㈠ 机械能守恒定律教学案
机械能守恒定律重点解读
机械能包括动能；重力势能；弹性势能。在不牵涉到弹力做功的情况下，物体所具有的机械能就是动能和重力势能的和。
机械能守恒的应用分为两种情况：
一、单个物体的机械能守恒
判断一个物体的机械能是否守恒有两种方法：
（1）物体在运动过程中只有重力做功，物体的机械能守恒。
（2）物体在运动过程中不受媒质阻力和摩擦阻力，物体的机械能守恒。
所涉及到的题型有四类：
（1）阻力不计的抛体类。
（2）固定的光滑斜面类。
（3）固定的光滑圆弧类。
（4）悬点固定的摆动类。
（1）阻力不计的抛体类
包括竖直上抛；竖直下抛；斜上抛；斜下抛；平抛，只要物体在运动过程中所受的空气阻力不计。那么物体在运动过程中就只受重力作用，也只有重力做功，通过重力做功，实现重力势能与机械能之间的等量转换，因此物体的机械能守恒。
例：在高为h的空中以初速度v0抛也一物体，不计空气阻力，求物体落地时的速度大小？
分析：物体在运动过程中只受重力，也只有重力做功，因此物体的机械能守恒，选水平地面为零势面，则物体抛出时和着地时的机械能相等
得：
（2）固定的光滑斜面类
在固定光滑斜面上运动的物体，同时受到重力和支持力的作用，由于支持力和物体运动的方向始终垂直，对运动物体不做功，因此，只有重力做功，物体的机械能守恒。
例，以初速度v0 冲上倾角为光滑斜面，求物体在斜面上运动的距离是多少？
分析：物体在运动过程中受到重力和支持力的作用，但只有重力做功，因此物体的机械能守恒，选水平地面为零势面，则物体开始上滑时和到达最高时的机械能相等
得：
（3）固定的光滑圆弧类
在固定的光滑圆弧上运动的物体，只受到重力和支持力的作用，由于支持力始终沿圆弧的法线方向而和物体运动的速度方向垂直，对运动物体不做功，故只有重力做功，物体的机械能守恒。
例：固定的光滑圆弧竖直放置，半径为R，一体积不计的金属球在圆弧的最低点至少具有多大的速度才能作一个完整的圆周运动？
分析：物体在运动过程中受到重力和圆弧的压力，但只有重力做功，因此物体的机械能守恒，选物体运动的最低点为重力势能的零势面，则物体在最低和最高点时的机械能相等
要想使物体做一个完整的圆周运动，物体到达最高点时必须具有的最小速度为：
所以
（4）悬点固定的摆动类
和固定的光滑圆弧类一样，小球在绕固定的悬点摆动时，受到重力和拉力的作用。由于悬线的拉力自始至终都沿法线方向，和物体运动的速度方向垂直而对运动物体不做功。因此只有重力做功，物体的机械能守恒。
例：如图，小球的质量为m，悬线的长为L，把小球拉开使悬线和竖直方向的夹角为，然后从静止释放，求小球运动到最低点小球对悬线的拉力
分析：物体在运动过程中受到重力和悬线拉力的作用，悬线的拉力对物体不做功，所以只有重力做功，因此物体的机械能守恒，选物体运动的最低点为重力势能的零势面，则物体开始运动时和到达最低点时的机械能相等
得：
由向心力的公式知： 可知
作题方法：
一般选取物体运动的最低点作为重力势能的零势参考点，把物体运动开始时的机械能和物体运动结束时的机械能分别写出来，并使之相等。
注意点：在固定的光滑圆弧类和悬点定的摆动类两种题目中，常和向心力的公式结合使用。这在计算中是要特别注意的。
习题：
1、三个质量相同的小球悬挂在三根长度不等的细线上，分别把悬线拉至水平位置后轻轻释放小球，已知线长LaLbLc，则悬线摆至竖直位置时，细线中张力大小的关系是（ ）
A TcTbTa B TaTbTc C TbTcTa D Ta=Tb=Tc
2、一根长为l的轻质杆，下端固定一质量为m的小球，欲使它以上端o为转轴刚好能在竖直平面内作圆周运动（如图），球在最低点A的速度至少多大？如将杆换成长为L的细线，则又如何？
3、如图，一质量为m的木块以初速V0从A点滑上半径为R的光滑圆弧轨道，它通过最高点B时对轨道的压力NB为多少？
4、一质量m = 2千克的小球从光滑斜面上高h = 3.5米高处由静止滑下斜面底端紧接着一个半径R = 1米的光滑圆环（如图）求：
（1）小球滑至圆环顶点时对环的压力；
（2）小球至少要从多高处静止滑下才能越过圆环最高点；
