❶ 《正余弦定理在日常生活中的应用》的研究性论文
一、教学设计
1、教学背景
在近几年教学实践中我们发现这样的怪现象：绝大多数学生认为数学很重要，但很难；学得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升学，我们才不会去理会，况且将来用数学的机会很少；许多学生完全依赖于教师的讲解，不会自学，不敢提问题，也不知如何提问题。这说明了学生一是不会学数学，二是对数学有恐惧感，没有信心，这样的心态怎能对数学有所创新呢？即使有所创新那与学生们所花代价也不成比例，其间扼杀了他们太多的快乐和个性特长。建构主义提倡情境式教学，认为多数学习应与具体情境有关，只有在解决与现实世界相关联的问题中，所建构的知识才将更丰富、更有效和易于迁移。我们在 2003级进行了“创设数学情境与提出数学问题”教学实验，通过一段时间的教学实验，多数同学已能适应这种学习方式，平时能主动思考，敢于提出自己关心的问题和想法，从过去被动的接受知识逐步过渡到主动探究、索取知识，增强了学习数学的兴趣。
2、教材分析
“正余弦定理”是普通高中课程标准实验教科书数学必修5的第一章第二节的主要内容，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是“正弦定理、正余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明正余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。因此，做好“正余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
3、设计思路
建构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食住行，大到宇宙、星体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。而且，有些问题即使他们还没有接触过，没有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释。而且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。所以，教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。
为此我们根据“情境 --问题”教学模式，沿着“设置情境--提出问题--解决问题--反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境--问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。根据上述精神，做出了如下设计：①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景；②启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决问题时需要使用正余弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和他们的夹角，求第三边。③ 为了解决提出的问题，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验，通过作边BC的垂线得到两个直角三角形，然后利用勾股定理和锐角三角函数得出正余弦定理的表达式，进而引导学生进行严格的逻辑证明。证明时，关键在于启发、引导学生明确以下两点：
一是证明的起点
❷ 怎样用坐标法证明余弦定理
余弦定理的三次推导（高中数学）</B>2006-11-17 13:02:38 阅读975次 2000-2005年笔者先后三次任教高一数学，每轮教学时，都在新课程理念指导下对上一轮的教学进行反思与改进，争取在原有基础上有所突破。下面是笔者在“余弦定理的推导”的三轮教学中，不断实践、反思、再实践，尝试激活数学课堂教学的三个课例。
教学片段：余弦定理的第一次推导
提问：在ΔABC中，若已知BC=a，AC=b，∠ACB=C，能否求出三角形的第三边AB的长？
教师讲解：把ΔABC放在直角坐标系中，使顶点A与坐标原点重合，顶点C落在OX轴的正半轴上，顶点B落在OX轴上方：
y B C（b，0） B（ccosA，csinA）
∴ a2= b2+c2 -2bccosA
Ao C x 同理 b2= c2+a2 –2cacosB 余弦定理
c2= a2+b2 –2abcosC
这种方法，我们称为坐标法，它是处理几何问题的一种常见的重要方法。
笔者在第一次讲授余弦定理的推导过程是按照教材借助于平面直角坐标系，采用坐标法直接得证的。
从课堂效果来看，同学们对运用坐标法来推导余弦定理这一数形结合的思想方法很快接受，其后大量的教学时间可以投入到运用余弦定理解三角形的练习中。而余弦定理的推导过程犹如昙花一现，逐渐被学生忽略和忘却。在以后的学习中，几乎很少有同学能具体说出定理的推导过程，同时，同学们仍旧不习惯用坐标法来解决一些实际问题。因此，这堂课只是让学生接受了余弦定理的内容，而在数学思想方法的点拨培养，即让学生对坐标法的领悟是失败的。因此，笔者在第二次讲授余弦定理的推导时做了新的尝试。
教学片段：余弦定理的第二次推导
一、创设情境，提出问题
教师活动：某工程师设计一条现代化铁路
通过某座山，要预算开凿隧道BC的长， 测量人员
所处的测量点为A，测得：AB=c，AC=b，∠BAC=A。
如果你是工程师，你将如何计算隧道BC的长？
二、探索解法，提升认识
学生活动：学生找熟悉方法入手，把“斜三角形转化成两个
直角三角形”，运用勾股定理和锐角三角形来证明。
师生共同活动：由学生交流、讨论，发现此种方法必须对∠A分三种情况讨论，才是完整的证明。
若∠A是直角 若∠A是锐角 若∠A是钝角
BC2=b2+c2 BC2=b2+c2 -2bccosA BC2=b2+c2 -2bccosA
通过三种情况的分类讨论，说明无论∠A是直角、锐角、钝角，
