=3—x的两个交点，而此两个交点关于y=x对称，故问题迎刃而解。
答案：3
4、函数中的最值问题：
二次函数最值问题
结合对称轴及定义域进行讨论。
典例：设a∈R，函数f（x）=x2+|x－a|+1，x∈R，求f（x）的最小值．
考查函数最值的求法及分类讨论思想．
【解】（1）当x≥a时，f（x）=x2+x－a+1=（x+）2－a+
若a≤－时，则f（x）在［a，+∞］上最小值为f（－）=－a
若a>－时，则f（x）在［a，+∞）上单调递增
fmin=f（a）=a2+1
（2）当x≤a时，f（x）=x2－x+a+1=（x－）2+a+
若a≤时，则f（x）在（－∞，单调递减，fmin=f（a）=a2+1
当a>时，则f（x）在（－∞，上最小值为f（）=+a
综上所述，当a≤－时，f（x）的最小值为－a
当－≤a≤时，f（x）的最小值为a2+1
当a>时，f（x）的最小值为+a
利用均值不等式
典例：已知x、y为正数，且x=1，求x的最大值
分析：x==（即设法构造定值x=1）==故最大值为
注：本题亦可用三角代换求解即设x=cos，=sin求解，（解略）
通过求导，找极值点的函数值及端点的函数值，通过比较找出最值。
利用函数的单调性
典例：求t的最小值（分析：利用函数y=在（1，+）的单调性求解，解略）
三角换元法（略）
数形结合
例：已知x、y满足x，求的最值
5、抽象函数的周期问题
已知函数y=f（x）满足f（x+1）= —f（x），求证：f（x）为周期函数
证明：由已知得f（x）= —f（x —1），所以f（x+1）= —f（x）= — （—f（x —1））
= f（x —1）即f（t）=f（t —2），所以该函数是以2为最小正周期的函数。
解此类题目的基本思想：灵活看待变量，积极构造新等式联立求解
二、圆锥曲线
1、 离心率
圆（离心率e=0）、椭圆（离心率0<e1）。
焦半径
椭圆：PF=a+ex、PF=a-ex（左加右减）（其中P为椭圆上任一点，F为椭圆左焦点、F为椭圆右焦点）
注：椭圆焦点到其相应准线的距离为
双曲线：PF= |ex+a|、PF=| ex-a|（左加右减）（其中P为双曲线上任一点，F为双曲线左焦点、F为双曲线右焦点）
注：双曲线焦点到其相应准线的距离为
抛物线：抛物线上任一点到焦点的距离都等于该点到准线的距离（解题中常用）
圆锥曲线中的面积公式：（F 、F为焦点）
设P为椭圆上一点，=，则三角形FPF的面积为：b
注：|PF| |PF|cos=b为定值
设P为双曲线上一点，=，则三角形FPF的面积为：b
注：|PF| |PF|sin=b为定值
附：三角形面积公式：
S=底高=absinC==r（a+b+c）=（R为外接圆半径，r为内切圆半径）=（这就是著名的海伦公式）
三、数列求和
裂项法：若是等差数列，公差为d（）则求时可用裂项法求解，即=（）=
求导法： （典例见高三练习册p86例9）
倒序求和：（典例见世纪金榜p40练习18）
分组求和：求和：1-2+2-4+3-8+4-16+5-32+6-…分析：可分解为一个等差数列和一个等比数列然后分组求和
求通项：构造新数列法典例分析：典例见世纪金榜p30例4——构造新数列即可
四、向量与直线
向量（a，b），（c，d）垂直的充要条件是ac+bd=0
向量（a，b），（c，d）平行的充要条件是ad—bc=0
附：直线Ax+By+C=0与直线Ax+By+C=0垂直的充要条件是A A+ B B=0
直线Ax+By+C=0与直线Ax+By+C=0平行的充要条件是A B -A B=0
向量的夹角公式：
cos=
注1：直线的“到角”公式：到的角为tan=；“夹角”公式为tan=||
（“到角”可以为钝角，而“夹角”只能为之间的角）
注2：异面直线所成角的范围：（0，]
注3：直线倾斜角范围[0，）
注4：直线和平面所成的角[0，]
注5：二面角范围：[0，]
注6：锐角：（0，）
注7：0到的角表示（0，]
注8：第一象限角（2k，2k+）
附：三角和差化积及积化和差公式简记
S + S = S C
S + S = C S
C + C = C C
C — C = — S S
五、集合
1、集合元素个数的计算
card（A）=card（A）+ card（B）+ card（C）—card（A）—card（）—card（CA）+card（ABC）（结合图形进行判断可更为迅速）
2、从集合角度来理解充要条件：若AB，则称A为B的充分不必要条件，（即小的可推出大的）此时B为A的必要不充分条件，若A=B，则称A为B的充要条件
经纬度
六、二项展开式系数：
C+C+C+…C=2（其中C+ C+ C +…=2；C +C+ C+…=2）
例：求（2+3x）展开式中
1、所有项的系数和
2、奇数项系数的和
3、偶数项系数的和
方法：只要令x为1或—1即可
七、离散型随机变量的期望与方差