（3）小球从h0 = 2米处静止滑下时将在何处脱离圆环（g =9.8米/秒2）。
二、系统的机械能守恒
由两个或两个以上的物体所构成的系统，其机械能是否守恒，要看两个方面
（1）系统以外的力是否对系统对做功，系统以外的力对系统做正功，系统的机械能就增加，做负功，系统的机械能就减少。不做功，系统的机械能就不变。
（2）系统间的相互作用力做功，不能使其它形式的能参与和机械能的转换。
系统内物体的重力所做的功不会改变系统的机械能
系统间的相互作用力分为三类：
1） 刚体产生的弹力：比如轻绳的弹力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力等
2） 弹簧产生的弹力：系统中包括有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹性势能参与机械能的转换。
3） 其它力做功：比如炸药爆炸产生的冲击力，摩擦力对系统对功等。
在前两种情况中，轻绳的拉力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力做功，使机械能在相互作用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能还是守恒的。虽然弹簧的弹力也做功，但包括弹性势能在内的机械能也守恒。但在第三种情况下，由于其它形式的能参与了机械能的转换，系统的机械能就不再守恒了。
归纳起来，系统的机械能守恒问题有以下四个题型：
（1）轻绳连体类
（2）轻杆连体类
（3）在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。
（4）悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。
（1）轻绳连体类
这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，系统内部的相互作用力是轻绳的拉力，而拉力只是使系统内部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其它形式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。
例：如图，倾角为的光滑斜面上有一质量为M的物体，通过一根跨过定滑轮的细绳与质量为m的物体相连，开始时两物体均处于静止状态，且m离地面的高度为h，求它们开始运动后m着地时的速度？
分析：对M、m和细绳所构成的系统，受到外界四个力的作用。它们分别是：M所受的重力Mg，m所受的重力mg，斜面对M的支持力N，滑轮对细绳的作用力F。
M、m的重力做功不会改变系统的机械能，支持力N垂直于M的运动方向对系统不做功，滑轮对细绳的作用力由于作用点没有位移也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是细绳的拉力，拉力做功只能使机械能在系统内部进行等量的转换也不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。
在能量转化中，m的重力势能减小，动能增加，M的重力势能和动能都增加，用机械能的减少量等于增加量是解决为一类题的关键
可得
需要提醒的是，这一类的题目往往需要利用绳连物体的速度关系来确定两个物体的速度关系
例：如图，光滑斜面的倾角为，竖直的光滑细杆到定滑轮的距离为a，斜面上的物体M和穿过细杆的m通过跨过定滑轮的轻绳相连，开始保持两物体静止，连接m的轻绳处于水平状态，放手后两物体从静止开始运动，求m下降b时两物体的速度大小？
（2）轻杆连体类
这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，物体的重力做功不会改变系统的机械能，系统内部的相互作用力是轻杆的弹力，而弹力只是使系统内部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其它形式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。