都有a2=b2+c2 -2bccosA
教师活动（总结点拨）：此种证明化一般为特殊，又渗透分类讨论思想，是证明余弦定理的好方法，但证明过程显得十分累赘。同学们能否想个办法避开讨论，不管∠A是锐角、直角还是钝角，都可以将它们统一起来？
学生活动：把角统一，三角比定义可以做到，但必须建立直角坐标系。
学生板演：把ΔABC放在直角坐标系中，使顶点A与坐标原点重合，顶点C落在OX轴的正半轴上，顶点B落在OX轴上方：
y B C（b，0） B（ccosA，csinA）
∴ a2= b2+c2 -2bccosA
A O C x 同理 b2= c2+a2 –2cacosB 余弦定理
c2= a2+b2 –2abcosC
教师活动：这种方法，我们称之为坐标法，它是处理几何问题的一种常见的重要方法。
从课堂效果来看，同学们从安静地听课到积极地配合，从被动地接受到主动地思考。从课后同学反馈来看，同学们纷纷表示对余弦定理的推导过程留下了深刻的印象，感悟到重视数学思想方法要比数学结果的记忆和运用更为重要，而且更吸引他们。从第一次教学后同学们对数学精彩的毫无感觉到第二次教学后同学们对数学思想方法的领悟。无疑，第二次教学实践是有所提高的。而提高正是来自于新课程理念的指导。
首先，新课程指出一堂好课应该是学生探索世界的窗口。给予学生新的视野、新的启迪比知识本身的传授更为重要。因此，笔者的第二次教学尝试，将教学重心置于余弦定理的推导过程。从重数学结果转变为重技能、方法的培养。
其次，新课程强调课堂教学向生活的回归，只有植根于生活世界并为生活世界服务的课程和教学，才能具有深厚的生命力。因此，笔者创设了一个“现实的、有意义的、富有挑战性的”问题情境，从教学内容的结构、呈现方式上进行转变。做到情境化、问题化，让学生体验生活中处处有数学。
再次，新课程关注学生的学习兴趣和经验，强化直接经验和间接经验的有机整合。因此，在解决实际问题的过程中，鼓励学生从已有的数学经验出发，使得学生能很自然且有信心地投入到探索问题、发现问题和解决问题的过程中。在合作、交流、完善的过程中，让学生体会原有经验在解决问题中的不足，从而激发学生另辟新径、探求新知，进而化解矛盾、化繁为简。在坐标法的探究中，让学生领悟到坐标法解决几何问题比以往用初中几何知识解决，所具有独特的魅力和优越性；更从中领悟到高中阶段学习任意角的三角比的实质意义。在经历了探究、体验、感悟后，同学们的间接经验经过整合、充实、提升为直接经验，并使直接经验不断丰富、发展、升华，从而实现知识与能力的统一。
然而，第二天的课前回顾，在讲述余弦定理表达式的回答中，从几位同学吱吱唔唔的回答中，笔者又发现了新问题。在注重余弦定理推导方法的比较时，却忽略了余弦定理本身。新课程明确指出：“将课程与学习融为一体，要展示知识的生成、发展和形成的过程，提供学生亲身感受、体验的机会。”因此，笔者的第三次教学尝试，在备课时重点放在了余弦定理身上。而如何创设一个余弦定理生成的场景，让学生去自主发现、自主探究，则是问题的关键。但这一问题过去从未思考过，各类书籍参考书也从未揭示过余弦定理的来源，确实它让笔者面临一项很大的挑战。然而“功夫不负有心人”，终于在一次翻阅过去教案时，灵感降临了。笔者被余弦定理的一个相关结论所吸引：“在三角形ABC中，若a2= b2+c2，则∠A是直角；若a2>b2+c2，则∠A是钝角；若a2< b2+c2，则∠A是锐角”。这个学生显见的结论，它的证明与余弦定理的关系，三个条件式变化的背后，不正是笔者所要找的吗？因此，笔者在第三次讲授余弦定理的推导时又做了新的尝试。
教学片段：余弦定理的第三次推导
一、引导学生，发现余弦定理的存在
教师活动：在ΔABC中，若已知BC=a，AC=b，能否求出三角形的第三边AB的长？
学生活动：不能，因为三角形的大小、形状不能确定。
教师活动：不能，那么添加哪一个角的条件，一定能求出三角形的第三边。
学生活动：根据三角形的判定定理，只能添加BC、AC的夹角C。
教师活动：既然c边可由a、b及∠C唯一确定，那么对于这类问题是否也像正弦定理一样，存在某个定理、公式可以解这种三角形？
二、引导学生，探究、猜想余弦定理的形式
教师活动：（几何画板展示，在ΔABC中，AC、BC长度固定不变，BC绕C点转动，AB的长度随∠C 的变化而变化），
这一变化揭示AB的长度与∠C之间是怎样的数学关系？
学生活动：AB应为∠C的函数
教师活动：（几何画板的数据演示：
当∠C=90°时，c2=a2+b2；
当∠C<90°时，c2<a2+b2；
当∠C>90°时，c2>a2+b2；）
师生共同活动：教师组织学生观察、讨论，引导学生归纳、猜想函数关系式。
学生活动：猜想c2=a2+b2+f( )
师生共同活动：师生共同探究f( )的具体形式。
（1）f( )=？（2）f( )与 的哪个三角函数有关？
学生活动：学生交流、讨论，联想各个三角函数得出以下结论：
（1）f( )与 的余弦值有关；（2）f( )=cosC（3）f( )=cos
（4）f( )= kcos
学生经过交流、讨论、探究，一致认为f( )= kcos
即c2=a2+b2+kcos （k>0）
教师活动：那么k又是什么形式？如何确定k呢？
学生活动：（学生分组讨论，探求k）
有学生由特殊值着手，发现：（1）当C=30°， c2=a2+b2- bc
（2）当C=60°， c2=a2+b2-bc
（3）当C=120°，c2=a2+b2+bc
（4）当C=150°，c2=a2+b2+ bc
有学生由临界状态发现：当C=0°或当C=180°时，k=2ab
学生经过分析，大胆地猜想：c2=a2+b2-2abcosC
三、鼓励学生，探究余弦定理的证明
教师活动：数学猜想富于创造性，能够提供大量的新视点、有价值的设想，但是其成果必须经过严格的论证，只有经过论证的东西才是数学上可以接受的。
学生活动：（学生找熟悉的方法入手，把“斜三角形转化成两个直角三角形”，运用勾股定理和锐角三角形来证明）
师生共同活动：由学生讨论此种方法必须对∠C分三种情况讨论，才是完整的证明。
教师活动（总结点拨）：此种证明化一般为特殊，又渗透分类讨论思想，是证明余弦定理的好方法，但证明过程十分累赘。能否避开讨论，不管∠C是锐角、直角还是钝角，都可以将它们统一起来？
