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1.1 正弦和余弦
例1 已知0°≤α≤90°.(1)求证:sin2α+cos2α=1;
(2)求证:sinα+cosα≥1,讨论在什么情形下等号成立;
(3)已知sinα+cosα=1,求sin3α+cos3α的值.
证明 (1)如图6-1,当0°<α<90°时,sinα=BC/AB,cosα=AC/AB,所以在这种情形下
当α=0°时,sinα=0,cosα=1;当α=90°,sinα=1,cosα=0.所以在这两种情形下仍有
sin2α+cos2α=1.
(2)如图6-1,当0°<α<90°时,sinα=BC/AB,cosα=AC/AB.所以在这种情形下
当α=0°时,sinα+cosα=0+1=1;当α=90°时,sinα+cosα=1+0=1.所以当0°≤α≤90°时,总有
sinα+cosα≥1,
当并且只当α=0°或α=90°时,等号成立.
(3)由于已知sina+cosα=1.由(2)可知α=0°或α=90°,所以总有
sin3α+cos3α=1.
例2 求证:对于0°≤α≤90°,
证法一 如图6-1,设BC=a,AC=b,AB=c.由锐角三角函数
当α=0°或α=90°时,容易验证以上等式仍成立.
证法二
点评 证法一是根据锐角三角函数的定义;证法二用了公式sin2α+cos2α=1.
证明一个三角恒等式成立,可变换等号左(右)端的式子,如得到等号右(左)端的式子,原恒等式就被证明了.一般对较复杂的式子进行变换,也可以对等号左,右的式子都进行变换,如得到相同的式子,原恒等式就被证明了.
1.2 正切和余切
证明 (1)当0°<α<90°时,如图6-2,
当α=0°时,tgα=0,sinα=0,cosα=1.所以仍有tgα=
(2)α必须满足不等式:
0°<α<90°.
如图6-2,
所以tgα·ctgα=1.
例2 已知锐角α,且tgα是方程x2-2x-3=0的一个根,求
解法一 x2-2x-3=0的两根为3和-1.这里只能是tgα=3.
如图6-3,由于tgα=3.因此可设BC=3,AC=1,从而
解法二 tgα=3,用cos2α除原式分子,分母,得
证法一 如图6-2,设BC=a,AC=b,AB=c,则
所以原式成立.
证法二 等式的左端
点评 这里α≠0°,90°.
怎样理解锐角三角函数的概念
答:现行初中几何课本中给出锐角三角函数的定义,是依据这样一个基本事实:在直角三角形中,当锐角固定时,它的对边,邻边与斜边的比值是一个固定的值.
关于这点,我们看图1,图中的直角三角形AB1C1,AB2C2,AB3C3,…都有一个相等的锐角A,即锐角A取一个固定值.如图所示,许许多多直角三角形中相等的那个锐角叠合在一起,并使一条直角边落在同一条直线上,那么斜边必然都落在另一条直线上.不难看出,
B1C1‖B2C2‖B3C3‖…,
∵△AB1C1∽△AB2C2∽△AB3C3∽…,
因此,在这些直角三角形中,∠A的对边与斜边的比值是一个固定的值.
根据同样道理,由"相似形"知识可以知道,在这些直角三角形中,∠A的对边与邻边的比值,∠A的邻边与斜边的比值都分别是某个固定的值.
这样在△ABC中,∠C为直角,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA;锐角A邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cosA;锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tgA;锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切,记作ctgA,于是我们得到锐角A的四个锐角三角函数,即
深刻理解锐角三角函数定义,要注意以下几点:
(1)角A的锐角三角函数值与三角形的大小,即边的长短无关.
只要角A一旦确定,四个比值就随之而定;角A变化时.四个比值对应变化.这正体现了函数的特点,锐角三角函数也是一种函数,这里角A是自变量,对于每一个确定的角A,上面四个比值都有唯一确定的值与之对应,因此,锐角三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.
(2)准确理解锐角三角函数定义,要熟记每个锐角三角函数是怎样规定的,是角的哪条边与哪条边的比;在具体应用定义时,要注意分清图形中,哪条边是角的对边,哪条边是角的邻边,哪条边是斜边.
[例] 求出图2中sinD,tgE的值.
(3)"sinA"等是一个完整的符号.
整的符号,不能看成sin与A的乘积.离开角A的"sin"没有什么意义,其他三个cosA,tgA,ctgA等也是这样.所以写时不能把"sin"与"A"分开.
锐角三角函数定义把形与数结合起来,从事物的相互联系去观察,对直角三角形不是孤立地看它的角,它的边,而是抓住了它们之间的联系,从而为深入研究问题打开了思路,奠定了基础.从定义的导出过程不难看出,锐角三角函数是数(比值)和形(角A)完美结合的结果,同学们应该在学习中很好地体会和掌握这种研究问题的思想方法.
计算
解答题
3. 在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA是方程5x2 -14x+8=0的一个根,求sinA,tgA.
4. q为三角形的一个角,如果方程10x2-(10cosq)x-3cosq+4=0有两个相等的实数根,求tgq.
答案
3. 解:∵sinA是方程5x2-14x+8=0的一个根
则5sin2A-14sinA+8=0
4. 解:∵100cos2q-40(4-3cosq)=0
即5cos2q+6cosq-8=0
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