例：如图，质量均为m的两个小球固定在轻杆的端，轻杆可绕水平转轴在竖直平面内自由转动，两小球到轴的距离分别为L、2L，开始杆处于水平静止状态，放手后两球开始运动，求杆转动到竖直状态时，两球的速度大小
分析：由轻杆和两个小球所构成的系统受到外界三个力的作用，即A球受到的重力、B球受到的重力、轴对杆的作用力。
两球受到的重力做功不会改变系统的机械能，轴对杆的作用力由于作用点没有位移而对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是轻杆的弹力，弹力对A球做负功，对B球做正功，但这种做功只是使机械能在系统内部进行等量的转换也不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。
在整个机械能当中，只有A的重力势能减小，A球的动能以及B球的动能和重力势能都增加，我们让减少的机械能等于增加的机械能。有：
根据同轴转动，角速度相等可知
所以：
需要强调的是，这一类的题目要根据同轴转动，角速度相等来确定两球之间的速度关系
（3）在水平面上可以自由移动的光滑圆弧类。
光滑的圆弧放在光滑的水平面上，不受任何水平外力的作用，物体在光滑的圆弧上滑动，这一类的题目，也符合系统机械能守恒的外部条件和内部条件，下面用具体的例子来说明
例：四分之一圆弧轨道的半径为R，质量为M，放在光滑的水平地面上，一质量为m的球（不计体积）从光滑圆弧轨道的顶端从静止滑下，求小球滑离轨道时两者的速度？
分析：由圆弧和小球构成的系统受到三个力作用，分别是M、m受到的重力和地面的支持力。
m的重力做正功，但不改变系统的机械能，支持力的作用点在竖直方向上没有位移，也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是圆弧和球之间的弹力，弹力对m做负功，对M做正功，但这种做功只是使机械能在系统内部进行等量的转换，不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。
在整个机械能当中，只有m的重力势能减小，m的动能以及M球的动能都增加，我们让减少的机械能等于增加的机械能。有：
根据动量守恒定律知
所以：
（4）悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。
悬挂小球的细绳系在一个不受任何水平外力的物体上，当小球摆动时，物体能在水平面内自由移动，这一类的题目和在水平面内自由移动的光滑圆弧类形异而质同，同样符合系统机械能守恒的外部条件和内部条件，下面用具体的例子来说明
例：质量为M的小车放在光滑的天轨上，长为L的轻绳一端系在小车上另一端拴一质量为m的金属球，将小球拉开至轻绳处于水平状态由静止释放。求（1）小球摆动到最低点时两者的速度？（2）此时小球受细绳的拉力是多少？
分析：由小车和小球构成的系统受到三个力作用，分别是小车、小球所受到的重力和天轨的支持力。
小球的重力做正功，但重力做功不会改变系统的机械能，天轨的支持力，由于作用点在竖直方向上没有位移，也对系统不做功，所以满足系统机械能守恒的外部条件，系统内部的相互作用力是小车和小球之间轻绳的拉力，该拉力对小球做负功，使小球的机械能减少，对小车做正功，使小车的机械能增加，但这种做功只是使机械能在系统内部进行等量的转换，不会改变系统的机械能，故满足系统机械能守恒的外部条件。
在整个机械能当中，只有小球的重力势能减小，小球的动能以及小车的动能都增加，我们让减少的机械能等于增加的机械能。有：
根据动量守恒定律知
所以：
当小球运动到最低点时，受到竖直向上的拉力T和重力作用，根据向心力的公式
但要注意，公式中的v是m相对于悬点的速度，这一点是非常重要的
解得：
机械能守恒定律的应用难点解惑
难点1： 研究系统的确定
1、单一物体和地球组成的系统
基本原理：研究单个物体和地球组成的系统机械能是否守恒，首先应对物体进行受力分析，分析各力的做功情况，若只有重力做功，其他力不做功或做功的代数和为零，则此系统机械能守恒。