学生活动：把角统一，三角比定义可以做到，但必须建立直角坐标系。
学生板演：把ΔABC放在直角坐标系中，使顶点A与坐标原点重合，顶点C落在OX轴的正半轴上，顶点B落在OX轴上方：
y B C（b，0） B（ccosA，csinA）
∴ a2= b2+c2 -2bccosA
A o C x 同理 b2= c2+a2 –2cacosB 余弦定理
c2= a2+b2 –2abcosC
教师活动：我们称之为坐标法，它是处理几何问题的一种常见的重要方法。
从课堂效果来看，同学们情绪高涨、思维活跃，全身心地投入到探索问题、发现问题和解决问题的过程中。同学们从积极地配合到主动的探究，从单一思考到合作交流。从课后同学反馈来看，同学们纷纷欣喜地表示“原来数学可以这样学”、“原来数学规律的发现我也行”、“余弦定理我是一辈子也不会忘的”。对余弦定理的发现、猜想、论证过程留下了极为丰富的印象，体验到主动探究、合作交流这些学习方式的充实和快乐。从第二次教学后同学们对数学思想方法的感悟到第三次教学后同学们对数学学科的魅力的由衷向往。无疑，第三次教学实践是成功的。而成功更是来自于对新课程理念的追求。
首先，新课程重视数学知识的生成、发展和形成的过程，提供学生亲身感受、体验的机会。因此，笔者的第三次教学尝试，将整堂教学内容定为余弦定理的推导过程。从重数学结果转变为重知识的发生、发展过程，在知识发生、发展的过程体验中，达成知识、技能、方法的提高。而这一过程的创设，则是教师钻研的真正所在，也是教师智慧的真正体现。
其次，新课程积极营造“涌动着生命活力”的课堂教学。在笔者所创设的余弦定理生成的场景中，同学们释放出前所未有的积极性、创造性和想象力，在“浮想联翩”、“怦然心动”、“百感交集”、“妙不可言”的情感变化中，完成了余弦定理的猜想；在“茅塞顿开”、“豁然开朗”、“悠然心会”、“深得我心”的情感体验中，完成了余弦定理的证明。而师生之间心灵的共鸣和思维的共振，已使课堂成为师生之间生命相遇、心灵相约、质疑解难、探寻真理的场所。
再次，新课程提倡让主动探究成为学生的学习方式。从第三次教学现场来看，笔者亲身感受到探究活动在学生身上激发出的学习热情，更发现了在经历探究活动的过程中学生身上焕发出巨大的学习潜质。作为新课程提倡的一种学习方式，要求教师不断引导和指导学生去主动探究，更期待着它能内化为学生经验系统的一部分，成为学生的一种学习习惯。
余弦定理三次推导三次变化，变化不仅仅来自推导方法的不同，变化更是来自于设计理念的更新、教师角色的转变和学生学习方式的改变。变化最终让数学课堂焕发生命活力。
作者：王 静 单位：天山中学
❸ 怎样用复数证明余弦定理
余弦定理的三次推导（高中数学）lt;/Bgt;2006-11-17 13:02:38 阅读975次 2000-2005年笔者先后三次任教高一数学，每轮教学时，都在新课程理念指导下对上一轮的教学进行反思与改进，争取在原有基础上有所突破。下面是笔者在“余弦定理的推导”的三轮教学中，不断实践、反思、再实践，尝试激活数学课堂教学的三个课例。
教学片段：余弦定理的第一次推导
提问：在ΔABC中，若已知BC=a，AC=b，∠ACB=C，能否求出三角形的第三边AB的长？
教师讲解：把ΔABC放在直角坐标系中，使顶点A与坐标原点重合，顶点C落在OX轴的正半轴上，顶点B落在OX轴上方：
y B C（b，0） B（ccosA，csinA）
∴ a2= b2+c2 -2bccosA
Ao C x 同理 b2= c2+a2 –2cacosB 余弦定理
c2= a2+b2 –2abcosC
这种方法，我们称为坐标法，它是处理几何问题的一种常见的重要方法。
笔者在第一次讲授余弦定理的推导过程是按照教材借助于平面直角坐标系，采用坐标法直接得证的。
从课堂效果来看，同学们对运用坐标法来推导余弦定理这一数形结合的思想方法很快接受，其后大量的教学时间可以投入到运用余弦定理解三角形的练习中。而余弦定理的推导过程犹如昙花一现，逐渐被学生忽略和忘却。在以后的学习中，几乎很少有同学能具体说出定理的推导过程，同时，同学们仍旧不习惯用坐标法来解决一些实际问题。因此，这堂课只是让学生接受了余弦定理的内容，而在数学思想方法的点拨培养，即让学生对坐标法的领悟是失败的。因此，笔者在第二次讲授余弦定理的推导时做了新的尝试。
教学片段：余弦定理的第二次推导
一、创设情境，提出问题
教师活动：某工程师设计一条现代化铁路
通过某座山，要预算开凿隧道BC的长， 测量人员
所处的测量点为A，测得：AB=c，AC=b，∠BAC=A。
如果你是工程师，你将如何计算隧道BC的长？
二、探索解法，提升认识
学生活动：学生找熟悉方法入手，把“斜三角形转化成两个
直角三角形”，运用勾股定理和锐角三角形来证明。
师生共同活动：由学生交流、讨论，发现此种方法必须对∠A分三种情况讨论，才是完整的证明。
若∠A是直角 若∠A是锐角 若∠A是钝角
BC2=b2+c2 BC2=b2+c2 -2bccosA BC2=b2+c2 -2bccosA
通过三种情况的分类讨论，说明无论∠A是直角、锐角、钝角，
都有a2=b2+c2 -2bccosA
教师活动（总结点拨）：此种证明化一般为特殊，又渗透分类讨论思想，是证明余弦定理的好方法，但证明过程显得十分累赘。同学们能否想个办法避开讨论，不管∠A是锐角、直角还是钝角，都可以将它们统一起来？
学生活动：把角统一，三角比定义可以做到，但必须建立直角坐标系。
学生板演：把ΔABC放在直角坐标系中，使顶点A与坐标原点重合，顶点C落在OX轴的正半轴上，顶点B落在OX轴上方：
y B C（b，0） B（ccosA，csinA）
∴ a2= b2+c2 -2bccosA
A O C x 同理 b2= c2+a2 –2cacosB 余弦定理
c2= a2+b2 –2abcosC
教师活动：这种方法，我们称之为坐标法，它是处理几何问题的一种常见的重要方法。
从课堂效果来看，同学们从安静地听课到积极地配合，从被动地接受到主动地思考。从课后同学反馈来看，同学们纷纷表示对余弦定理的推导过程留下了深刻的印象，感悟到重视数学思想方法要比数学结果的记忆和运用更为重要，而且更吸引他们。从第一次教学后同学们对数学精彩的毫无感觉到第二次教学后同学们对数学思想方法的领悟。无疑，第二次教学实践是有所提高的。而提高正是来自于新课程理念的指导。