E（a+b）=aE+b；E（b）=b
D（a+b）=aD；D（b）=0
D=E—（E）
特殊分布的期望与方差
分布：期望：E=p；方差D=pq
二项分布： 期望E=np；方差D=npq
注：期望体现平均值，方差体现稳定性，方差越小越稳定。
八、圆系、直线系方程
经过某个定点（）的直线即为一直线系，可利用点斜式设之（k为参数）
一组互相平行的直线也可视为一直线系，可利用斜截式设之（b为参数）
经过圆f（x、y）与圆（或直线）g（x、y）的交点的圆可视为一圆系，可设为：
f（x、y）+g（x、y）=0（此方程不能代表g（x、y）=0）；或f（x、y）+g（x、y）=0（此方程不能代表f（x、y）=0）
附：回归直线方程的求法：设回归直线方程为＝bx＋a，则b＝
a＝－b
九、立体几何（一）
1、欧拉公式：V+F—E=2（只适用于简单多面体）
利用欧拉公式解题的关键是列出V、F、E之间的关系式
棱数E=（每个顶点出发的棱数之和）=（每个面的边数之和）（常用）
2、长方体的三度定理
长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和
推论
若对角线与各棱所成的角为、、，则：
cos+cos+cos=1 sin+sin+sin=2
若对角线与各面所成的角为、、，则：
cos+cos+cos=2 sin+sin+sin=1
3、三角形“四心”
重心：三边中线交点
垂心：三边高线交点
内心：角平分线交点（内切圆圆心）
外心：垂直平分线交点（外接圆圆心）
若三角形为正三角形，则以上“四心”合称“中心”
引申：
若三棱锥三个侧面与底面所成的角相等，则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的内心
若三棱锥三条侧棱与底面所成的角相等，则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的外心
若三棱锥三条侧棱两两垂直，则该棱锥的顶点在底面的射影为底面三角形的垂心
若该三棱锥为正三棱锥，则其顶点在底面的射影为底面三角形的中心
4、经度纬度
九、立体几何（二）
一、“共”的问题
1．多点共线：先证其中两点确定一条直线，然后其余点均在该直线上。举例：正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于Q，证：B，Q，D1共线。
2．多线共点：先证两直线共点，其余的过该点。举例：三个平面两两相交于三条直线，求证：三条交线共点，或互相平行。
3．多线共面：先找到两条确定一个平面，然后证其它的均在平面内。举例：四条直线两两相交不共点，求证：四条直线共面。
二、“角”的问题
1．异面直线所成角（0°,90°]：采用平移转化法，构造一个含θ的三角形，由余弦定理求得(请自己补充例子，这个很重要)；
2．直线与平面所成角[0°,90°]：关键是找射影，最后通过垂线、斜线、射影来求所成角。举例：求正四面体的侧棱与底面所成的角。
3．二面角[0°,180°]：关键是作二面角，方法有定义法、作棱的垂面、三垂线定理和公式法(S=cosθ?S’)。举例：求正四面体的相邻两侧面所成角(arccos(1/3)).
三、“距离”的问题
1．点面距：可通过定义法或等体积法。举例：边长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A点到平面A1BD的距离()。
2．线面距：转化为点面距。举例：边长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B到平面B1CD的距离()。
3．异面直线间距离(一些较特殊的，难度不要太大)，比如求正四面体对棱间的距离()。举例：边长为a的正方体ABC</e
D. 设计一则立体几何为内容的正式数学教育活动教案
一、教学内容解析
本节课的内容是选自上海教育出版社《上海高级中学课本高三年级（试用本）》第十四、十五章立体几何知识的引言部分，属于策略性知识为主的数学分支起始课.
认识空间图形，运用文字语言、图形语言、符号（集合）语言进行交流，掌握画空间图形直观图的基本技能，发展学生的空间想象能力、推理论证能力是新课程标准的基本要求.本节课教学内容的上位知识为初中平面几何的相关知识、高中阶段集合符号语言知识，学生具有推理论证的能力.为实现新课程目标，本节课将“Why、 What、 How”的教学理念融入其中.主要通过直观感知、从具体到抽象，引导学生认识人类生存的现实空间，激发学生学习立体几何的兴趣；帮助学生自主建构，明确立体几何即将学习的内容；在学习过程中引导学生领悟从平面几何向立体几何类比、初步体验“化曲为直”、“图形割补拼”的思想方法.在后续的课程中，会采用思维论证、度量计算等方法进一步建构立体几何体系.本课为立体几何的后续学习做了良好的铺垫.