【例题】将物体由地面竖直上抛，不计空气阻力，物体能够达到的最大高度为H，当物体在上升过程中某一点，动能是重力势能的2倍，则这一点的高度为（ C ）
A．2H/3 B．H/2 C．H/3 D．H/4
【解析】以地面为零势能面，由机械能守恒定律得：
mgH=EK+EP=3EP=3mgh，解得h=H/3。
【点评】物体在空中运动只有重力做功，因此满足机械能守恒定律的条件。对于物体和地球组成的系统而言，任何一个时刻的机械能都是相等的，因此我们选择的两个状态分别是最高点和所求的某一点。
2、物体、弹簧和地球组成的系统
基本原理：物体、弹簧和地球组成的系统中，若只有物体的重力和弹簧的弹力做功，弹簧的弹性势能与物体机械能之间发生转化，系统的机械能守恒。若单独研究物体，此时受到的弹簧弹力是外力，那么这个物体的机械能就不守恒。
【例题】轻质弹簧固定于O点，另一端系一小球A，将小球从图示位置（此时弹簧无形变）无初速释放。在A下落的过程中，A球的动能和重力势能之和（ B ）
A．增大 B．减小 C．不变 D．无法确定
【解析】以A球的初位置为零势能面，在下落的过程中，以小球、弹簧和地球组成的系统为研究对象，只有重力做功，由机械能守恒定律得：0=mv2/2 –mgh +EP
EP>0，故mv2/2 –mgh<0，说明小球的动能和重力势能的和为负值，相对初位置机械能为0而言减小了。
【点评】这个问题也可以从能量转化的角度看，小球下落的过程中重力势能减少了，减少的重力势能转化为小球的动能和系统的弹性势能了，因此，小球的机械能不守恒，而是减少了。
3、两个或多个物体和地球组成的系统
基本原理：两个或多个物体和地球组成的系统中，用做功的方式不好判断系统的机械能是否守恒，但系统内的物体在相互作用的过程中，只有动能和势能之间的相互转化，无其他能量参与，系统的机械能守恒。如果隔离其中一个物体来研究，那么该物体的机械能将不守恒。
【例题1】如图所示，质量都是m的物体A和B，通过轻绳跨过滑轮相连，斜面固定、光滑，不计绳子和滑轮之间的摩擦。开始时A物体离地高为h，B物体位于斜面的底端，用手托住A物体，A、B两物体均静止。撤手后，求：
（1）A物体将要落地时的速度多大？
（2）A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面上升，则B物体在斜面上最远点距离地面的高度多大？
（3）上述过程中，绳子对A物体做了多少功？
【解析】（1）以A、B和地球组成系统为研究对象，以地面为零势能面，由机械能守恒定律得：mgh=(mv2/2+0)+(mv2/2+mghsinα)
解得：
（2）A落地后，绳子对B无作用力。以B为研究对象，以地面为零势能面，设B在斜面上最远点距离地面高度为H，由机械能守恒定律得：
mv2/2+mghsinα=mgH ，结合（1）中结果解得：H=gh(1+sinα)/2
（3）以A为研究对象，在A下落的过程中，由动能定理得：
WF+mgh=mv2/2，结合（1）中结果解得：WF= - mgh(1+sinα)/2
【点评】本题关键在于选择研究对象，特别是在应用机械能守恒定律时，要选择好系统。因为对于A、B和地球组成的系统而言，A下落的过程中只有重力做功，但对于单一物体而言，这时受到绳子的拉力就是外力，机械能就不守恒了。
可以证明A物体在下落的过程中机械能减少了，减少的机械能转移给B物体了，使得B物体的机械能增加了。
证明：对A物体，机械能的变化为ΔE=(mv2/2+0) –(0+mgh)= - mgh(1+sinα)/2，对B物体，机械能的变化为ΔE=(mv2/2+mghsinα) –(0+0)= mgh(1+sinα)/2。即证明A物体机械能的减少量等于B物体机械能的增加量。
从功能关系角度看，A物体的机械能减少了， A物体的机械能不守恒，那是因为绳子的拉力作为外力对A做了负功，可见WF= - mgh(1+sinα)/2=ΔE。因此，我们得到这样一个功能关系，对于系统而言，除了重力和弹力外的其他外力做功会引起系统机械能的变化，即W外=ΔE。