首先，新课程指出一堂好课应该是学生探索世界的窗口。给予学生新的视野、新的启迪比知识本身的传授更为重要。因此，笔者的第二次教学尝试，将教学重心置于余弦定理的推导过程。从重数学结果转变为重技能、方法的培养。
其次，新课程强调课堂教学向生活的回归，只有植根于生活世界并为生活世界服务的课程和教学，才能具有深厚的生命力。因此，笔者创设了一个“现实的、有意义的、富有挑战性的”问题情境，从教学内容的结构、呈现方式上进行转变。做到情境化、问题化，让学生体验生活中处处有数学。
再次，新课程关注学生的学习兴趣和经验，强化直接经验和间接经验的有机整合。因此，在解决实际问题的过程中，鼓励学生从已有的数学经验出发，使得学生能很自然且有信心地投入到探索问题、发现问题和解决问题的过程中。在合作、交流、完善的过程中，让学生体会原有经验在解决问题中的不足，从而激发学生另辟新径、探求新知，进而化解矛盾、化繁为简。在坐标法的探究中，让学生领悟到坐标法解决几何问题比以往用初中几何知识解决，所具有独特的魅力和优越性；更从中领悟到高中阶段学习任意角的三角比的实质意义。在经历了探究、体验、感悟后，同学们的间接经验经过整合、充实、提升为直接经验，并使直接经验不断丰富、发展、升华，从而实现知识与能力的统一。
然而，第二天的课前回顾，在讲述余弦定理表达式的回答中，从几位同学吱吱唔唔的回答中，笔者又发现了新问题。在注重余弦定理推导方法的比较时，却忽略了余弦定理本身。新课程明确指出：“将课程与学习融为一体，要展示知识的生成、发展和形成的过程，提供学生亲身感受、体验的机会。”因此，笔者的第三次教学尝试，在备课时重点放在了余弦定理身上。而如何创设一个余弦定理生成的场景，让学生去自主发现、自主探究，则是问题的关键。但这一问题过去从未思考过，各类书籍参考书也从未揭示过余弦定理的来源，确实它让笔者面临一项很大的挑战。然而“功夫不负有心人”，终于在一次翻阅过去教案时，灵感降临了。笔者被余弦定理的一个相关结论所吸引：“在三角形ABC中，若a2= b2+c2，则∠A是直角；若a2gt;b2+c2，则∠A是钝角；若a2lt; b2+c2，则∠A是锐角”。这个学生显见的结论，它的证明与余弦定理的关系，三个条件式变化的背后，不正是笔者所要找的吗？因此，笔者在第三次讲授余弦定理的推导时又做了新的尝试。
教学片段：余弦定理的第三次推导
一、引导学生，发现余弦定理的存在
教师活动：在ΔABC中，若已知BC=a，AC=b，能否求出三角形的第三边AB的长？
学生活动：不能，因为三角形的大小、形状不能确定。
教师活动：不能，那么添加哪一个角的条件，一定能求出三角形的第三边。
学生活动：根据三角形的判定定理，只能添加BC、AC的夹角C。
教师活动：既然c边可由a、b及∠C唯一确定，那么对于这类问题是否也像正弦定理一样，存在某个定理、公式可以解这种三角形？
二、引导学生，探究、猜想余弦定理的形式
教师活动：（几何画板展示，在ΔABC中，AC、BC长度固定不变，BC绕C点转动，AB的长度随∠C 的变化而变化），
这一变化揭示AB的长度与∠C之间是怎样的数学关系？
学生活动：AB应为∠C的函数
教师活动：（几何画板的数据演示：
当∠C=90°时，c2=a2+b2；
当∠Clt;90°时，c2lt;a2+b2；
当∠Cgt;90°时，c2gt;a2+b2；）
师生共同活动：教师组织学生观察、讨论，引导学生归纳、猜想函数关系式。
学生活动：猜想c2=a2+b2+f( )
师生共同活动：师生共同探究f( )的具体形式。
（1）f( )=？（2）f( )与 的哪个三角函数有关？
学生活动：学生交流、讨论，联想各个三角函数得出以下结论：
（1）f( )与 的余弦值有关；（2）f( )=cosC（3）f( )=cos
（4）f( )= kcos
学生经过交流、讨论、探究，一致认为f( )= kcos
即c2=a2+b2+kcos （kgt;0）
教师活动：那么k又是什么形式？如何确定k呢？
学生活动：（学生分组讨论，探求k）
有学生由特殊值着手，发现：（1）当C=30°， c2=a2+b2- bc
（2）当C=60°， c2=a2+b2-bc
（3）当C=120°，c2=a2+b2+bc
（4）当C=150°，c2=a2+b2+ bc
有学生由临界状态发现：当C=0°或当C=180°时，k=2ab
学生经过分析，大胆地猜想：c2=a2+b2-2abcosC
三、鼓励学生，探究余弦定理的证明
教师活动：数学猜想富于创造性，能够提供大量的新视点、有价值的设想，但是其成果必须经过严格的论证，只有经过论证的东西才是数学上可以接受的。
学生活动：（学生找熟悉的方法入手，把“斜三角形转化成两个直角三角形”，运用勾股定理和锐角三角形来证明）
师生共同活动：由学生讨论此种方法必须对∠C分三种情况讨论，才是完整的证明。
教师活动（总结点拨）：此种证明化一般为特殊，又渗透分类讨论思想，是证明余弦定理的好方法，但证明过程十分累赘。能否避开讨论，不管∠C是锐角、直角还是钝角，都可以将它们统一起来？
学生活动：把角统一，三角比定义可以做到，但必须建立直角坐标系。
学生板演：把ΔABC放在直角坐标系中，使顶点A与坐标原点重合，顶点C落在OX轴的正半轴上，顶点B落在OX轴上方：
y B C（b，0） B（ccosA，csinA）
∴ a2= b2+c2 -2bccosA
A o C x 同理 b2= c2+a2 –2cacosB 余弦定理
c2= a2+b2 –2abcosC
教师活动：我们称之为坐标法，它是处理几何问题的一种常见的重要方法。
从课堂效果来看，同学们情绪高涨、思维活跃，全身心地投入到探索问题、发现问题和解决问题的过程中。同学们从积极地配合到主动的探究，从单一思考到合作交流。从课后同学反馈来看，同学们纷纷欣喜地表示“原来数学可以这样学”、“原来数学规律的发现我也行”、“余弦定理我是一辈子也不会忘的”。对余弦定理的发现、猜想、论证过程留下了极为丰富的印象，体验到主动探究、合作交流这些学习方式的充实和快乐。从第二次教学后同学们对数学思想方法的感悟到第三次教学后同学们对数学学科的魅力的由衷向往。无疑，第三次教学实践是成功的。而成功更是来自于对新课程理念的追求。