鉴于此，本节课的教学重点确定为：初步了解立体几何研究的主要内容和方法.主要内容包括：作图与识图；空间中基本元素（点、线、面）间的位置关系(线线、线面、面面关系)；空间中基本元素（点、线、面）间的度量关系（距离、角、面积、体积等）.主要思想方法体现在：命题和方法上的类比思想、空间问题到平面问题的转化与化归的思想.
结合本节课内容，教学需要反映立体几何体系发展历史及其应用.在介绍历史上关于立体几何知识的各种数学思想发展和起源过程中，开阔学生自身眼界与视野，启迪学生创造的灵感，激发学生学习的热情.教学中沟通平面几何和立体几何的联系，建构立体几何的研究框架，充分运用信息技术展示空间图形，培养学生创新思维能力.
二、教学目标设置
新“课标”指出，学生能体验从现实世界中抽象出空间形式的过程，学习立体几何的基本知识和基本技能，认识简单几何体的基本特征，掌握研究立体几何问题的基本方法，发展学生的空间想象能力，为将来进一步学习空间几何打下基础.根据本章内容学习的特点、学习方法和能力的要求，这节立体几何序言课的教学目标设置如下：
1.直观感受空间图形中的点、线、面间的位置关系和度量关系，了解立体几何的研究对象和内容.
2.体验平面到空间、空间到平面的类比和转化思想，发展由直观到抽象，由平面到空间的想象能力.
3.了解我国古代立体几何的研究成果，产生爱国主义情感，增强学习立体几何的热情，树立学习立体几何的自信心.
三、学生学情分析
这节课的授课对象是上海市示范性高中三年级的学生，他们有较好的学习习惯，有一定的口头和书面表达的能力.在知识层面上，初中阶段学生已直观地认识了正方体、长方体、圆柱、圆锥等几何体；归纳出空间中点、线、面的部分位置关系.从方法的层面，学生在高一、高二年级的学习中基本掌握了类比与转化思想.
学生在学习过程中,也可能会遇到诸多困难：空间问题难以转化为平面问题，通过几何体的直观图难以想象几何体在空间中的具体结构，思维容易受平面图形的干扰，缺少在三维空间条件下进行思考的经验等.故本节课教学难点设定为：学生从平面图形到空间图形认知的转变.
针对学生的实际情况，本节课采用以下策略：
1.帮助学生寻找直观支柱
引导学生观察思考生活中具体实例，利用实物模型，归纳空间图形基本元素间的位置关系；运用信息技术（PPT、几何画板、立体几何画板、media等）展示空间图形，搭配相关的文字说明、动画、音像等形式呈现丰富的教学情境，渲染课堂气氛，激发学习兴趣，提高教学效率.
2.加强作图、识图能力的培养
通过观察实物教具，运用信息技术，展示空间图形的直观图，引导学生观察、想象，由直观图想象空间图形的形状和结构，进而在观察的基础上引导学生从不同的角度来识图，并借助直观图进行简单的计算，实现从平面概念到空间概念的转化.
3.运用类比转化的思想实现知识的迁移
从学生较为熟悉的长方形、长方体入手，引导学生观察、思考空间图形和平面图形之间的诸多相似性，从平面问题出发，用类比的方法，以问题串的形式引导学生猜想.发现在“几何命题”和“研究方法”上，可将平面几何类比到立体几何中去.通过教师引导、学生自主探究、合作交流，初步体验把空间问题转化为平面问题的解决策略.
四、教学策略分析
本节课属于策略性知识为主的数学分支起始课.所谓策略性知识就是对“如何学习，如何思维”的知识，让学生“学会学习，学会创造”.本节课主要设计理念是体现“Why to study（为什么学）；What to study（学什么）；How to study（怎么学）”,简称“WWH”.基于此，本节课由（一）情景引入——Why to study （二）观察、抽象——What to study （三）类比、转化——how to study （四）总结反思——Learn to sum up （五）任务后延——Learn to create五个教学环节构成.教学重点是：初步了解立体几何的主要内容和方法，激发学生学习立体几何的兴趣.
环节一：情景引入——Why to study
立体几何教学强调几何直观，突出实物模型的使用，帮助学生通过直观、具体的实物模型过渡到空间想象，对形成空间想象问题能力起到至关重要的作用.从学生熟悉的3D技术应用出发制作视频，通过多媒体的展示，激发学生学习立体几何的兴趣.