【例题2】如图所示，两个质量分别为m和2m的小球a和b，之间用一长为2l的轻杆连接，杆在绕中点O的水平轴无摩擦转动。今使杆处于水平位置，然后无初速释放，在杆转到竖直位置的过程中，求：
（1）杆在竖直位置时，两球速度的大小
（2）杆对b球做的功
（3）杆在竖直位置时，杆对a、b两球的作用力分别是多少？
【解析】（1）以a、b和地球组成的系统为研究对象，以轻杆的水平位置为零势能面，由机械能守恒定律得：0= (mva2/2+mgl) + (2mvb2/2 – 2mgl) ①
由圆周运动规律得：va=vb=lw=v ②
①②结合解得：
（2）对b球，由动能定理得：WF +2mgl=2mv2/2 -0
综合（1）结果解得：WF= -4mgl/3。
（3）对a球，在竖直位置有Fna=mv2/l=2mg/3，
故有mg –FN=Fna，解得FN=mg/3，方向向上。
对b 球，在竖直位置有Fnb=2mv2/l=4mg/3，
故有F -2mg=Fnb，解得F=10mg/3，方向向上。
【点评】同例题1，单独研究某一个球，机械能不守恒，有杆子的作用力做功。b球机械能的减少量转移给a球了，使得a球机械能增加了。
难点2：机械能守恒与曲线运动结合
基本原理：曲线运动过程中，若满足机械能守恒定律的条件，那么可以求出某一过程的初末状态的速度和高度，结合平抛和圆周运动的规律解题。
【例题1】一内壁光滑半径为R的细圆管放在竖直平面内，其中1/4被截去，如图所示。一小钢球从A处正对着管口B落下，第一种情况要使钢球到C点时对细管无作用力，第二种情况恰能使球经C点平抛后落回到B点。求两种情况下小钢球下落点A距B点的高度h为多少？
【解析】小球从A点开始下落，经过圆管道到达C点的过程中，以OB所在平面为零势能面，由机械能守恒定律得：
mgh =mvC2/2 +mgR ①
第一种情况下，对小球有
mg=mvC2/R ②
①②结合解得：h=3R/2
第二种情况下，对小球有
vC=R/t=R/ = ③
①③结合解得：h=5R/4
【例题2】小球的质量为m，沿光滑弯曲轨道滑下，与弯曲轨道相接的光滑圆轨道的半径为R，如图所示。为确保小球做完整的圆周运动，小球下滑的高度h的最小值为多少？
【解析】小球在沿光滑的轨道滑动的整个过程中，只有重力做功，机械能守恒。选取地面为零势能面，设小球运动到半圆形轨道的最高点时速度为v，由机械能守恒定律得 mgh=mv2/2+2mgR ①
要使小球能完整的圆周运动，在最高点时应满足条件mg=mv2/R ②
①②两式结合解得h=5R/2。
【点评】关键两点：选择恰当的零势能面；明确圆周运动最高点的临界条件。
难点3： 零势能面的选取
基本原理：零势能面的选取在机械能守恒定律的应用中非常关键。一般选取初或末状态的位置所在平面为零势能面，有时也选择其他平面。
【例题1】一条长为L的均匀链条，放在光滑水平桌面上，链条的一半垂直于桌边，如图所示。现由静止开始使链条自由滑落，当它全部脱离桌面时的速度是多大？
【解析】由题意知链条下滑过程中机械能守恒，设链条的总质量为m，选取桌面为零势能面， 由机械能守恒定律得：
解得链条全部脱落时的速度为
【例题2】如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大?
【解析】设铁链的质量为m，选取初始位置铁链的下端A、B所在的水平面为零势能面，由机械能守恒定律得：
解得铁链刚脱离滑轮时的速度 。
【点评】例题1、2中的物体都不能看作质点，但链条是均质的，故在确定重力势能时选取它的重心位置。这其中要确定好初末状态，恰当地选择零势能面。
难点4：能量的转化与守恒思想
【例题】如图，物块和斜面都是光滑的，物块从距地面高h处由静止沿斜面下滑，判断物块滑到斜面底端时的速度v与 的大小关系。
【解析】以物块和斜面组成的系统为研究对象。物块下滑过程中，系统的机械能守恒。但是，斜面将向左运动，斜面将获得动能，故物块的机械能一定减少。设物块和斜面的质量分别为m和M，由能量守恒得：
mgh=mv2/2+MV2/2，故v< 。
【点评】物块减少的重力势能转化为物块的动能和斜面的动能，但系统的总能量守恒。因此，“功是能量转化的量度”是本章的中心思想，需要不断体会。