首先，新课程重视数学知识的生成、发展和形成的过程，提供学生亲身感受、体验的机会。因此，笔者的第三次教学尝试，将整堂教学内容定为余弦定理的推导过程。从重数学结果转变为重知识的发生、发展过程，在知识发生、发展的过程体验中，达成知识、技能、方法的提高。而这一过程的创设，则是教师钻研的真正所在，也是教师智慧的真正体现。
其次，新课程积极营造“涌动着生命活力”的课堂教学。在笔者所创设的余弦定理生成的场景中，同学们释放出前所未有的积极性、创造性和想象力，在“浮想联翩”、“怦然心动”、“百感交集”、“妙不可言”的情感变化中，完成了余弦定理的猜想；在“茅塞顿开”、“豁然开朗”、“悠然心会”、“深得我心”的情感体验中，完成了余弦定理的证明。而师生之间心灵的共鸣和思维的共振，已使课堂成为师生之间生命相遇、心灵相约、质疑解难、探寻真理的场所。
再次，新课程提倡让主动探究成为学生的学习方式。从第三次教学现场来看，笔者亲身感受到探究活动在学生身上激发出的学习热情，更发现了在经历探究活动的过程中学生身上焕发出巨大的学习潜质。作为新课程提倡的一种学习方式，要求教师不断引导和指导学生去主动探究，更期待着它能内化为学生经验系统的一部分，成为学生的一种学习习惯。
余弦定理三次推导三次变化，变化不仅仅来自推导方法的不同，变化更是来自于设计理念的更新、教师角色的转变和学生学习方式的改变。变化最终让数学课堂焕发生命活力。
作者：王 静 单位：天山中学
❹ 余弦函数在日常生活中的应用与区分度
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 对于任意三角形 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质 (注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。) a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc 证明： ∵如图，有a→+b→=c→ ∴c·c=(a+b)·(a+b) ∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ) 整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式） 再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC 同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 平面几何证法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。 0 散热膏 2009-7-12 15:09:10 211.157.176.* 举报 正余弦定理教学案例分析 溧阳市戴埠高级中学 冯春香 教材：新课标教材----必修5 课题：正余弦定理 [摘要]： 辩证唯物主义认识论、现代数学观和建构主义教学观与学习观指导下的“情境 .问题.反思.应用”教学实验，旨在培养学生的数学问题意识，养成从数学的角度发现和提出问题、形成独立思考的习惯，提高学生解决数学问题的能力，增强学生的创新意识和实践能力。创设数学情境是前提，提出问题是重点，解决问题是核心，应用数学知识是目的，因此所设情境要符合学生的“最近发展区”。“正余弦定理”具有一定广泛的应用价值，教学中我们从实际需要出发创设情境。 [关键词]： 正余弦定理；解三角形；数学情境 一、教学设计 1、教学背景 在近几年教学实践中我们发现这样的怪现象：绝大多数学生认为数学很重要，但很难；学得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升学，我们才不会去理会，况且将来用数学的机会很少；许多学生完全依赖于教师的讲解，不会自学，不敢提问题，也不知如何提问题。这说明了学生一是不会学数学，二是对数学有恐惧感，没有信心，这样的心态怎能对数学有所创新呢？即使有所创新那与学生们所花代价也不成比例，其间扼杀了他们太多的快乐和个性特长。建构主义提倡情境式教学，认为多数学习应与具体情境有关，只有在解决与现实世界相关联的问题中，所建构的知识才将更丰富、更有效和易于迁移。我们在 2003级进行了“创设数学情境与提出数学问题”教学实验，通过一段时间的教学实验，多数同学已能适应这种学习方式，平时能主动思考，敢于提出自己关心的问题和想法，从过去被动的接受知识逐步过渡到主动探究、索取知识，增强了学习数学的兴趣。 2、教材分析 “正余弦定理”是普通高中课程标准实验教科书数学必修5的第一章第二节的主要内容，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是“正弦定理、正余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明正余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。因此，做好“正余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。 3、设计思路 建构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食住行，大到宇宙、星体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。而且，有些问题即使他们还没有接触过，没有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释。而且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。所以，教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。 