环节二：观察、抽象——What to study
达芬奇的作品《最后的晚餐》帮助学生认识正确画出空间图形直观图的必要性.运用几何画板技术，动态演示空间中基本要素间的生成关系，以此出发抽象出文字语言、图形语言和集合语言三种语言的转化关系.对于较难理解的长方体直观图画法，教学上采用立体几何画板软件制作长方体空间旋转直观图视频，初步培养和发展学生的空间想象能力.通过观察实物模型和罗浮宫玻璃金字塔直观图，引导学生体验、探索空间基本元素间的位置关系和度量关系，激活学生思维.
环节三：类比、转化——how to study
利用教具和模型，帮助学生克服学习平面图形时产生的思维定式的消极影响，从平面知识类比推广到空间知识.引用波利亚名言总结立体几何学习中采用类比方法的重要性.
遵循从已知到未知的原则，从圆面积求法这一问题出发，引导学生将平面中割补拼、无限逼近的思想类比推广到立体几何.在古代名家的介绍中，帮助学生了解数学知识的发生和发展过程，加深理解类比方法的内涵和外延.
在学生的最近发展区内，设计两个例题，让学生“做数学”、“做中学”，体验立体几何问题常常要转化为平面几何问题来解决，激发学生创新思维的发展.
环节四：总结反思——Learn to sum up
通过采用关键词和形象的思维导图技术，引导学生主动建构，形成知识体系，建立起一个多维的、富于想象力的课堂总结.帮助学生整理思路，并形象化的记忆本节课的主要内容，归纳体会数学思想方法.
立体几何的发展历史介绍，为学生拓宽了思路，充分揭示立体几何的文化内涵，肯定立体几何的科学价值.
环节五：任务后延——Learn to create
多形式、多层次的作业布置，启发学生自主探究，学会创造.
在本堂课的教学中，从观察出发，引导学生走进立体几何的世界.通过问题的探索和分析，逐步勾勒出一幅立体几何的学习蓝图.名家的介绍、达芬奇著名作品《最后的晚餐》、著名建筑的结构图激发学生的求知欲，明确立体几何知识是从生活中来，又服务于生活.通过学生最熟悉的长方体，感悟立体几何和平面几何的联系与区别，借助生动的学习活动，积累学习立体几何的经验.根据学情，在新旧知识连接点上创设问题情境，通过交流、讨论和总结，了解立体几何学习知识的主线，领悟数学思想方法的本质，把握立体几何的学习规律.
本节课关注：(1)学生是否了解立体几何学习的基本内容.(2)学生是否了解立体几何的研究方法.是否能从平面到空间做一些简单的类比.是否能从空间到平面做一些简单的转化.
五、教学过程设计
（一）情境引入（Why to study）
观看视频，观察模型，引出课题.
（二）观察、抽象（What to study）
1．质疑：立体几何研究对象是什么？
2．学会画图
（1）画长方体的直观图
（2）初步感知空间图形与平面图形画法的异同
（3）识图：趣味折纸
3．质疑：构成空间图形的基本要素是什么？
（1）通过数字化数学活动动态观察点、线、面间的生成关系.
（2）介绍立体几何的三种语言：文字语言、图形语言、集合语言.
4．直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系
观察正方体的直观图，假设正方体的棱可以延伸为直线，面可以延展为平面，研究正方体中的线线、线面、面面位置关系.
5．度量计算及其应用
在生产生活中常常会遇到很多度量方面的问题，例如建筑史上的杰作罗浮宫玻璃金字塔在设计时就需精确计算金字塔侧棱支架与地面所成的线面角、侧面与地面所成的二面角的大小等.
（三）类比、转化（how to study）
1.类比思想
（1）命题类比
问题1：以下平面中成立的命题在空间中还成立么？
①平行于同一条直线的两条直线平行.
②垂直于同一条直线的两条直线平行.
（2）方法类比
回忆：小学中我们如何推导圆的面积公式？
割补拼、无限逼近的思想同样适用于空间几何体体积的研究.
介绍我国古代著名的数学家刘徽、祖冲之父子.
质疑：平面中的长方形可以联想到空间中的长方体，通过类比长方形对角线长度平方等于长和宽的平方和，长方体中是否有类似的结论？
2．转化思想
问题3：如上图所示，已知圆柱的底面半径为2cm,高为4cm,一只蚂蚁从点绕着圆柱体的侧面爬行一周到点，求这只蚂蚁爬行的最短路程.
（四）总结反思 （Learn to sum up）
（五）任务后延（learn to create）
1.用6根长度相等的木棒最多能搭出几个正三角形？
2.在长方体中，，，，一只蚂蚁从长方体的顶点沿表面爬到顶点，则蚂蚁爬行的最短路程是多少？
3.上网搜索了解中外数学名家对立体几何的研究成果.
4.制作一个正方体框架模型，为后续研究点、线、面关系做准备.