为此我们根据“情境 --问题”教学模式，沿着“设置情境--提出问题--解决问题--反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境--问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。根据上述精神，做出了如下设计：①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景；②启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决问题时需要使用正余弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和他们的夹角，求第三边。③为了解决提出的问题，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验，通过作边BC的垂线得到两个直角三角形，然后利用勾股定理和锐角三角函数得出正余弦定理的表达式，进而引导学生进行严格的逻辑证明。证明时，关键在于启发、引导学生明确以下两点： 一是证明的起点 ； 二是如何将向量关系转化成数量关系。④由学生独立使用已证明的结论去解决中所提出的问题。 二、教学过程 类型一：解三角形和与之相关的问题 1.⑴在中，如果 ，， ，那么 ， 的面积为 ． 变式：若已知 ，可否求出其他三个元素？ 例1.已知 中， 求及。 变式：（小题训练4）在中，已知 则边长 。 例2. （原例4.） 中三个内角 的对边分别是 ，已知 ，且 ，求角 的大小。 变式：（小题训练3）若三角形三边之比为 ，那么这个三角形的最大角等于 。 类型二：判断三角形形状的问题 2.在中，若 ,则是 （形状）。 例3.在 ，若 ，试判断 的形状。 学生练习： 1. 已知 中，若 ，则 。 2. 在中，若 ，则 的形状是 （形状）。 3. 在中,已知 ，则 。 4.在中，已知 ，解三角形。 三、教学反思 创设数学情境是“情境 .问题.反思.应用”教学的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。 从应用需要出发，创设认知冲突型数学情境，是创设情境的常用方法之一。“正余弦定理”具有广泛的应用价值，故本课中从应用需要出发创设了教学中所使用的数学情境。该情境源于教材第一章 1.3正弦、正余弦定理应用的例1。实践说明，这种将教材中的例题、习题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。只要教师能对教材进行深入、细致、全面的研究，便不难发现教材中有不少可用的素材。 “情境 .问题.反思.应用”教学模式主张以问题为“红线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，如何引导学生提出问题是教学成败的关键，教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境（不仅具有丰富的内涵，而且还具有“问题”的诱导性、启发性和探索性），而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程；关注学生数学学习的水平，更关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度；关注是否给学生创设了一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程．把“质疑提问”，培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。
❺ 正，余弦在实际中的应用
正余弦定理教学案例分析
溧阳市戴埠高级中学 冯春香
教材：新课标教材----必修5
课题：正余弦定理
[摘要]： 辩证唯物主义认识论、现代数学观和建构主义教学观与学习观指导下的“情境 .问题.反思.应用”教学实验，旨在培养学生的数学问题意识，养成从数学的角度发现和提出问题、形成独立思考的习惯，提高学生解决数学问题的能力，增强学生的创新意识和实践能力。创设数学情境是前提，提出问题是重点，解决问题是核心，应用数学知识是目的，因此所设情境要符合学生的“最近发展区”。“正余弦定理”具有一定广泛的应用价值，教学中我们从实际需要出发创设情境。
[关键词]： 正余弦定理；解三角形；数学情境
一、教学设计
1、教学背景
在近几年教学实践中我们发现这样的怪现象：绝大多数学生认为数学很重要，但很难；学得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升学，我们才不会去理会，况且将来用数学的机会很少；许多学生完全依赖于教师的讲解，不会自学，不敢提问题，也不知如何提问题。这说明了学生一是不会学数学，二是对数学有恐惧感，没有信心，这样的心态怎能对数学有所创新呢？即使有所创新那与学生们所花代价也不成比例，其间扼杀了他们太多的快乐和个性特长。建构主义提倡情境式教学，认为多数学习应与具体情境有关，只有在解决与现实世界相关联的问题中，所建构的知识才将更丰富、更有效和易于迁移。我们在 2003级进行了“创设数学情境与提出数学问题”教学实验，通过一段时间的教学实验，多数同学已能适应这种学习方式，平时能主动思考，敢于提出自己关心的问题和想法，从过去被动的接受知识逐步过渡到主动探究、索取知识，增强了学习数学的兴趣。
2、教材分析
“正余弦定理”是普通高中课程标准实验教科书数学必修5的第一章第二节的主要内容，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是“正弦定理、正余弦定理”教学的第二节课，其主要任务是引入并证明正余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。布鲁纳指出，学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动的、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识获得的过程。因此，做好“正余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
3、设计思路
建构主义强调，学生并不是空着脑袋走进教室的。在日常生活中，在以往的学习中，他们已经形成了丰富的经验，小到身边的衣食住行，大到宇宙、星体的运行，从自然现象到社会生活，他们几乎都有一些自己的看法。而且，有些问题即使他们还没有接触过，没有现成的经验，但当问题一旦呈现在面前时，他们往往也可以基于相关的经验，依靠他们的认知能力，形成对问题的某种解释。而且，这种解释并不都是胡乱猜测，而是从他们的经验背景出发而推出的合乎逻辑的假设。所以，教学不能无视学生的这些经验，另起炉灶，从外部装进新知识，而是要把学生现有的知识经验作为新知识的生长点，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验。
为此我们根据“情境 --问题”教学模式，沿着“设置情境--提出问题--解决问题--反思应用”这条主线，把从情境中探索和提出数学问题作为教学的出发点，以“问题”为红线组织教学，形成以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“情境--问题”学习链，使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创造者”，使教学过程成为学生主动获取知识、发展能力、体验数学的过程。根据上述精神，做出了如下设计：①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景；②启发、引导学生提出自己关心的现实问题，逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决问题时需要使用正余弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，引伸成一般的数学问题：已知三角形的两条边和他们的夹角，求第三边。③为了解决提出的问题，引导学生从原有的知识经验中“生长”出新的知识经验，通过作边BC的垂线得到两个直角三角形，然后利用勾股定理和锐角三角函数得出正余弦定理的表达式，进而引导学生进行严格的逻辑证明。证明时，关键在于启发、引导学生明确以下两点：
一是证明的起点
；
二是如何将向量关系转化成数量关系。④由学生独立使用已证明的结论去解决中所提出的问题。
二、教学过程
类型一：解三角形和与之相关的问题
1.⑴在 中，如果 ， ， ，那么 ， 的面积为 ．
变式：若已知 ，可否求出其他三个元素？
例1.已知 中， 求 及 。
变式：（小题训练4）在 中，已知 则边长 。
例2. （原例4.） 中三个内角 的对边分别是 ，已知 ，且 ，求角 的大小。
变式：（小题训练3）若三角形三边之比为 ，那么这个三角形的最大角等于 。
类型二：判断三角形形状的问题
2.在 中，若 ,则 是 （形状）。
例3.在 ，若 ，试判断 的形状。
学生练习：
1. 已知 中，若 ，则 。
2. 在 中，若 ，则 的形状是 （形状）。
3. 在 中,已知 ，则 。
4.在 中，已知 ，解三角形。
三、教学反思
创设数学情境是“情境 .问题.反思.应用”教学的基础环节，教师必须对学生的身心特点、知识水平、教学内容、教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情境。
从应用需要出发，创设认知冲突型数学情境，是创设情境的常用方法之一。“正余弦定理”具有广泛的应用价值，故本课中从应用需要出发创设了教学中所使用的数学情境。该情境源于教材第一章 1.3正弦、正余弦定理应用的例1。实践说明，这种将教材中的例题、习题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。只要教师能对教材进行深入、细致、全面的研究，便不难发现教材中有不少可用的素材。
“情境 .问题.反思.应用”教学模式主张以问题为“红线”组织教学活动，以学生作为提出问题的主体，如何引导学生提出问题是教学成败的关键，教学实验表明，学生能否提出数学问题，不仅受其数学基础、生活经历、学习方式等自身因素的影响，还受其所处的环境、教师对提问的态度等外在因素的制约。因此，教师不仅要注重创设适宜的数学情境（不仅具有丰富的内涵，而且还具有“问题”的诱导性、启发性和探索性），而且要真正转变对学生提问的态度，提高引导水平，一方面要鼓励学生大胆地提出问题，另一方面要妥善处理学生提出的问题。关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程；关注学生数学学习的水平，更关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度；关注是否给学生创设了一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程．把“质疑提问”，培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。
❻ 教师的教育教学反思过程的主要环节是什么
来自网上，仅供参考。
1反思教学过程
理解题意就是从题目中获取达到解题目标的信息。反思理解题意过程就是对如何获取信息的思考。如获得了哪些信息，漏掉了哪些信息。为什么会漏掉这些信息，导致解答错误或复杂等。
例1． 已知a, b是方程x2+x+p=0的两个虚根，且|a-b|=3,则实数p的值为（ ）
A：-2 B: C:- D:
要缩小初始状态和目标状态差异，根据韦达定理a+b=-1且ab=p |a-b|2=(a-b)2=(a+b)2-4ab=1-4p=9. 解得p=-2。而产生这一错解反思其原因，就是漏掉题目已知条件信息，a, b是方程x2+x+p=0的两个虚根。再反思漏掉这一信息原因是上述解法受到了实数绝对值概念的干扰，误用了|z|2=z2.
例2．已知a、 b、 c 为△ABC三边，它们的对角分别为A、B、C 且aCosB=bCosA,关于方程b(x2-1)+c(x2+1)-2ax=0的两根相等，求证：△ABC是等腰直角三角形（1994山西中考题）
分析此题解题过程，由条件aCosB=bCosA利用余弦定理可以推出△ABC是等腰三角形。由条件 ＝0可以推出△ABC是直角三角形。表面上这道题正确解完了，第一步证“等腰”第二步证“直角”，但相比较“等腰”推出对“直角”帮助小，而反过来，“直角”推“等腰”表示cosA、cosB就无需使用余弦定理，可由锐角三角形函数定义 、 直接给出，改变解题顺序收缩了解题长度。而解题顺序改变反映了解题者对解题本质的理解。而反思之所以有时我们无法深入题目本质一个原因，忽略了“题目结论也是已知（提示）信息”。
2．2．2反思思路形成过程
解题思路就是将理解题意时所获信息和头脑中信息结合起来，进行加工、重组与再生，使思维向目标靠近，实现问题解决过程。因此反思思路形成过程就是对信息加工、重组与再生的反思。如探索如何实现从初始状态到目标状态转化，选择哪条途径，解题关键在哪里，看是否可用一般原理代替现在许多步骤，提高解题观点和思维层次。这就要求我们平时注重反思知识点，反思知识交汇点，通过反思形成知识链直至形成思维链。
2．2．1反思不同知识交汇点
例3．已知椭圆长轴|A1A2|=6，焦距|F1F2|=4 ，过椭圆左焦点F1，作一直线交椭圆于两点M、N，设∠F2F1M= ，（0 ≤ < ），当取何值，|MN|等于椭圆短轴长。（1983高考理科试题）
解法1：建立以为X轴，原点为中心直角坐标系，得椭圆方程为=1，设MN所在直线方程为y=k(x+2 ),利用弦长公式|MN|= |x1-x2|= ,得k2= ,从而得 = 或 =
解法2：（略解）以左焦点F1为极点，长轴所在直线为极轴，建立极坐标方程 = ，|F1M|= 1= , |F2M|= 2= 得到|MN|= 1+ 2= =2得， = 或 =
解法3（略解）设MN所在直线参数方程为 （t为参数）代入椭圆方程|MN|=|t.1-t2|= = =2得， = 或 = .
解法4：由椭圆定义，设|F1N|= d1 ，|F1M|= d2 ，连结NF2，NF1，得|NF2|=6-d1 ,|NF2|=6- d2 ,由余弦定理(6-d1) 2= d12+32+8 d1cos ， (6-d1) 2= d22+32+8 d2cos , 解得d1= , d2= ,(以下略) .
反思本题各种解法，本题关键是表达出|MN|。利用不同知识点的交汇，产生不同解题思路。
解法1在直接利用两点之间距离公式求解，过程繁琐，想到可用韦达定理可简化。
解法2、解法3想到表达距离也可用参数方程或极坐标方程。解法4求出|F1N| F1M|利用方程思想方法，直接求烦，考虑到直线过焦点，利用椭圆定义和余弦定理。通过反思不同知识交汇点，沟通了各方面知识，培养联系、转化辩证思维。使思维趋向多元化，伸向不同方向层次，提高了学生解决问题能力和思维广阔性。
2．2．2反思不同层次数学思想
K．邓克尔把解题思维过程分成三个层次：一般性解决、功能性解决、特殊性解决。这三个层次的实施都少不了数学思想的指导。反思不同层次的数学思想，可以使经验升华产生认识上的飞跃，促成了不同的解题思维。
例5．若方程 =x+b无解，求实数b的取值范围。
解法1（数形结合思想）把方程转化为两函数图象位置关系。设y= ,y=x+b,要使方程无解，只须直线与双曲线（上半部分）无交点即可，由图显见b的取值范围（-∞，-1）∪[0，1)
解法2（分类讨论思想）分类讨论根据题目要求确定适当分类标准，然后对划分后的每一类别求解，如有必要，再加以分类，最后进行综合得出结果。要求分类时，做到不重复不遗漏（解略）
例6已知f(x-3)=x2+2x+3, 求f(x)。
解法1：利用变量代换法 x=x+3-3 用x+3代x
解法2：利用代定系数法 设f(x)=ax2+bx+c 求得f(x-3) ，比较同类项系数。
解法3：配方法，f(x-3)=x2+2x+3=(x-3) 2+8(x-3)+18
在教学中诱导学生解题后善于从不同层次对数学思想进行提炼、反思，对强化数学思想，提高解决问题能力十分有益。
3． 3反思解题表述过程
解题表述是计划的落实。反思解题表述主要反思运算是否正确，推理是否严密。反思多走了哪些思维回路，是否可通过删除合并来体现简洁美，同时也培养了学生思维的严谨性、批判性。
例7若(z-x) 2-4(x-y)(y-z)=0,求证x、y、z成等差数列。
观察等式发现类似一元二次方程式判别式 ＝b2-4ac=0，所以构造方程(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0 且此方程有等根。 由各项系数这和为0，得有两等根为1，由韦达定理t1t2= =1 即2y=x+z ∴ x、y、z成等差数列。
反思上述解法，推理存在不够严密之处。1、b2-4ac=0 (*) 与方程ax2+bx+c=0不是一一对应，如x2+bx+ac=0, 2ax2+bx+ =0 它们的判别式都是（*）， 2、所构造方程是否为二次方程，[
❼ 二次函数应用
由题意得 BQ=CR=x
所以 BP=3-x
由余弦定理得 PQ=根号（ap＾2＋BQ＾2－2BQ＊PB＊cos60）
PQ＝根号（3x＾2－9x＋9）
s＝1／2＊PQ＾2sin60
＝ 1／2＊（3x＾2－9x＋9）＊根号3／2
根号3／4（3x＾2－9x＋9）
当 x＝3／2时 ，s有最小值 7／4